Pré requis:

Les suites géométriques

Les suites arithmétiques

Les puissances de dix

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index        

Objectif précédent :

Notion sur les log.

Objectif suivant :

Application 1   : Etude simple de la fonction exponentielle et des logarithmes

Liste des cours disponibles sur les logarithmes.

 

DOSSIER   n° 1   : Les logarithmiques  vulgaires

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                         :la sphère

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

CHAPITRES :

I ) Idée de logarithmes .

 

II) Trouver le logarithme d’un nombre donné .

 

III ) Trouver le nombre correspondant à un logarithme donné.

 

Recherche d’un produit par les logarithmes

 

Recherche d’un quotient par les logarithmes

 

Recherche d’une puissance  par les logarithmes

 

Recherche d’une racine  par les logarithmes

 

Calcul , par les logarithmes, d’une expression numérique

 

Exercices spéciaux sur les logarithmes

 

 

 

COURS

 

I ) Idée de logarithmes .

Soient les deux progressions ci dessous , la première géométrique , la deuxième arithmétique :

 

 

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

10 000

Etc.

 

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Etc.

 

1er exemple : « multiplication »

II) Soit effectuer : 101000

 

Cherchons dans la deuxième progression les nombres qui correspondent aux nombres 10 et 1000 . On trouve  1 et 3 . Additionnons  , on obtient 4 . Cherchons  4 dans la première progression et relevons le nombre correspondant dans la première progression . On trouve 10 000 . Le produit  demandé est 10 000 .

Les nombres  1 ; 3 ; 4 et tous les termes de la deuxième progression sont appelés les logarithmes des nombres correspondant de la première progression .

On dira : log.  10 = 1

       log . 1 000 = 3

       log  10 000 = 4

 

On voit que pour effectuer une multiplication , il a suffit de faire une addition de logarithmes et de chercher le nombre correspondant au total .

 

Conséquence – le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs .   ( facteur 10 et facteur 1000)

 

 2ème exemple : « division »

 

Soit effectuer : 10 000 : 100

Cherchons dans la deuxième progression les logarithmes de 10 000 et de 100

On a :  log 10000 = 4

           log.   100 = 2

Soustrayons  les deux logarithmes , on obtient  2 . Cherchons le nombre qui correspond au logarithme 2 , c’est 100 . Le quotient cherché  est 100 .

 

On voit que pour effectuer une division de deux nombres  , il suffit de faire la soustraction des logarithmes de ces nombres et de chercher le nombre correspondant au logarithme de la différence .

 

Conséquence : le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur .

 

log. () =  log. 10000- log 100

 

3ème Exemple  « puissance » 

Soit à effectuer  10 3

On cherche dans la deuxième progression le logarithme de 10 , que l’on multiplie par l’exposant 3 . On obtient 1 3 ou 3 .

A ce logarithme  , correspond le nombre 1 000 , qui est la puissance  cherchée .

On voit que pour effectuer la puissance d’un nombre , il suffit de multiplier le logarithme de ce nombre par l’exposant et de  chercher ensuite le nombre correspondant au produit trouvé .

 

 

Conséquence : le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au logarithme de ce nombre multiplié par l’exposant de la puissance.

 

 

 4ème exemple  « puissance »

Soit à effectuer    

 

On cherche dans la deuxième progression le logarithme de 100 , c’est 2 . On divise ce logarithme par l’indice de la racine , qui est ici 2 . On obtient 1 . Il suffit de relever le nombre correspondant au logarithme 1 . C’est 10 , qui est la racine cherchée .

 

 

On voit que pour effectuer la racine d’un nombre , il suffit de diviser le logarithme de ce nombre par l’indice de la racine et de chercher ensuite le nombre  correspondant au quotient trouvé .

 

 

Conséquence . Le logarithme d’une racine d’un nombre est égal au logarithme  de ce nombre divisé par l’indice de la racine .

 

Tables de logarithmes .  Des savants ont dressé ce qu’on a appelé des tables de logarithmes ;c’est à dire qu’ils ont calculé les termes de progressions géométriques , correspondant à des termes  de progressions arithmétiques .

 

Les calculs sont  tous faits . Il suffit de relever les résultats . Des exercices montreront mieux que toute théorie comment on doit se servir de ces tables .

