COURS.

1°) Racine carré d’une expression algébrique .

« les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée »

Si donc on a une écriture tel que :  , « x » étant une variable ,il faut d’abord écrire : 

Si bien que ces questions sont tributaires de la théorie des inéquations, à l’occasion de laquelle elles seront développées.

Mais nous pouvons donner quelques premiers exemples simples.

Exercices :

Exercices 1 :

·       Pour quelles  valeurs de « x » l’expression :  a-t-elle du sens ?

Solution :

Les mots : « avoir un sens » ; « être défini » ; « exister » ont la même signification

Possibilité du calcul de l’expression dés que la valeur numérique de « x » est fixée.

L’expression n’existe que pour :  

2x + 3   0

2 x  - 3

 x    

Exercices 2 :

·       Pour quelle valeur de « x » l’expression  existe – t- elle ?

Indication : Ecrire  5 – 4 x  0

Réponse :  

Exercices 3 :

·       Pour quelles valeurs de « x » l’expression    est – elle définie ?

Réponse :

2°) Application des propriétés .

L’application des propriétés            et     exige des précautions.

Ces égalités , vraies pour des nombres, ne le sont pas d’emblée pour des expressions algébriques.

Ecrire :    =   .              ( 1 )  es t spécialement dangereux……

En effet, le premier membre de (1) exige que   et   soit positif, c'est-à-dire que les facteurs  et  soient de même signe.

Ou bien  négatifs :    x  < 1   ; x < 2   donc en bloc  «  x < 1 »

Ou bien positifs :        x  > 1 ; x > 2   donc en bloc «  x > 2 »

Le premier membre existe donc : soit  pour « x < 1 » et soit pour « x > 2.

Mais le second membre exige que «  x – 1 »  et « x – 2 » soient séparément et simultanément positifs ;Donc «  x > 2 »

L’égalité ( 1 ) n’est donc correcte que pour « x > 2 »

Exercices 4 :

·       Pour quelles valeurs de « x » peut-on écrire :     =         ?  

Solution.

Le premier membre exige :

3 – x > 0    ou      x < 3

x – 2  > 0   ou   «   x > 2 

Donc    : 2 < x < 3

Le second membre exige :    ( 3 – x ) ( x – 2 ) > 0

Donc, ou bien

3 – x  < 0

x – 2 < 0

Ou                  x > 3

Ou                  x <  2

incompatibles

Ou bine 

3 – x  > 0

x – 2 >  0

Ou                  x < 3

Ou                  x >   2

Donc    : 2 < x < 3

L’égalité écrite est valable pour toutes les valeurs de « x » comprises entre « 2 » et « 3 »

Les domaines d’existence des deux membres sont les mêmes..

Exercices 5 :

·       Pour quelles valeurs de « x » peut-on écrire :    ?

Indication :

Il faut étudier les signes de «  5 – x »   ; de « x-1 »  et de  .

Réponse : Egalité valable pour «  1 < x <  5 »

Exercices 6 :

·       Pour quelle valeur de « x » a – t- on :   =   ?

Réponse : Le premier membre exigeant : «  x < 2 »   et  « x > 3 »

3°) Racines carrée d’un carré parfait algébrique.

Il y a lieu de ne jamais oublier que le symbole «  »  représente un nombre positif ;   «   » représente un nombre négatif.

Si donc à l’occasion de «   on effectue une transformation d’écriture , il ne faudra pas opérer sans réflexion :

 =    f ( x ) , pour les valeurs de « x » telles que :  f ( x ) > 0

 =  - f ( x ) , pour les valeurs de « x » telles que :  f ( x ) <  0

De telle sort que chaque cas le résultat final soit positif.

Exercices 7 : « Transformer »

·      

Réponse :

E = 2 x – 3   , si   2x – 3 > 0   ou  

E = 2 x – 3   , si   2x – 3 <  0   ou  

Exercices 8 : « Transformer »

·      

Réponse :

E = 3 x +4    , si   3x + 4  > 0        ou  

E =  - 3 x - 4    , si   3 x  + 4  <  0    ou  

Exercices 9 : « Transformer »

·      

Réponse :

E = 4 – 7 x    pour :  

E = 7 x – 4     pour  

Exercices 10 :  Donner les divers expressions rationnelles de :

E =   + 

    x – 5  pour    x > 5

     5 – x   pour   x < 5

De même

     x + 7      pour    x >  - 7

     - x – 7      pour   x < - 7

Il faut donc envisager les intervalles :

             (  -    ;  - 7 )       ;      ( - 7 ; 5 )      ;  ( 5 ;  +   )

Intervalle 1 :  -  < x  < - 7      ;  E ₁   =  5 – x – x – 7 = - 2 x – 2

Intervalle 2 :  - 7 < x  <  5        ;  E ₂   =   x + 7 + 5 – x =  1 2

Intervalle 3 :    5 < x < +        ;  E ₃   =  x – 5 + x +  7 =  2 x + 2

Exercices 11 Donner les divers expressions rationnelles de 

E =   + 

Indications : Donner les expressions de   et de   étudiées séparément.

-  < x  < ;           E ₁   = 2 x – 6

< x  <                ;  E ₂   =  8 x + 2

 < x  < +                ;  E ₃   =  - 2 x + 6

Exercices 12. Quelle  sont , suivant les valeurs de « x », les expressions rationnelles de :       ?

Réponses :

-  < x  < 2                      ;  E ₁   = 4 x + 4

2  < x  < +                      ; E ₂   =  10 x  - 8