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Classe de troisième . (corrigé) |
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Fiches sur : Les SYSTEMES d’ EQUATIONS
A DEUX INCONNUES. |
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Info :
Système d’équations (définition) |
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Compétences : -
Savoir transformer
l’équation a x + by + c = 0 en une
équation de la forme : y = …… |
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-
Savoir tracer une
droite d’équation y = a x + b dans un
repère orthonormé. |
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ENVIRONNEMENT du dossier:
le premier degré
à deux inconnues |
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DOSSIER : Fiches : Les systèmes d’équations. |
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Les
SYSTEMES d’ EQUATIONS A DEUX INCONNUES. |
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Fiche 1 :
Equations à deux inconnues |
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Problème : Quelles sont toutes les manières possibles de payer 50 €. avec des
billets de 5 € et des pièces de 2 €. |
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Appelons « »le nombre de billets de 5 € et
« » le nombre de pièces de 2 € . ( « » et « » sont des entiers naturels ) L’énoncé ce traduit par ( en euro) : Vous êtes en présence d’une équation dont l’inconnue est un couple d’entiers
naturels. Remplacez « x » par
« 4 » et « y » par « 15 » : Vous
obtenez : |
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Effectuez le calcul vous constatez que l’égalité est vraie. On dit que le couple « ( 4 ; 15
) » est solution de l’équation. |
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Remplacez « x » par
« 7 » et « y » par « 6 » : Vous
obtenez : |
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Effectuez le calcul vous constatez que l’égalité est fausse. On dit que le couple « ( 7 ; 6
) » n’ est pas
solution de l’équation. |
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Attention : -
Ne dîtes pas « « 4 » et « 15 » sont solutions » mais « le couple ( 4 ;15) est
solution de l’équation » -
Au lieu de « équation à deux inconnues » on devrait dire
« équation à un couple inconnu » -
( 4 ; 15 ) est solution de l’équation mais le couple (
15 ; 4 ) est-il solution ?.......non
…… |
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Vous allez résoudre l’équation . ( c'est-à-dire déterminer toutes les solutions ). Vous procéderez par tâtonnement en
donnant successivement à « » ( par exemple (vous pourriez le faire sur « y »)) les valeurs « 1 ; 2 ;
3 ; …….) et vous calculerez la valeur correspondante de « y »
( si elle existe ). |
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Exemples : pour « »
, vous obtenez :
c'est-à-dire : C'est-à-dire : ,
c'est-à-dire :
; le couple ( 4 ; 15 ) est
donc solution de l’équation. pour « »
, vous obtenez : c'est-à-dire :
C'est-à-dire : ,
c'est-à-dire :
; est-ce un entier ? non le couple ( 5 ; 12,5 ) est n’est
donc pas solution de
l’équation. Il n’y a donc pas de solution dont le premier terme du couple soit
« 5 ». |
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Remarque : On aurait pu donner des valeurs à « » et déterminer la valeur correspondante de
« ». ·
Liste des solutions : ………………………. ·
Répondez oralement à la question
posée dans le problème. |
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v L’équation
dont
l’inconnue est un couple de nombres quelconques possède non seulement les solutions
trouvées précédemment mais également des solutions telles que : (
14 ; -10 ) ; ( 6,4 ; 9 ) ; ( 7 ; 7,5 ) …vérifiez –le
verbalement. |
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Pour trouver d’autres solution , on utilise le même procédé que
précédemment : On remplace
« » ( ou « » ) par un nombre quelconque et on
détermine par le calcul la valeur correspondante de « »
( ou de « ») . |
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Exemples : |
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Pour « »
, vous obtenez : ,
continuez le calcul. ; C'est-à-dire : , c'est-à-dire : ; le couple ( 1,6 ; 21 ) est donc
solution de l’équation. |
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Pour « »
, vous obtenez : ,
continuez le calcul. ; C'est-à-dire : , c'est-à-dire : ; le couple ( 16 ; - 7,5 )
est donc solution de l’équation. |
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v Complétez
les couples ci-dessous de
telle sorte qu’ils soient solutions de
l’équation : |
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( ; ….) |
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Donnez d’autres exemples. |
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v Dans tous les cas , vous êtes conduit à
résoudre une équation à une inconnue , équation qui possède toujours une
solution (unique). v Comme il y a une infinité de façons de
remplacer « x » ( ou « y ») par un nombre quelconque
l’équation : « » a donc une infinité de solutions. |
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Fiche 2 : Equation du premier degré à deux inconnues. |
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Considérons l’équation « »
de couple inconnu ( x ; y ). Sachant que « » à la même signification que « » , l’équation donnée a alors les
mêmes solutions que l’équation obtenue en transposant. « »
En développant, vous obtenez : « »
Et après réduction des termes semblables , vous obtenez : « » ; On ne change pas les solutions en divisant les deux membres par « 3 » , on obtient : « »
Cette équation est de la forme « » dans laquelle « » ; « » et « » |
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A retenir |
Définition : On appelle « équation du premier degré à deux
inconnues » toute équation qui
après transformation peut s’écrire
sous la forme « ». Avec (« a ; b ;
c » étant des nombres et « (
x ; y ) » le couple inconnu).
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Remarque : Des équations telle que
« »
ou « »
sont des équations à deux inconnues mais ne sont pas des équations du
premier degré. |
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Cas particuliers : |
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: : |
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Cas : |
Exemple |
Commentaire : |
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« ;
» |
« » |
Toutes les solutions sont de la forme ( ) dans lequel « » est un nombre quelconque. |
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« ;
» |
« » |
Toutes les solutions sont de la forme ( ) dans lequel « » est un nombre quelconque. |
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