 

 

EXERCICES SUR LES CALCULS DE LOGARITHMES

 

 

Extrait des tables

 

Trouver le logarithme d’un nombre donné : nombre  à trois chiffres

 

 

Exercice 1 :

a) Trouver le logarithme du nombre 493 ,avec une table

On cherche dans l’extrait de la table  , le nombre « 493 » dans la colonne des nombres , indiquée N . Puis on prend le logarithme inscrit en face  , on trouve  69 285  , ce nombre s’appelle « mantisse » .

On compte le nombre de chiffres du nombre « 493 » , c’est « 3 » . On retire 1 à cette somme et on obtient « 2 » , qui est appelé la « caractéristique » . On place cette caractéristique devant  « 69 285 »  , en les séparant par une virgule ; et on  écrit :

                  Log.  493 =  2 , 69285

 

b )  Trouver le logarithme du nombre 493 Avec la calculatrice :

 

taper  «  493 » puis « log » : le résultat affiché est :  2 ,  692846919

 

Utilité de la caractéristique :

La caractéristique « 2 » indique que le nombre dont provient le logarithme est compris entre 100 et 1000 , c’est à dire à 3 chiffres .

 

Règle .  La caractéristique  d’un logarithme est toujours égale au nombre de chiffres entiers , moins un , du nombre considéré .

 

 

Remarque : on peut tirer de ce qui précède que :

                log.  de 49,3  = 1 , 69285

                 log. de  4,93  = 0, 69285

 

EXERCICE II :          Trouver le logarithme du nombre 0,0493 .

 

On cherche le logarithme du nombre 493 , c’est toujours comme mantisse  69 285  .Reste à trouver la caractéristique .

 

Or  , : 0,0493 =    ou log. 493 moins log. 10 000

 

Ou     2, 69285  - 4 

 

Pour retrancher   4 de 2 , on inscrira  -2  qui est le résultat , mais en l’indiquant comme ci-dessous :

, 69285

 

d’où   log. 0,0493  = , 69285

Remarque .- On voit qu’ainsi tous les logarithmes obtenus ont leur partie décimales positive , il n’ y a que la caractéristique qui peut-être négative . Cela facilite les calculs .

 

Règle : La caractéristique d’un nombre inférieur à 1 indique le rang du premier chiffre significatif à droite  après la virgule .

 

NOMBRES DE  4 CHIFFRES :

 

Exercice :  Trouver le logarithme du nombre 4936

 

On cherche dans la table le logarithme de 493 , qui est le même  que celui de 4930  , mais avec la caractéristique « 3 »  .

     On a :  log 4 930  =  3 , 69285

Mais ce n’est pas ce nombre  4 930 dont il faut chercher le logarithme  , c’est 4 936 , c’est à dire un nombre supérieur de 6 unités .

 

Pour un nombre supérieur de 10 unités , c’est à dire pour le nombre 4940 , la différence de logarithmes est de 88  ( colonne des différences) .

On dira : 1à unités correspond à une différence de logarithme  égale à 88 , à quelle différence correspond 6 unités ? La règle de trois suivante donne :

 = 52, 8 ou 53

 

On ajoute ce nombre 53 au log. de 4930 , et l’on  a

 3,69285  + 0,00053  =  3 , 69338

qui est le logarithme du nombre 4 936

 

 

A l’aide de la calculatrice le  log.  4936  =  3,693375151

 

NOMBRES DE 5 CHIFFRES

 

Exercice :   Trouver le logarithme du nombre 57 789 .

Cherchons dans la table les logarithmes de 57 700 et 57 800 ;puisque  57 789 est compris entre  57 700 et  57 800.

On a :    log. 57 700  =  4 ,76118

  Et         log. 57 800 = 4,76193

Pour une différence de 100 unités entre les 2 nombres , on trouve une différence de 75 entre les logarithmes ( colonne spéciale)

Comme dans l’exercice précédent , on fera la règle de trois suivante , en regardant que le nombre proposé 57 789 surpasse de 89 unités le nombre  57 700 ;

 = 67 par excès .

 

On doit donc ajouter 67 au log. de 57 700 , c’est à dire à  4,76118 .

On obtient :                  log. 57 789 = 4, 76185

 

II  TROUVER LE NOMBRE CORRESPONDANT A UN LOGARITHME DONNE .

 

Exercice 1

Trouver le nombre correspondant au logarithme  2,79 934

 

On ne s’inquiète pas de la caractéristique , qui indique seulement que le nombre cherché doit avoir 3 chiffres entiers  .

On cherche  dans la colonne des logarithmes la mantisse  79 934  qui s’y trouve justement . Elle correspond à un nombre : 630 . C’est le nombre cherché .

