- Cours niveau 5 sur le calcul algébrique

 

 

 

 

Autres pré requis :( voir « repère cartésien)  ) ;  ( ici : SOS calculs ) ; les symétries  

 

 

 

 

DOSSIER  N° :  Matière :    MATHS

Leçon :     ETUDE DE <VARIATIONS » de  FONCTIONS ( exemples)

Information « TRAVAUX »

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INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

 

 

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  warmaths

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 Fonction généralités.

  Représentation type.

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)Exemples de tracés.

2°) Les fonctions (étude)

3°) Voir l’étude graphique d’une fonction.

4°) Niveau IV (bac prof)

Info :

 

Liste des activités sur l’étude des fonctions.

 

 

Leçon

FONCTIONS :

Niveau V ; IV

ETUDE DE variations de  QUELQUES FONCTIONS.

 

 

Problème 1 

Etudier la fonction :  y =  4 x 4  +  x² - 3

Problème 2 

Etudier la fonction :  y =    (voir « asymptote » )

Problème 3 

Problème 3 : Etudier  la fonction y = 

Problème 4  :

Etudier  la fonction y = 

 

  • Méthode indirecte de recherche du maximum ou du  minimum.

Problème 5  :

Etudier  la fonction y = 

 

 

·       Méthode indirecte de recherche du maximum ou des minimum.

Problème 6  :

Etudier  la fonction y = 

 

 

 

Résumé : comment faire pour étudier les variations d’une fonction donnée.

 

 

 

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

Test

 

COURS 

Travaux  auto - formation.

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

évaluation

INTERDISCIPLINARITE

Corrigé Contrôle

Corrigé

 évaluation

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

   

 

Le but de ce cours est d’ examiner quelques exemples d’études  et de les compléter de remarques intéressantes , et qui montera comment il est possible d’anticiper et de  vérifier l’exactitude des  tracés proposés par les tableurs ou logiciels sont conformes .

 

 

 

 

 

Problème 1 : Etudier les variations de la fonction :    y = 4 x 4  +  x² - 3

 

A chacune des valeurs de « x » répond une valeur bien déterminée pour « y » ; cette fonction ne contenant que des puissances paires de « x » , il en résulte que deux valeurs égales , et de signes contraires de « x » donnent à « y » deux valeurs égales , la courbe représentative sera donc symétrique par rapport à la droite «  x = 0 » , ou axe des « y ».

 

Pour la valeur «  x = 0 » la valeur de « y = - 3 » cette valeur est un minimum de « y » , car pour les valeurs de « x » voisines  de « 0 » il y a lieu d’ajouter la valeur de  « 4 x 4  +  x² » qui est positive.

 

Si nous envisageons l’équation « 4 x 4  +  x² - 3 = 0 »elle   n’ admet que deux racines   « x’ =  »    et  « x’ =  », la valeur de « y » ne s’annule donc que deux fois.

La valeur de « y » est infinie et positive quand la variable « x » prend l’une des valeurs « +  »   ou «-  »  .

On peut résumer les résultats dans le tableau suivant :

 

 

 

Valeur de « x »

«-  »

Croît

0

Croît

 

« +  »

 

 

 

 

Valeur de « y »

« +  »

Décroît

0

- 3

0

Croît

« +  »  

 

 

 

Il est alors possible de tracer la courbe figurée ci contre

352001

 

 

 

 

 

Problème 2 : Etudier la fonction :  y =

 

 

 

Cette fonction « y » varie en sens inverse de la fonction linéaire ( 5 x – 3 ) celle-ci  est croissante , il en résulte que  la fonction proposée est toujours décroissante .

                        La fonction proposée est discontinue pour la valeur « x =   » qui annule le dénominateur ; pour une valeur de « x » un peu inférieure à    pour «  x = - »

( «  » étant une quantité très petite )  la fonction est infinie et négative pour une valeur de « x » un peut supérieure pour   «  x =  + »la fonction est infinie et positive , la valeur de « y » change brusquement de signe en passant par une valeur infinie.

D’autre part  , pour  «  x =  -    » la fonction « y » tend vers zéro par valeurs négatives , pour «  x = +    » tend vers zéro par valeurs positives ; comme valeur particulières observons que pour « x = 0 » ,  « y =  » . On peut résumer les variations de « y » dans le tableau ci-dessous : 

 

 

 

Valeur de « x »

«-  »

Croît

0

-

 +

Croît

« +  »

 

 

 

 

Valeur de « y »

0

Décroît

«-  »

« +  »

Décroît

0

 

 

 

 

 

Ces résultats permettent de tracer la courbe indiquée, si cela était nécessaire pour la précision du dessin on calculerait quelques valeurs de « y » répondant à des valeurs arbitraires de « x ».

 

Remarque : La courbe se rapproche indéfiniment de l’axe des « x » sans l’atteindre du côté des « x » négatifs ; de même du côté des « x » positifs.

