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Les  EGALITES

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Savoir : réduire au même dénominateur deux fractions

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Savoir : transformer N en fraction équivalente à une autre fraction dont on impose un dénominateur.

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ENVIRONNEMENT du dossier :

Index         Boule verte

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Tableau          Sphère metallique101

  1. info : Tout  sur la  et Les fractions   

DOSSIER  :    FRACTION EQUIVALENTE à une autre fraction dont le dénominateur est donné.

- A)  Définition

- B )  vérifier si deux fractions sont équivalentes.

- C) construire une fraction équivalente.

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

 

Fiche s de travaux

 

Devoir : niveau 5

 

COURS

 

 

A) Définition de l ‘ objectif : Savoir construire une fraction égale à une fraction donnée.

 

Rappels

A )  FRACTION EQUIVALENTE *(à une autre fraction):   *Cette notion est trés importante; elle est la clef du travail sur les proportionnalités.

 

Equivalente :    veut dire  « de même valeur »;    donc on dira que :  deux fractions dites « équivalentes » sont des fractions qui représentent la même valeur.(racine latine :« équi »  qui signifie « égal »)

 

-Remarque.      Des fractions (ou écriture fractionnaire ) peuvent représenter un même nombre:

Exemples :

Le résultat du calcul des divisions  suivantes  (quotient ) est identique  ( de même valeur)    48 / 12 = 4   ;           20 / 5 = 4 ;           4,8 / 1,2 =  4   ;            4 / 1 = 4

De ce constat  , on peut donc écrire que            =  =  =  =  4

 

B  ) Deux fractions séparées par le signe « égal » sont dites « fractions équivalentes »

 

 

Modèle mathématique:

 

 « a » ; « b » ; « c » ; « d »  sont des nombres entiers .

 

                                              =         (il faut que  « b » et « d »  soient différents de 0)

 

 

Question : pour rechercher  l’équivalence de deux fraction  ( Q : SONT - ELLES « EQUIVALENTES » ? ? ? ? ?)

 

On répondra «  OUI »   ,  si le résultat de la multiplication  (que l’on appelle :produit »)   du nombre « a » par le nombre « d »  est égal au produit du nombre  « b » par le nombre « c ». 

 

Ainsi     et      sont équivalentes si ... « le produit......."a d "        est égal  au produit  "c b" »

 

Le calcul de  ... « le produit......."a d "        est égal  au produit  "c b" » est appelé « produit en croix »

 

Exemple numérique (on reprend les fractions ci dessus, on sait quelles sont égales )  :  

 

Exemple :   Enoncé :   Dire si Les fractions      et         sont   équivalentes ??????

 

Ou :  cet énoncé se résume à l’écriture suivante :   

=     ?

 

Deux possibilités pour répondre  : 1°) on fait les divisions pour chaque fractions et l’on compare les quotients , 2°)  ou  l’ on calcule  le produit en croix .

 

 

Première possibilité :

 

On effectue les opérations :    48 :  12 = 4   ;  20 : 5  = 4

 

Conclusion  n° 1 : La réponse est « oui » : les deux fractions sont équivalentes.

 

 Des fractions équivalentes  représentent un même nombre ,un même rationnel ; (que l'on appellera coefficient de proportionnalité)

 

Deuxième possibilité :

 

Soit les fractions      et         

 

On calcule  48 fois  5 ; et on calcule  12 fois 20 .

 

48 fois 5  =   240      ;  12 fois 20 =  240   

Constat :  les deux multiplications ont le même produit  « 240 » ; 48 fois 5  =   12 fois 20      donc   240  = 240

 

Conclusion :    les fractions      et        sont  équivalentes     on peut écrire l’égalité suivante : = 

 

 

C ) Procédure  pour construction  d’une  fraction équivalente (à une fraction donnée)

 

          Pour construire une fraction équivalente à une fraction donnée il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par un nombre entier.

