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DOSSIER :
Fiches sur Les systèmes d’équations( 3ème collège ) . |
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Les
SYSTEMES d’ EQUATIONS A DEUX INCONNUES. |
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Fiche 10 : Résolution d’un système par substitution. |
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Pré requis: |
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Info :
Système d’équations (définition) |
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Compétences : -
Savoir
transformer l’équation a x + by + c = 0
en une équation de la forme : y = …… |
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-
Savoir
tracer une droite d’équation y = a x + b
dans un repère orthonormé. |
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ENVIRONNEMENT du dossier: |
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Objectif
précédent : le premier degré
à deux inconnues |
Objectif
suivant : |
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DOSSIER :
Fiches sur Les systèmes d’équations( 3ème collège ) . |
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Les
SYSTEMES d’ EQUATIONS A DEUX INCONNUES. |
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<<<< aller vers la
fiche. |
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Fiche 10 : Résolution d’un
système par substitution. |
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Exemple 1 : Vous
allez résoudre le système d’équations de couple inconnu ( )
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Vérifiez si les coefficients sont proportionnel. Combien le système possède-t-il de solutions ? …………………………………soit une solution unique…… |
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On peut alors considérer (
x ; y ) comme étant le couple solution du système, de ( 1 ) on en déduit alors que « »
( 3) |
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Remplaçons dans l’équation (2) « » . ( On dit que l’on substitue « »
à « » ) |
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L’équation (2) devient : En développant on obtient :
« »
et après simplification :
« » d’où « » En remplaçant dans l’équation
(3) « y » par
« 4 » , on obtient « » ,
c'est-à-dire « »
soit « » Le système possédant une solution unique , le couple ( ) est
alors solution du système. Faites la
vérification en remplaçant dans le
système « »
et « » |
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Exemple 2 : Vous allez résoudre le système d’équations de couple inconnu ( )
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Déterminez le nombre de solutions..
;
soit une
solution unique. |
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On vous demande de procéder comme précédemment ( en pensant que ( ) est
le couple solution du système ) De l’ équation (4) vous en
déduisez que « »
soit « « »
(ce qui donne l’équation (6)). Et par substitution dans (5)
vous obtenez : « » ; ; ; ;
En remplaçant dans (6) , « y » par ce que vous venez de trouver , vous
obtenez : « » ;
Soit : Vérifiez en remplaçant
les valeurs de « x » et de « y » trouvées dans l’équation
(4) : |
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La solution unique du système est alors le couple ( |
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Remarque
1 : On utilise la méthode « par
substitution » quand l’une des inconnues figure dans l’une des
équations avec le coefficient
« 1 » ou « -1 ». ( Expliquez verbalement pourquoi ) . |
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Remarque
2 :
Il est possible de de combiner les deux méthodes. |
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Exemple 3 : Vous allez résoudre le système d’équations de couple inconnu ( )
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Déterminez le nombre de solutions : Il faut effectuer les rapports ………ils ne sont pas
égaux…… |
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En multipliant les deux membres de
(7) par « 2 » , vous
obtenez : 2 ( (
9) |
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En additionnant membre à
membre (9) avec (8) |
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( 9
) |
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( 8
) |
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On obtient |
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Vous en déduisez « »
soit « » |
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En remplaçant dans (7 ) ( ou
dans (8) ) « y » par la
valeur que vous venez de trouver , vous obtenez : ……………… ; ; …………………………..c’est à dire « ..» |
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La solution unique du système est alors le couple : (
; ) |
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Activités : Résolvez par la méthode de substitution
les système d’équations de couples inconnus respectives : |
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Suite voir la Fiche 11 :
Situations problèmes à deux inconnues |
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