Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

AVANT :

1°)Les dérivées.(sommaire).

2°) Le calcul intégral. (niveau 4)

3°) Les Intégrales simples 

4°) L’intégration par parties.

 

COURS

APRES :

 

 

 

Complément d’Info :
1°) Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

 

Info : sommaire sur la trigonométrie.

TITRE :niveau III :    LES  INTEGRALES TRIGONOMETRIQUES. 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation


COURS

 

 

 

 

Soit l’intégrale :  

 

 

 

Ou « f » est une fonction rationnelle des lignes de l’angle « x ».

On peut toujours se ramener à une intégrale rationnelle en faisant le changement de variable «   »

D’où  « x = 2 arc tn. t » ;           «  »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mais cette méthode est longue et on doit , autant que possible l’éviter.

 

 

Exemple 1 .  calculer :

 

Le changement de variable précédent donne

 

 

 

 

Exemple 2 : 

 

 

Au lieu de calculer directement cette intégrale par le même changement de variable , ramenons – nous à l’intégrale précédente en posant :

 

 

 

On a alors « dx = - d », et par suite :

=  = 

or

= =  =

or

  et   .=

 

Finalement : =

 

On peut souvent simplifier le calcul d’une intégrale trigonométrique en appliquant la règle suivante :

 

·        Si l’intégrale ne change pas quand on remplace « x » par « -x » on peut prendre comme variable « cos x »

·        Si rien n’est changé quand on remplace « x » par  «  » on prend pour variable « sin. x » ;

·        si on remplace  « x » par  «  » on prend comme variable « tn.x »

Ceci se retient facilement, car ce sont précisément ces changements qui n’altèrent pas les lignes correspondantes.

 

On a en effet :

 

 

 

« cos (- x) = cos  x  »

« sin  ()=  sin x »

« tn ( ) = tn.x »

 

 

 

 

Exemple : calculons : 

 

 

Si on remplace « x » par «  » , « sin x » n’est pas changé , « cos 3 x » est changé de signe, « dx » aussi , de sorte que le produit « cos 3  dx»  On peut donc poser « sin x = t » , d’ où « cos    dx = dt » ; « cos 2 x  = 1 – t 2 », et on se ramène ainsi à l’intégrale rationnelle :

 

 

 

 

 

Quelques intégrales trigonométriques courantes :

 

 

 

 

 

Soient d’abord les trois intégrales

 

 

 

 

 

 

Posons : «   »     d’où  «   »

 

 

On obtient ainsi :

 

 

 ;                                         =              = 

 

 

 

 

 

 ;                                             =              = 

 

 

 

 

 

   ;                   ;                             =    ou encore :

 

 

 

 

 

 

Soient encore deux intégrales (avec des « carrées »

 

 

 

Et

 

 

 

 

 

 

Pour calculer ces deux intégrales nous exprimerons « cos² x »  et « sin² x » en fonction de « cos 2x » , à l’aide des formules :

·        «  2 cos ² x = 1 + cos 2x »

·        « 2 sin² x = 1  - cos 2x  »

·         

 

 

Nous obtenons :

 

 

  devient      = 

 

 

 

  devient      = 

 

 

 

En particulier :

         =               = 

 

 

 

 

Soient encore deux intégrales (avec des « cubes »)

 

 

 

 

 

 

 

Elles s’obtiennent facilement en opérant  un changement de variable.

 

 

 

Pour calculer « F » , par exemple, nous posons  « sin x = t » , d’où « cos x dx = dt »  et  « cos ² x = 1 – t ² »

 

 

D’où :

 

 

  =   =   sin x

 

 

 

 

 

Soient encore deux intégrales (avec des « puissances quatrièmes »)

 

 

 

 

 

                  et                               

 

 

 

 

 

Pour calculer « K » , par exemple, exprimons «  sin 4 x en fonction linéaire des lignes de l’angle « x »  et de ses multiples.

 

 

On a d’abord

 

 

Puis : «  sin 4 x =    = 

 

 

Par suite :

 

 

  =   =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CE qui termine  ce cours…………..

 


 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTRÔLE

 

 

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EVALUATION :

 

calculer :

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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