Pré requis

DOSSIER : Pourcentage et diminution  en a%  ( rabais ) 

Etablissement de la « formule »

Premier calcul : rechercher la valeur après diminution .

Deuxième type de calcul :  On recherche le prix avant diminution.

Troisième type de calcul :  rechercher le  taux   % de diminution .

COURS : 

Comment passer d’une formulation additive à une formulation multiplicative

Exemple :  on diminue de 5% un prix ; on soustrait  5% du prix au prix  de base , ou pour obtenir le nouveau prix directement il suffit de multiplié l’ancien prix par « 0,95 »

Objectif : diminution de a%

INFO :              Définition de l ’ Objectif :  Savoir trouver la  Nouvelle  Grandeur  ( NG) d’une Grandeur  de Départ (GD) ayant subit une diminution de a% .

         ( Cas de la vie courante :   en période de solde , de promotion ou braderie , on peut lire  ,sur les étiquettes ou affiches,  2 prix  )

SOLDE :   

  Exemple         ici      -  4 0%  sur tout le magasin ;

 Sur  une affiche on peut lire  : 900 €  au lieu de 1200  €

Y a t - il  « erreur » sur  l’affichage ?

Quel est le % réellement effectué   ?

ce  qui  donne en factorisant :

les réponses seront données à la fin du cours !

Pour trouver la  « Nouvelle Grandeur »(prix après diminution) d’une « Grandeur  de Départ » (prix avant diminution)  ayant subit une diminution , il faut :           

n que  la « Grandeur de départ » (prix avant diminution)  notée (GD) représente 100% de sa valeur de départ.

n que la « diminution » (différence entre le prix avant diminution et le prix après diminution ) représente  « a% » de cette  « Grandeur de Départ » (prix avant diminution).

On peut ainsi conclure  que :

                   La  Nouvelle Grandeur (NG) est égale à 100 / 100  de la grandeur de départ  (GD) moins le « a % «  de cette Grandeur de Départ  ( GD) ..

Ce qui se traduit par l’égalité mathématique suivante :

(1)  

si l ’on pose  NG = y    ;  GD = x   ; on remplace  dans la relation (1)  :

Nous remarquons que les deux termes  ()  x  et  () x

du second membre contiennent  comme « facteur commun » :  « x » ;(si pb  voir objectif :factdeve

)

Nous remarquons que les deux termes      du second membre contiennent  comme « facteur commun » :  «  » 

si problème  SOS cours  :  Factoriser

A savoir :

en regroupant les termes dans la parenthèse , on obtient :

Traitement mathématique de l’équation :

( on appellera « traitement » les transformations possibles de l’égalité en vue de trouver « y » ; « a » ou « x ». )

Il faut se souvenir que :

 « y » est l’ensemble d’arrivée ; ( en économie on dira que c’est le prix à payer après augmentation ).

 « a » est la valeur de l’échantillon pour cent  de l’ensemble de départ.

« x » est  de l’ensemble de départ  (en économie ce serait le prix que l’on payerait avant (ou sans) augmentation.

Premier calcul : rechercher la valeur après diminution  :

   On utilise l’égalité :      

On conclut que « le prix à payer après augmentation » est de :

Application :

Un objet   est à vendre à 1200 €  on applique une remise de  25%. Quelle somme payerez vous ?

Résolution

Calcul direct :

1°) on pose :

2°) on identifie : « y »= ? ;   « x » =  1200 €  ; « a » = 25

3°)on remplace dans  (1) :

y  =  ( (100 -  25 ) /100 )1200 €

4°) Calculs :

( (100 - 25 ) /100 )1200 € = (( 75)/ 100) )1200 €

                                             =   0,75 1200 €

                                              = 900 €

5°) Conclusion : le prix à payer après la remise   de 25 %  est de 900 € 

On peut trouver le résultat  par une autre méthode :

1° )On calcule la valeur de la remise avec la relation  y =  ( a /100) x

2°) On pose : prix à payer =  prix affiché + la taxe (en € .)

Deuxième type de calcul :  On recherche le prix avant diminution  :  

Soit l’égalité :         

( on recherche  )

Nous obtenons après transformation:                          

On conclut que « la somme » affichée  avant réduction était » de :

Application :

Un Objet est vendu  1500 €  après une remise  de 25 % ,   quel était prix avant diminution  ?