 

Exercice 2 :

Trouver le nombre correspondant au logarithme 0, 69679

Ce nombre aura 1 chiffre  entier d’après la caractéristique 0

Cherchons dans les colonnes des logarithmes  , on ne trouve pas  69 679 , qui est compris entre  

69 636  , correspondant au nombre 497

et    69 723    , correspondant au nombre 498 

et qui est supérieur  de 43 unités à  69936

le nombre cherché sera entre 497 et 498

 

On dit : Pour une différence de logarithme  de  69723 – 69636 ou 87 (indiquée dans la colonne des différences ) , on a une différence de nombres égale à 4980 – 4970 ou 10 unités .

Une règle de trois donnera le quatrième chiffre à ajouter à 497.

Pour une différence de logarithme de 87 unités , on doit ajouter 10 unités au nombre 4930 , pour une différence de logarithme de 43 unités , on devra ajouter :   = 5

 

Le nombre sera donc : 4,975 

 

La calculatrice donne pour  log.  de 0,69679  = 4,974964659

 

Exercice 3 :

Trouver le nombre correspondant au logarithme   ,69082

 

On cherche  69082 dans les colonnes  de logarithmes . (voir page précédente)

On trouve  69020 . Il y a donc une différence de 62 de plus  . Or , la différence tabulaire correspond à 69020 est de 88.

On posera la règle de trois suivante , si on veut avoir 5 chiffres du nombre .

Pour 88 : la différence des nombres  49 000 et 49 100 = 100

Pour « 1 »  la différence :

 

Pour « 62 » la différence : = 70

Le nombre demandé sera donc : 49 070 , mais comme la caractéristique est de    , il s’ensuit que le premier chiffre significatif du nombre 49070 doit venir après la virgule .

Le nombre demandé est : 0,49070.


 

RECHERCHE D’UN PRODUIT PAR LES LOGARITHMES.

 

On a vu que les produits de facteurs se transforme en additions des logarithmes de ces facteurs .

Exercice 1

Effectuer la multiplication : 492,7  0,51 517

On disposera ainsi :

;  log.  492,7 = 2,69258

   log.   0,51  = ,70757

   log.    517  =  2,71349

somme              5,11364    =  nombre  129 910

(voir le résultat  avec une calculatrice : 129 910 , 2274 )

 

Le logarithme  5,11364 est le logarithme du produit .

 

Recherchons dans une table complète le nombre correspondant à ce logarithme  , et le produit sera effectué .

 

Dans la table  , on a le logarithme 11059 , qui est le plus approché de 11364 . Il  correspond au nombre 129 ou 129 000 , puisqu’il nous faut ici 6 chiffres entiers à cause de la caractéristique « 5 » . On dira :

Pour une différence de 335 en logarithme , on aura une différence de 1 000 unités sur un nombre . Pour  une différence de logarithme de 11364 – 11059 ou 305 , on aura une différence de nombre égale à : = 910

 

Le produit sera donc : 1239 910

 

Le produit est 129910 , qu’on retrouve  en faisant les multiplications ordinaires . ( ou avec la calculatrice )

 

RECHERCHE D’UN QUOTIENT PAR LES LOGARITHMES

 

On a vu que tout division de nombres se traduisait par une différence de logarithmes .

Exercice  :   Effectuer la division  4968,3 : 51,4

On disposera :

  log.   4 968,3 =  3 , 69620

  log.        51,4 =  1,  71096

 Différence :     1, 98524

On recherchera dans la table , le nombre correspondant au logarithme 1, 98524 et l’on trouvera après calcul :   96,65

 

Qui est le quotient demandé .

 

 

RECHERCHE D’UNE PUISSANCE  PAR LES LOGARITHMES

 

 

 

 

 

 

 

RECHERCHE D’UNE RACINE PAR LES LOGARITHMES

 

 

 

 

CONTROLE :

Compléter les phrases suivantes :

 

 

 

EVALUATION

 

 

Les logarithmes décimaux des nombres entiers ( N ) de 0 à 1000 .   feuille 1/2

Remarque : si le premier chiffre de la mantisse n’est pas écrit , il est à lire :

Dans la première ligne antérieure où il est écrit s’il n’y a pas d’étoile,

Dans la ligne suivante s’il y a une étoile .

 

 

Les logarithmes décimaux des nombres entiers ( N ) de 0 à 1000 .   feuille 2/2