Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

AVANT :

1°)Les dérivées.(sommaire).

2°) Le calcul intégral. (niveau 4)

3°) Les Intégrales simples 

4°) L’intégration par parties.

 

COURS

APRES :

 

 

 

Complément d’Info :
1°) Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

 

Info : sommaire sur la trigonométrie.

TITRE :niveau III :    LES  INTEGRALES :  LES FORMULES DE REDUCTION.

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation


 

 

COURS

 

 

 

 

 

Soit une intégrale «  »    contenant un indice « n » ,on peut souvent établir une formule de récurrence , ou de réduction,permettant de ramener le calcul de «  »   à celui d’une intégrale d’indice moins élevé.

 

 

C’est , par exemple , le cas de l’intégrale :  ,                « n » étant un exposant entier et positif.

 

Intégrons par parties , en nous arrangeant pour retrouver une intégrale de même forme ;

 

A cet effet , écrivons «  »  sous la forme :

 

Et posons :                et    

 

On en déduit :

 

Et    ;

 

 

 

Par suite :

 

 

 

 

 

La partie intégrée est nulle pour « x = 0 »et pour « x= » .

 

Il reste :

 =    de la forme

 

 

D’où la formule  «  »

 

 

 

Deux cas sont  à distinguer :

 

 

1°) Si « n » est pair , on ramène le calcul de «  » à celui de  =

 

 

 

 

 

Exemple :

Soit     , On a    ; puis  

D’où , en multipliant membre à membre :    d’ où  

 

 

 

2°) Si « n » est impair, on est ramené à  «  »

 

  = 

 

 

 

Exemple :    ,   on a :     ;   ,  d’où                    et 

 

 

 

 

 

Remarque : presque toutes les  formules de réduction s’obtiennent en intégrant par parties. Quelques –unes cependant, se trouvent autrement.

 

 

 

Exemple :

 

 

 

Soit :    , « n » étant entier et positif.

Nous savons ( info ++) que « d ( tn x) = ( 1 + tn ² x ) dx »

Ceci nous conduit à écrire :

 

 = 

 

d’où :

 

cette formule ramène le calcul de «  » à celui de «  » si « n » est pair ou «  » si « n » est impair.

On a d’autre part :

  = 

 

 

 

Et

 

 

   =  =  =

 

 

 

 

 

CE qui termine  ce cours…………..

 


 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTRÔLE

 

 

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EVALUATION :

 

calculer :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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