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DOC : Elève.

 

DOSSIER    GEOMETRIE PLANE (partie 2)

Information « TRAVAUX »

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU : classe 3ème / seconde.

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

- Savoir ………………………

I ) Pré requis:

i9  

THALES Pré requis

:i

i9  

THALES  "THEOREME".

:i

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index   warmaths

Avant :

 1°)  les propriétés de Thalès :

2°) Le théorème de Thalès au collège (fiche de travaux)

1.            Dossier suivant : Démonstration « Thalès » :

 

2.         Vers des problèmes situations problèmes et sujets proposés au BEP..

 

1.      Info : Thalès Sommaire

2.     Liste des cours de géométrie plane..

3.     Vers la liste des cours de 3ème collège.

 

Module « THALES »   GEOMETRIE PLANE:   LA RECIPROQUE  DE THALES. ( au collège)

Chapitres :

i9  

1°)  Réciproque du théorème de Thalès.

:i

i9  

2°) Double application du théorème de Thalès.

:i

 

 

 

 

Cliquez ici : Des problèmes et situations problèmes sur Thalès……..

 

 

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

Test

 Boule verte

COURS  Boule verte

Travaux  auto - formation.

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle Boule verte

évaluation Boule verte

  1. Boule verteINTERDISCIPLINARITE
  2. Série n°2

Corrigé Contrôle

Corrigé

 évaluation

 

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests.

 Devoir  Auto  - formatif  (intégré au cours)

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Devoir sommatif.

Devoir certificatif : (remédiation)

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

 

 

Leçon

Titre

 

GEOMETRIE PLANE THALES(Réciproque)

 

 

  COURS

 

 

1°)  Réciproque du théorème de Thalès.

( info +++ sur la réciproque de Thalès)

 

 

 

 

 

On vous donne un triangle « ABC » et deux points « M » et « N ».

« M » est sur [AB]   et « N »  sur le segment [AC] , tels que

 

Démontrons que ( MN) est parallèle à ( BC )

 

Traçons par « M » la parallèle à ( BC).

Elle coupe ( AC) en « M’ ».

Grâce au théorème de Thalès , on peut écrire :

 

Or par hypothèse    donc par transitivité  

et par suite «  AN = A M’ »,

et comme « N » et « M’ » sont situés sur [ AC] alors « N= M ' »

Donc les  droites ( MN) et ( M M’ )  sont confondues donc ( MN) est parallèle à ( BC )

 

 

projections _031

 

 

Remarque 1 :

 On pourrait faire la même démonstration dans les deux autres cas de figure.

 

 

 

Remarque 2 :

 

 

IL faut préciser que les points « M » et « N » ont même position relative par rapport aux segments [ AB ]  et  [ AC ].

 

En effet, sur la figure ci-contre, on a   

« M » est sur  [ AB ]  mais « N » n’est pas sur  [ AC ] et vous constatez que ( MN ) est parallèle à  ( BC ).

 

projections _032

 

 

Remarque 3 :

 

 

Si par hypothèse , on a  ou une égalité du même genre, il est toujours possible de la transformer pour obtenir 

 

On peut donc  énoncer la « Réciproque du théorème de Thalès »

 

 

 

Théorème :

Dans tout triangle « ABC », « M » étant un point de ( AB) et « N » un point de (AC), si « N » est disposé par rapport à [ AC ] comme « M » l’est par rapport à [ A B ] et si les longueurs des segments déterminés par « A » , « B » , « M » sur ( AB) sont proportionnelles aux longueurs des segments correspondants déterminés par « A », « C », « N » sur ( AC ) alors les droites ( MN ) et ( BC ) sont parallèles.

 

 

 

 

 

Activité N° 1 :

 

 

Trois droites « d1 » , « d2 » , « d3 » se coupent en « O ».

 

Deux parallèles  coupent respectivement « d1 » en un point « A » et  un point « B » et  « d2 » en un point « C » et un point « D ».

 

Par « C » et « D » on trace deux parallèles qui coupent respectivement  « d3 » en un point « E » et un point « F ».

 

On vous demande de démontrer que la droite  ( A E ) est parallèle à ( BF ) 

 

·       Hypothèse : ......................... ……………. ;

·       Conclusion : ……………………………….. ;

 

projections _033

 

 

Recherche : Pour démontrer que ( AE) est parallèle à ( B F ), on doit penser au théorème ci-dessus appliqué au triangle « OBF », à condition de savoir que :    c’est ce que vous allez démontrer……..

 

 

Démonstration :

Dans le triangle «  OBD » , par hypothèse, ( A C ) est parallèle à ( BD) , donc , grâce au théorème de Thalès , :

Dans le triangle  «  ODF » , par hypothèse , ( C E )  est parallèle à ( DF), donc , grâce au théorème de Thalès , :

On en déduit alors que    et comme « A » est situé sur [ AB ] et « E » sur [ EF ]

Alors, grâce à la réciproque du théorème de Thalès ,  ( AE ) et parallèle à ( B F )

 

 

 

 

Activité N° 2 :

 

 

« ABCD » est un quadrilatère convexe quelconque . ( AC) et ( BD ) se coupent « O » .

