Objectif : Savoir diviser des nombres relatifs.

 

 

Programme classe de 4ème

 

Classe  de 4ème collège.

 

 

 

 

 

Niveau V

 

 

 

Vers le corrigé des fiches….

Pré requis:

Fraction :nomenclature

3D Diamond

Divisions des nombres décimaux

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   : warmaths

Objectif précédent :

multiplication de deux nombres relatifs  Sphère metallique

Objectif suivant :

1.     Calcul algébrique (niveau +)

2.     Interdisciplinarité Sphère metallique

3.     Résumé de cours sur la division de deux nombres relatifs

 

Tableau       Sphère metallique57

2°) résumé avec les R

)Présentation des opérations avec les décimaux relatifs

 

4°) Voir liste des objectifs sur les fractions et rationnels

 

 

 

 

DOSSIER:   LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS :    Divisions  ou (« quotient » et  « fractions »).

 ( Recherche du quotient décimal relatif )

 

Rappels essentiels

 

 

Fiche 1 : Inverse d’un nombre.

 

 

Fiche 2 : Quotient de nombres positifs en écriture fractionnaire.

 

 

Fiche 3 :  Calcul du quotient.

 

 

Fiche 4 :   Exercices et situations problèmes.

 

 

Fiche 5 : Quotient de nombres relatifs. ( et en lien avec les  calculs algébriques)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

  1°) situations problèmes                      

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

COURS

 

 

Rappels essentiels :

  I )   « la valeur absolue » est la valeur arithmétique du nombre relatif.

 II  )  Se souvenir  qu’ à chaque fois que l’on fait un calcul avec deux nombres relatifs on recherche un troisième nombre relatif  dont on devra rechercher :    « sa valeur absolue » et « son signe ». (dans des parenthèses)

III)  DIVISION :        Le quotient   « a : b » est le résultat d’une division  (de deux nombres)

 

IV ) On dit aussi que la division peut se transformer en multiplication.

 

Voir « la fraction : @  nomenclature »

 

Démonstration :

  nous savons que      a : b  s’écrit             et       que       « l’inverse de b »   s’écrit 

  Nous pouvons  écrire que   est égal a la multiplication     ;       puisque    est égal  à  inv.b    on peut écrire que    =  a  inv.b

 

 Nous pouvons dire que : La division est égal au produit  dividende par l’inverse du diviseur .

    On ne traite que deux nombres à la fois

 

V) Pour comprendre ce qu’est un nombre relatif se souvenir qu ‘un nombre négatif   représente de « l’argent dû » (une dette ; de l’argent en « moins » ) et qu’un nombre positif représente une « rentrée d’argent ». (de l’argent en « plus »).

 


 

 

 

 

 

INFO COURS : sur la division de deux nombres relatifs.

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Inverse d’un nombre

Info  @ plus sur « inverse d’un nombre »

 

 

Vous avez déjà vu  dans une leçon précédente ( info@)) que par exemple :

 sont   des « inverses » l’un de l’autre  et on peut écrire :

 

    ce qui nous permet d’écrire que 

 

Activité 1 :  Complétez de même           et  

 

D’une manière générale , vous savez que :

 

 

 

«  » et «  » étant des nombres  ( ou des grandeurs) quelconques  , «  » et « » étant des décimaux positifs non nuls,

dire que    c’est dire que 

  et    sont dits « inverses » l’un de l’autre.

 

 

 

 

Activité 2 :

 

 

 

      a pour inverse :           et  on a 

 

«  »   a pour inverse    et   on a 

 

       a pour inverse  

 

 

 

 

 

·       Ainsi «  » et «  » étant des décimaux positifs non nuls,   à pour inverse       et   

 

Tout nombre positif non nul a un inverse.

Le produit d’un nombre positif non nul par son inverse est égal à  « 1 ».

 

On peut prouver que c’est le seul cas où le produit de deux nombres est égal à « 1 ».

 

 

 

 

 

*    Cas des nombres négatifs.

 

Cherchons si  , par exemple , possède un inverse.

 

Pour cela , cherchons un nombre dont le produit par    est égal à « 1 ».

Vous constatez déjà que le nombre cherché doit avoir le signe « moins » et puisque «  » a pour  inverse «  » , alors   a pour inverse    et       …..   = 1

 

Il est possible de prouver que :

   est le seul nombre dont le produit par  est égal à « 1 ».

