1°  ) Reconnaître des   vecteurs colinéaires dans la représentation graphique :

« colinéaires » signifie  :" même ligne" .

leur support sont parallèles ou superposés.

les vecteurs ci dessous sont colinéaires.

soit  un vecteur    ; les 5 autres vecteurs représentent :  k (leur norme sont différentes, peut-être même leur sens ; (« k »est un nombre qui  varie .)

Ci-dessous : * les vecteurs  ne sont pas colinéaire avec le  vecteur «  » ;  chaque vecteur  n’est pas colinéaire aux autres vecteurs.

Les vecteurs  ci dessous ne sont pas colinéaires.

Dit autrement :

 Des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui ont des supports parallèles, (ou superposés)  indépendamment du sens et de la norme de ces vecteurs .

·      Deux vecteurs sont « colinéaires » s’ils sont portés par des droites parallèles , ou si l’un des deux est le vecteur nul .

·         et     sont colinéaires s’il existe un réel  « k »  tel que l’un  des vecteurs soit le produit de l’autre par le réel « k »   :  = k 

( voir en rappel : multiplication d’un vecteur par un nombre)

Application : soit trois points A ,B , C tels que  = 5

On veut montrer que ces trois points sont alignés :

On répond :  = 5

Alors  et  sont colinéaires , donc les droites  ( AB) et ( AC ) sont parallèles . Puisque le point  A est commun , et  ( AB )  // ( AC) ; A , B  et C sont alignés.

2°) Condition pour que des vecteurs soient colinéaires

          Les vecteurs   ( x ; y  )  et   ( x ’ ; y  ’  )   sont colinéaires  si et seulement si   le produit  x . y ’  = le produit   x ’. y   . 

          En résumé si :   ( x . y ’  =  x ’. y ) les vecteurs sont colinéaires.

( nous disons que les produits en croix sont égaux ; sachant que     )

3°) COMBINAISON LINEAIRE DE DEUX VECTEURS

Soient deux vecteurs    et     et deux nombres  « k » et   « k ’ »   , le vecteur  k et k ’ est appelé « combinaison linéaire de    et   » .

Les nombres « k »   et « k ’ » sont des coefficients de cette combinaison linéaire . ( voir somme graphique de vecteurs colinéaires)

Activité : A partir des deux vecteurs    et    donnés , construire un représentant   du vecteur 3  - 2

4°)APPLICATION :

                Calcul : Chercher le nombre « t » pour que  les vecteurs    ( t – 1 ; 3 )  et   ( t + 1 ; 5)  soient colinéaires

Résolution : Pour que  les vecteurs soient colinéaires il faut  que : x . y’  =  x’. y

Avec :    x = t – 1 ; y = 3 ; x’ = t +1 ; y’ = 5

  Formule :               x . y’  =  x’. y

On remplace :     ( t – 1) 5  = ( t + 1) 3

On  développe           5t – 5 = 3t  + 3

On transforme          5t – 3t = 3 + 5

On regroupe                   2 t = 8

On calcule                         t = 4

Conclusion :  Pour que  les vecteurs soient colinéaires il faut que

Les coordonnées du vecteur   ( t – 1 ; 3 )    deviennent    ( 4 – 1 ; 3 )  =    ( 3 ; 3 )

et les coordonnées du vecteur    ( t+ 1 ; 5)  deviennent   ( 4 + 1 ; 5) =   ( 5 ; 5)

On peut retrouver le nombre « k »  tel que   = k

il s'agit de k =   , car    3 = 5  , donc  =

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1°) que signifie le mot "colinéaire"?,

2°) Quand dit - on que deux  ( ou plusieurs)  vecteurs sont colinéaires ?

3°) A quoi correspond l'écriture suivante :  "k"; que peut-on en conclure ?

EVALUATION:

1° ) Chercher le nombre « t » pour que  les vecteurs     ( t – 1 ; 3 )  et   ( t + 1 ; 5)  soient colinéaires

2°) Dans la représentation graphique suivantes:

Dire quels sont les vecteurs colinéaires ?