Résolution :

1°) On pose la relation   

2°) On identifie : « y » = 1500 €   (prix à payer après réduction)

« a » = 25 ; «  » = ?

3°) On remplace dans  (1) :

1500  €   =  (( 100 - 25 ) / 100 )  

 4°) Calculs :

                      1500 €     =  (75 /100)  

                       1500 €    =   0,75  

              1500  €  / 0,75   = 

                       2 000 €     = 

5°) Conclusion :

Le prix avant diminution  était de  2 000  €

Il n’y a pas d ’autres  méthodes !

Troisième type de calcul :  rechercher le  taux   % de diminution  :

soit  l’égalité :

nous obtenons : après transformation successive :

On conclut que « le taux de l’augmentation » est de : = (100 y / x) - 100

Application :  Un Objet est vendu 1200 €  après  « diminution » ;Son prix avant diminution  était de 1500 € . Quelle est le pourcentage de la diminution ?

Résolution :

1°) On pose la relation     

2°) On identifie :  « y » = 1200 €   (prix à payer après augmentation)

« a » = ?  ; « x » = 1500 €

3°) On remplace dans  (1) :

        1200  €   =  (( 100 +a ) / 100 )  1500 €

 4°) Calculs :

                       1200 €   / 1500 €  =  (100 +a )  /100)

                                     0,8 = (100 +a ) / 100

                            0, 8   100 =   100 + a

                                       80   =  100 + a

                                    80-100 =   a

                                         a   =   80 - 100

                                         a   =   - 20

5° ) Conclusion :

       si « a » = - 20  ; alors  « a% » = - 20 %

        Le taux de la diminution est  de  20 %  

Autre méthode :

On calcule la valeur de la diminution  en « euros »

     1500 €  - 1200 €   =  300 €

On pose : y = (a / 100)  ;     avec  « y » = 300 €  ; « a » = ? ; «  » = 1500 €

(voir objectif  « a% »)

Ce qui donne : « a % »= 20 %

Application :  Un Objet est vendu 900 €  après  « remise » ;Son prix avant remise était de 1200 €. Quelle est le pourcentage de remise ?

Résolution :

1°) On pose la relation y   =  ( )  x

2°) On identifie :  « y » = 900 €

  (prix à payer après réduction)

« a » = ?  ; « x » = 1200 €

3°) On remplace dans  (1) :

        900  €    =  (( 100 - a ) / 100 )  1200 €

 4°) Calculs :

                       900 €  / 1200 €  =  (100 - a )  /100)

                                     0 , 75 = (100 - a ) / 100

                         0, 75   100 =   100 - a

                                        75   =  100 - a

                                    a + 75 =  100

                                         a   =   100 - 75

                                         a   =   25

5° ) Conclusion :

       si « a » = 25 ; alors  « a% » = 25 %

        Le taux de la remise est de  25  %  

Autre méthode :

On calcule la valeur de la remise en « euros »

     1200 € - 900 €  =  300 €

On pose : y = (a /100 )  x ;     avec  « y » = 300 € ; « a » = ? ; « x » = 1200 €

( voir objectif  « a% »)

 Ce qui donne :  « a % »= 25 %

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

CONTROLE :                   

1°) Soit une grandeur donnée  (un prix ; une masse ;....) ; on prévoie de la diminuer d’un « certain »   pourcentage  ( a%).Traduire de façon « mathématique » ce à quoi est  égale la nouvelle grandeur .

2° )   Mettre sous forme d’équation mathématique :

Nouveau Prix =  (100 / 100) Ancien Prix  -  (a / 100) Ancien Prix

avec « y » = NP ;  « x » = AP.

*+ +  Montrer  que nous avons  à faire une application linéaire !

    ++ Donner la forme de la représentation graphique  ( prendre « a %» = 15 % )

EVALUATION :

Exercices :

On augmente « A = 300 »  de 3% ; exprimer en % ce que devient « A » après augmentation.

Si l’on appelle « A’ » ;« A » après augmentation; quelle est la valeur de « A’ » ?

Montrer les deux méthodes (directe et indirecte ) 

Résolution