 

Il en est de même pour tout nombre négatif .

 

 

 

 

Activité n°3.

 

Complétez    équivaut à 

 

 

 

 

 

 

A retenir :

«  » étant un nombre relatif non nul  , «  » possède un inverse unique.

C’est le nombre dont le produit  par «  » est égal à « 1 » .

 

 

 

 

 

Activité n° 4.

Situation problème :

Un récipient plein d’eau pèse « 9,6 kg » .  On en vide  les    «   » , il pèse  alors  « 6 kg ».

Combien pèse le récipient vide ?

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 2 : Quotient de nombres positifs en écriture fractionnaire.

 

 

 

 

 

 

Rappel :

«  » et «  » étant des décimaux positifs «   » , le quotient de « a » par « b » existe toujours, il s’écrit  «    » ou  «   ».

Il peut être « entier », « décimal » ou « non décimal ».

C’est le nombre par lequel il faut multiplier «  » pour obtenir  «  ».

 

 

 

 

 

 

Activités  exemples :

 

 

 signifie que

 signifie que

signifie que   

 

 

 

 

 

·       De même ,avec les nombres en écriture fractionnaire, on écrira : ( par exemple )

    signifie que 

 

 

 

 

 

Définition :

               «  » , «  » , « », «  » étant des décimaux positifs , «   », «   », «  »,, on appelle « quotient » de    par   noté       le nombre      ( si il existe ) tel que          

 

 

 

    =        signifie           

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 Calcul du quotient.

 

 

 

« E » et « F » étant deux nombres quelconques.

Par définition  , «  »  signifie  

Or , vous savez que      signifie que      c'est-à-dire que

 

  et       on peut donc écrire que               

 

·       Ce que l’on vient de faire avec le nombre    on peut le faire avec tout autre nombre  no nul.

On dira alors : « diviser par un nombre non nul , revient à multiplier ce nombre par son     ………..

 

Puisque l’inverse d’un nombre non nul existe toujours , le calcul du quotient par un nombre non nul est toujours possible.

On dira alors :

 

 

 

A retenir :

«  » , «  » , « », «  » étant des décimaux positifs , «   », «   », «  »  ( dit aussi non nul )  , le  quotient  de    par    existe toujours .

Il est égal au produit de    par l’inverse de      :                        

 

 

 

 

 

 

Activités n° ….

 

 

Calculez :     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Division par « 5 » .

 

 

 

« a » étant un nombre quelconque ,    donc   

 

 

 

Règle :

Pour diviser un nombre par « 5 » , on peut :

 

 

 

 

Ou

-        Multiplier ce nombre par « 2 » puis diviser le résultat par « 10 »

 

 

 

 

-        Diviser  ce nombre par « 10 » puis multiplier le résultat  par « 2 »

 

 

 

 

 

 

Activité  n° ..

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 4 :   Exercices et situations problèmes.

 

 

 

 

 

Situation problème n°1 :

Une vis avance de   de millimètres par tour.

1°)  Combien doit-elle faire de tours pour avancer de 10 mm ?    …………

2°) Combien doit-elle faire de tour pour avancer de     de mm ? ………………

 

 

 

v Quotient d’un nombre positif en écriture fractionnaire par un décimal positif.

Info @ ++ sur le calcul des quotients de….+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«  » , «  » , «  »  étant des décimaux positifs  , « b » non nul et « c » non nul ,

 

 

 

 

 

 

 

Activités n°…

 

 

Calculez :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Situation problème n°2 :

Le tiers d’une somme d’argent est réparti équitablement entre quatre personnes.

Quelle fraction de la somme totale représente la part de chaque personne ?

 

 

 

 

 

 

 

v Quotient d’un nombre positif par un nombre positif en  écriture fractionnaire.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«  » , «  » , «  »  étant des décimaux positifs  , « b » non nul et « c » non nul ,

 

 

 

Activités n°…

 

 

Calculez :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Situation problème n°3 :

Avec un tonneau de « 70 » litres de vin , on veut remplir des carafes .

 

1°) Combien de carafes de « 2 » litres remplira-t-on avec le vin contenu dans ce tonneau ?

 

2°) Combien de carafes de «  » litre remplira-t-on avec le vin contenu dans ce tonneau ? 

 

3°) Combien de carafes de «  » litres remplira-t-on avec le vin contenu dans ce tonneau ?

 

 

 

 

 

 

 

·       Division par « 0,1 » ; « 0,01 » ; « 0,001 » ; etc…….