La courbe s’approche également de la parallèle à l’axe de « y » menée par le point A  « x =   ». Quand une droite est telle qu’une courbe s’en approche indéfiniment sans l’atteindre , cette droite est dite «  asymptote » de la courbe .

 

·       Les asymptotes parallèles à l’axe des « y » s’obtiennent en cherchant les valeurs de « x » qui rendent « y » infini.

·       Les asymptotes parallèles à l’axe des « x » s’obtiennent en cherchant les valeurs de « y »  quand « x » prend une valeur infinie.

353001

 

 

 

 

 

Problème 3 : Etudier  la fonction y = 

 

 

En effectuant la division dans le second membre on peut écrire :   y = 2 +

 

 

Sous cette forme il apparaît que l’étude est analogue à la précédente , il suffit d’ajouter « 2 » aux valeurs  de la fraction  . La fonction varie en sens inverse de la fonction « 2x-3 » , celle-ci étant croissante la fonction proposée est décroissante.

La fonction donnée est discontinue pour la valeur  «  x =  » qui annule le dénominateur .

Pour «  x =  -  »   la fonction « y » est égale à  «-  »

Pour «  x =  +  »   la fonction « y » est égale à  «+  »

 

D’autre par pour   x = « +  »   ou   x = «-  »  .la valeur de « y » tend vers  = 2  comme valeurs particulières observons « y » est nulle pour  «  x =  » et que pour « x = 0 » la valeur de « y » est , on peut résumer les variations de « y » dans le tableau ci dessous :

 

 

Valeur de « x »

«-  »

Croît

0

 -

 +

Croît

«+  »

 

 

Valeur de « y »

0

Décroît

 

0

 

«-  »

 

«+  »

 

Décroît

2

 

 

 

 

Les résultats ci-dessus permettent de tracer la courbe figurée , celle-ci à une asymptote parallèle à l’axe des « y » , menée par « A » (   ;0) et une asymptote parallèle à l’axe des « x » menée par B ( 0 ; 2 )

354001

 

 

 

 

 

 

Problème 4  : Etudier  la fonction y = 

 

 

 

En effectuant la division dans le second membre on peut écrire :  y = 

 

 

 

La première partie de la parenthèse « 3x-2 » est croissante ; l’expression    varie en sens inverse de ( 3 x – 7) , mais en changeant le signe et prenant   cette dernière expression varie dans le même sens que « 3x-7 » , c'est-à-dire est également croissante , la fonction « y » proposée est donc toujours croissante.

 

 

 

355001

 

 

 

L fonction proposée est discontinue pour «  x =  » qui annule le dénominateur , il est aisé de voir sur l’une ou l’autre les deux formes données a « y » que :

Pour «  x =  - » « y » change à  «+  »

Pour «  x =  +  » « y » change à  «-   »

D’autre part pour «  x = +  » la valeur « y » est égale  à  «   = +  »

                 pour «  x = -   » la valeur « y » est égale  à  «   = -   »

comme valeurs particulières observons  que « y » est nulle pour  «  x’ = -2 »  et «  x’’ = 5 » ; enfin pour « x=0 » la valeur de « y » est égale à  «  » 

On peut résumer les résultats obtenus dans le tableau suivant :

 

 

 

 

Valeur de « x »

«-  »

Croît

-2

0

 -

 +

+ 5

Croît

+

 

Valeur de « y »

«-  »

Croît

0

+

- 

0

Croît

+

 

Il est alors possible de tracer la courbe , nous avons déterminé une asymptote parallèle à l’axe « y ».

 

 

 

 

Méthode indirecte de recherche du maximum ou du  minimum.

 

 

Nous avons pu, dans les exemples précédents , étudier  « directement » les variations des fonctions et déterminer leur maximum et leur minimum .IL n’est pas toujours aisé d’agir ainsi , on peut essayer la « méthode indirecte » qui consiste à opérer de la façon suivante.

 

 

Donnant à la fonction « y » une valeur déterminée que nous représenterons par la lettre « m » , on cherche quelle valeur on doit donner à la variable « x » pour que « y » acquière cette valeur « m ». On est  ainsi conduit à résoudre une équation « x » , si la résolution de cete équation « x » est possible, la discussion et la détermination des conditions nécessaires pour qu’elle ait des racines donne la limite à imposer à « m » , c'est-à-dire à la fonction « y » , il en résulte par cela même la connaissance du maximum ou du minimum de « y ».

