COURS

Partageons l’intervalle ( a ; b) en parties égales.

Soient « x₁ ; x₂ ;……x _n-1 » ; les abscisses  des points «  M ₁ ; M ₂ ; M₃ ;……. ;M _n-1 » , ainsi obtenus sur la courbe ; et soient «  » ; «  » ;…… ; «  »  les ordonnées correspondantes.

La somme des aires des trapèzes inscrits constitue une valeur approchée de l’aire de la courbe.

Tous ces trapèzes ont pour hauteur :  .

L’aire du premier trapèze est «   »

Celle du second est «   »    ,…….

Celle du dernier «   »

 « x »

D’où la valeur approchée de l’intégrale.

    ; et   

Remarque :

Supposons de plus que dans l’intervalle ( a ;b) la concavité ne change pas de sens. On peut toujours se ramener à ce cas en supposant qu’on ait d’abord divisé l’intervalle donné en intervalles partiels tels que dans chacun d’eux la courbe ne présente pas de points  d’inflexion.

Dans ce cas , on peut trouver une limite supérieure de l’erreur commise en partageant l’intervalle ( a ; b) en un nombre pair de parties égales.

En effet, menons les  tangentes à la courbe aux points d’abscisses « x₁ ; x₂ ;……x _n-1 »

Nous obtenons ainsi des trapèzes circonscrits et l’aire de la courbe est comprise entre la somme des aires  des trapèzes inscrits,calculée précédemment , et la somme des aires des trapèzes circonscrits.

Sur la figure ci-dessus , où la concavité est dirigée du côté « y » négatifs, les trapèzes inscrits donnent une valeur approchée par défaut , et les trapèzes circonscrits une valeur approchée par  excès. Ce serait le contraire si la concavité était dirigée du côté des « y » positifs.

Ceci posé , l’aire du premier trapèze est égale au produit de la hauteur  par la demi somme des bases « y1 ». On en déduit la valeur approchée par excès :

La différence entre la somme des aires des trapèzes inscrits et circonscrits constitue une limite supérieure de l’erreur commise.

CE qui termine  ce cours…………..

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTRÔLE

Voir le cours !!!!!

EVALUATION :

calculer :

Voir le cours !!!!!