Info @  déjà vu  

 

 

 

 

 

«  » étant un nombre quelconque , «  »     ; de même «  » 

 

Ainsi      «  » 

 

 

 

 

 

Règle : 

Diviser un nombre par « 0,1 » ; « 0,01 »  ou « 0,001 » ; etc……revient à multiplier ce nombre respectivement par « 10 » ; « 100 » ; « 1 000 » ;…etc…

 

 

 

 

 

Activité n° ..

On vous demande de calculer « mentalement ».

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 5 : Quotient de nombres relatifs. ( et calculs algébriques)

 

 

 

 

 

 

«  » et «  » étant deux nombres relatifs (

On appelle « quotient » de « x » par « y » , noté     ou    le nombre «  »  tel que «    »

 

 

 

  signifie que «    »   

«   »     signifie «    »

 

 

 

 

 

 

Activités n° 1 :

 

 

 

signifie que 

 

 

 

 

   .  …..     signifie que      . ……    

 

 

 

 =  . …………………….  signifie que

 

 

 

·       Vous pouvez contrôler sur ces exemples que la règle de calcul est la même que dans la « fiche 2 ».

 

 

 

 

 

A retenir :

Pour calculer le quotient de deux nombres relatifs ( pris dans un ordre déterminé ), on multiplie le premier par ……………  du second.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarque : La règle des signes de la division est la même que celle de la multiplication.

 

 

 

·       Puisque  , alors l’inverse de     qui est égal  à 

 

Aussi :  « » et «  » étant des décimaux relatifs non nuls ,  vous pouvez dire que l’inverse de        est   

 

 

 

A retenir :

«  » , «  » , «  » , «  » étant des décimaux relatifs  ( « b » , « c » , « d » non nuls ) : 

 

 

 

 

 

 

Activités n° :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·       Inverse d’un nombre relatif.

 

 

 

On a vu que tout nombre relatif non nul possède un inverse unique.

En désignant l’inverse de «  »  par «  » , on peut écrire  «  »

 

Or  «  »  signifie «  »   c'est-à-dire « »  

 

 

 

A retenir :

« » étant un nombre relatif non nul , l’inverse de «  »  s’écrit  «  »

 

«  » et «  » étant des nombres relatifs  (  ) , «    

 

 

 

 

 

·       Différentes significations de  «  »

 

 

«  » et «  » étant des nombres relatifs  (  ) ,

 

·       Transformons l’écriture  de  «  » :  «    » 

 

·       Transformons l’écriture  de  «  » :      «  »

 

 

 

 

 

«  » et «  » étant des nombres relatifs  (  ) ,

 

Opp. ,     ,       ,     , sont des nombres égaux que l’on écrit   

 

 

Opp.

 

 

 

 

 

Cas particulier :

 

 

 

 

 

 

 

 

Fini le 26 / 10 / 2014

 

 

 

 


 

 

 

 

 

TRAVAUX Auto- FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

     1.  Qu’obtient-on lorsque l’on divise deux nombres relatifs ,préciser ?

 

     2. Citer les deux règles concernant la division de deux nombres relatifs:

 

               a) Lorsque les deux nombres sont de même signe.( + et  +  ; - et -  )

 

               b) Lorsque les deux nombres ne sont pas de même signe ( on dit aussi « signe contraire »)

 

     3.  Transcrire en langage mathématique  les règles précédentes. ( indication :il y a 4 cas)

 

 

EVALUATION:

 

Faire les calculs suivants:

 

A) calculer :

    (+3): (+2) =

    (+3) : (-2) =

    (-3 ) : (+2) =

     (-3)  : (-2) =

 

B)  calculer :

 

  (+12,45)   :  (-0 ,25)  =

    ( +  40 )  : ( +8,2)  =

        (-3,5)   :   0      =

       (-12,3)  :  (-1)  =

       (+   29,76 )  :  (- 1,86)  =

 

 

 C)  Exprimer le résultat   0.01  prés:

 

                  (-13) : (+3) =

      

                    17 : (-7)  =

 

             (+91) : (+17) =

 

              (-17)    : ( - 99)  =

 

On ne peut aller plus loin dans le niveau de difficultés   ( voir les études sur les  FRACTIONS.....)

INTERDISCIPLINARITE

 

Refaire toutes les activités .

 

 

 

 

 

 

 

PLINARITE