 

 

 

 

 

Problème  5 :   Soit  à étudier  la fonction y = 

 

 

 

Cherchons la valeur de « x » qui donne  à  « y » la valeur « m » , on est conduit à résoudre l’équation :  m =

 

 

Ou :  m ( x² - x – 1)  =  x² + x +1 

     Soit                                       

 

 

 

m ( x² - x – 1)  -  x² - x  - 1  = 0 

 

 

 

 

m x² - mx – m – x² - x – 1  = 0

 

 

 

 

( m – 1 ) x² - (m+1) x – ( m + 1 ) = 0

 (reste à résoudre l’équation du second degré )

 

 

Ce qui donne comme racines :

 

 

 

 

 

x ’   = 

x ’ ‘  = 

 

 

 

 

 

Pour que « x » existe il faut que le trinôme sous le radical soit positif , ce qui exige que « m » soit  extérieur  aux racines «  -1 »  et  «  »

Il faut soit  «  m  - 1 »  , soit  «  m  » ; la première condition donne une valeur  « -1 » qui est un maximum auquel correspond la valeur « 0 » ; la seconde condition donne un minimum « » auquel répond la valeur «  x = -2 »

La fonction ne peut être  nulle , mais elle devient infinie en changeant brusquement de signe pour les valeurs de « x » annulant le dénominateur , c'est-à-dire pour : 

 

 

 

 

  x’   = =  - 0,618

x’ ‘   = =  +  1,618

 

 

 

pour   x = « +  »   ou   x = «-  »  .la fonction prend la valeur « 1 » ; on peut dresser le tableau des variations

 

 

 

Valeur de « x »

«-  »

- 2

- 0,618

0

+  1,618

«+  »

 

Valeur de « y »

1

 min

«+  » et «-  »

- 1 max.

«+  » et «-  »

+1

 

 

 

 

D’où le tracé de la courbe 

: 358001

 

 

 

 

 

Problème 6 :    Etudier  les variations de la fonction :      y = 

 

 

En calculant le discriminant du dénominateur on verra que celui-ci n’a pas de racines. ; la fonction reste donc toujours finie et continue.

 

 

Cherchons le maximum et le minimum , en posant :   m =

 

D’où : ( m – 1 ) x² - ( m – 5 ) x + ( m-1) = 0

 

 

Donnant deux racines :

 

 

 

x’   =

x’’   =

 

 

 

Pour que le trinôme sous le radical soit positif   il faut  que « m » soit entre les racines  « -3 » et  «  » :    soit  « -3 »  «  »

Ainsi :   «  »  est un maximum de « y »  pour « x = -1 »

Et   « -3  »  est un minimum de « y »  pour « x =  1 »

 

La fonction « y » s’annule pour « x² - 5 x + 1 = 0 » ; c'est-à-dire pour :   « x’ = 0,21 »   et « x’’ = 4,79 »

 

 

 

358002

 

 

pour   x = « +  »   ou   x = «-  »  .la fonction « y » tend  vers « + 1 ». On peut dresser le tableau des variations ci-dessous :

 

 

 

Valeur de « x »

 

-

 

- 1

0

0,21

1

4,79

+

 

Valeur de « y »

+ 1

 maxi

+1

0

- 3   mini

0

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Résumé : comment faire pour étudier les variations d’une fonction donnée ? .

 

 

Il résulte des exemples traités que pour étudier les variations d’une fonction donnée il faudra :

 

 

 

1°) Rechercher si la fonction est continue , ou pour quelles valeurs de la variable elle est discontinue , et dans ce dernier cas , examiner comment la fonction se comporte  pour des valeurs de « x » voisines de celles qui correspondent à une discontinuité.

 

 

2° )  Etudier le sens de variation de la fonction, rechercher si elle est croissante ou décroissante , ou bien présente un maximum ou un minimum.

-dans les exemples simples qui ont été étudiés  , nous avons pu résoudre aisément ces diverses questions , la méthode directe sera très souvent utile pour rechercher le maximum ou le minimum ; il y a lieu parfois de faire intervenir des méthodes « spéciales » de recherches, qui ne sont pas examinées dans ce cours.

 

 

3°) Déterminer les valeurs de la fonction  « y » pour certaines valeurs de « x » , en  particulier pour les valeurs infinies de « x » , pour les valeurs de « x » annulant la fonction , pour «  x = 0 » , et en général  autant de valeurs arbitraires qu’il sera nécessaire pour pouvoir établir le tableau des variations et dessiner la courbe.t 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 


 

Leçon

Titre

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION  Sur les tracés des fonctions 

 

TRAVAUX  N°    d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

 

      Donnez la procédure permettant d’étudier la variation d’une fonction.

 

 

TRAVAUX N°    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 

 

A  )  Etudier les variations des fonctions suivantes.

 

Problème 1 

Etudier la fonction :  y =  4 x 4  +  x² - 3

 

Problème 2 

Etudier la fonction :  y =    (voir « asymptote » )

Problème 3 

Problème 3 : Etudier  la fonction y = 

Problème 4  :

Etudier  la fonction y = 

 

 

Problème 5  :

Etudier  la fonction y = 

 

 

 

Problème 6  :

Etudier  la fonction y = 

 

B ) Etudier et représenter graphiquement les variations des fonctions suivantes.  

 

  1.  

 y   =  4 x 4  + 3 x² - 27

 

 

  1.  

y   =  4 x 4  - 12  x² + 5

 

 

  1.  

y   =  2 x 4  - 5  x² + 9

 

 

 

 

  1.  

y   = 

 

  1.  

y   = 

 

 

 

 

  1.  

y   =