Tracez par « O » la parallèle à ( AB ) qui coupe ( BC) en « F ».

Tracez par « O » la parallèle à ( AD ) qui coupe ( DC) en « F ».

 

1°) Trouvez (en le démontrant) des quotients égaux à   

2°) Démontrez que ( EF ) est parallèle à ( BD)

 

 

 

 

 

2°) Double application du théorème de Thalès.

 

 

Nous reprenons ce que nous avons vu dans le chapitre sur « le théorème  de Thalès »… »ABC » est un triangle quelconque. « M » est un point de ( AB), « N » est un point de ( AC) et ( MN) est parallèle à ( BC).

 

Nous démontrons que :

Nous traçons par « N » la parallèle à ( A B ) . Elle coupe ( BC ) en « P » .

 

 

 

Ci-dessous on vous donne les « 3 » cas de figures possibles :

 

 

 

projections _034

projections _035

projections _036

 

 

 

 

 

Hypothèse :

 

Conclusion :

 

 

 

( M N ) /  ( B C )

( N P ) / / ( A B )

 

 

 

 

 

Démonstration :

 

 

 

Dans le triangle «  ABC » , par hypothèse, ( M N ) est parallèle à ( BC) , donc , grâce au théorème de Thalès , :

 

Dans le triangle  «  ABC » , par hypothèse , ( NP )  est parallèle à ( AB), donc , grâce au théorème de Thalès , :

On en déduit alors (par transitivité ) que   

D’autre part, par hypothèse, ( MN ) est parallèle à ( BC ) et ( N P ) est parallèle à ( AB), donc , par définition, «  MNPB »  est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont même longueur donc «  BP = MN ».

 

Dans      , remplaçons  ( BP ) par ( MN ) , on obtient :  

 

 

 

Théorème :

Dans tout triangle « ABC », « M » étant un point de ( AB) et « N » un point de (AC), si « MN » est parallèle à ( B C ) alors :

 

 

 

 

 

Cette situation fait apparaître deux triangles : «  AMN »   et « ABC ».

L’un est un agrandissement de l’autre, leurs côtés correspondants sont « proportionnels ».

 

 

Pour écrire  les quotients égaux, on procède de la manière suivante :

 

On écrit l’un sous l’autre les sommets correspondants      
et les quotients apparaissent :

 

 

 

=

=

 

 

 

Activité N° 3 :

 

 

On vous donne un triangle «  DEF » (l’unité est le mm).

 (voir la figure ci-contre)

 

1°) Une parallèle à (D F ) coupe [ E D ] en « G » et [ E F]  en « H ».

Ecrivez les « 3 » quotients égaux.

 

     « EHG »

 et « EFD » ,  donne :

2°) On vous donne :

« ED = 35 »  , «  EG = 20 » , « DF=56 » . Calculez « GH ».

 

projections _037 - Copie

 

 

3°) Une parallèle à ( DF) coupe ( ED) en « K » , avec « K » non situé sur [ ED]  et coupe ( EF) en « L » , avec «  L » non situé sur [ EF].

(voir la figure ci-contre)

Ecrivez les 3 quotients égaux.

 

 

 

4°) « EK = 15 ». Calculez « KL »

projections _037

 

 

Activité N° 4 :

 

 

« ABCD » est un trapèze « ( AB) // ( DC) ». L’unité est le mm.

Une parallèle aux bases coupe [ AD] en « M » , [ BC] en « N » et [ BD]  en « P ».

 

« AB= 42 ; DC = 91 ; AM = 20 ; MD = 50 » . Calculez « MN » ………………….(nota : pour cela calculez « MP » et « PN » ) .

 

 

 

 

 

Fin du cours ( 26/02/2013)

 

 

Cliquez ici : Des problèmes et situations problèmes sur Thalès……..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur THALES

 

TRAVAUX      d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

 

 

1°) Enoncer le théorème de Thalès.

2°) Enoncer la propriété  de Thalès.

3°) Enoncer la réciproque de Thalès.

 

TRAVAUX N°    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 

 

Série 1 :

Exercice 1 :  ( 3 pts.)

dev_trobert_rapez_jan_11026

On donne ( en cm) :

AM = 7 ; AB = 3 ; AN = 9 ; AC = 5

Les droites BC et NM sont-elles parallèles ? justifier

D’après la propriété de Thalès : BC et MN sont parallèles si on vérifie que les rapports suivants sont égaux :

Si …………..

Donc :  on se pose la question :

On fait le produit en croix :  3 x 9 = 27 ; 7 x 5 = 35 ;

Il s’avère que   3/ 7   et  5/9  ont des résultats différents . On peut en conclure que les droites  BC et NM ne sont pas parallèles.

 

 

Série 2

 

 

1°) quelle est la mesure de AM par rapport à AB

 

gta3

 

 

2°) Calculer l'abscisse du point A

 

gta1

 

3°) Calculer la longueur "x"

 

gta2