 

Modèle mathématique:

       on multiplie a et b par k                                   ==

 

attention : k Π N     ( lire : le nombre « k » est un nombre entier )

 

 

 

 

Exercice  type   :

Enoncé :  construire (ou donner ) une fraction équivalente à la fraction  

 

Résolution :

 

 si je multiplie le num. « 7 » (Numérateur) et le déno. « 21 » (Dénominateur)  par 2  j’obtiens la fraction   :     

           rédaction :             =      =  

si je multiplie le num. « 7 » (Numérateur) et le déno. « 21 » (Dénominateur)  par 3

  j’obtiens la fraction :    

 

                    ==,

 

il y a une infinité de solutions

 

 

 ( On aurait pu proposer de diviser par « 7 »  et obtenir la fraction      )

 

 

Conclusion: on peut  proposer plusieurs solutions   de fractions équivalentes à la fraction de départ  et           écrire  que     =    (lire  « est équivalente à »  )

                                      ou  que    =

                                       ou que   =  *  =         *7 /7 =1   et  21/7=3

 

 

Remarques:

1.  - On peut obtenir une infinité de fractions équivalentes à une fraction donnée en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre ..

2.   - On peut aussi obtenir une fraction équivalente en divisant le numérateur et le dénominateur par un nombre entier non nul ,mais dans ce cas on limitera le nombre de fractions équivalentes ,puisque nous  arriverons à la fraction irréductible. 

 

IMPORTANT:   Deux fractions sont équivalentes si .......on peut le vérifier  ?

 

 

Vérification: Il y a deux solutions différentes :

 

Première solution

                      : On prend une calculatrice ,on effectue les divisions relatives à chaque fraction et l’on compare les deux résultats.(Il restera toujours un doute notamment lorsque l’on divise des fractions irréductibles très proche ; puisqu’elles n’ont pas de valeur décimale exacte).

           ( Cette méthode peut être très utile pour classer des fractions ,les unes par rapport aux autres)

      exemple type I : elles ne sont pas équivalentes

  Question:     La fraction 11  / 15   est-elle équivalente à la fraction 13 / 17 ?  (Si non ,on pourrait alors demander de les classer par ordre ...croissant  )

   Réponse:

            11 : 15 = 0.7333333

             13 : 17 = 0.764705

      conclusion:      les fractions    11 /15  et 13 / 17  ne sont pas équivalentes.

   (Dans ce cas ,pour la question suivante , on peut écrire que   13 / 17  >  11 /15  )

       exemple type II :  elles sont équivalentes

Question  :La fraction  22 /30  est-elle équivalente à la fraction  583/795 ?

        Réponse:

         22 : 30 = 0.733333333

         583 :795 = 0.73333333

       Conclusion :on ne peut conclure ,en étant certain  : « elles pourraient être équivalentes ».

Si on ne peut conclure ,dans ce cas voir la solution suivante

 

Deuxième solution:    (la plus sure) ;

                    par le produit en ...croix.

 

    Procédure permettant de vérifier si deux fractions sont équivalentes:

                     Pour s’assurer    (ou vérifier)  que  deux   fractions sont équivalentes, il suffit de transformer l’égalité des deux fractions.

     1°)  On transforme ce   Modéle mathématique:

 

                               =

 

en une égalité de deux produits:

 

                                  en ce modèle mathématique:

 

Numérateur..fract.1 x  Dénominateur .fract. 2  =  Numérateur fract.2 x Dénominateur fract  1

   

 

      2°)  On effectue les multiplications

 

     3°)  et on compare les résultats

     4°) On conclut:

                         a)   si les produits sont égaux  ;les fractions sont dites équivalentes.

                          b)  si les produits ne sont pas égaux ;les fractions données ne sont pas égales

   

 

 

 

 Exemple:

            On reprend l’exercice précédent:

Enoncé :    La fraction  22 /30  est-elle équivalente à la fraction  583/795 ?

On applique la procédure:

 

On énonce:

   est égale à           si           22 x  795  est égal à   583 x 30

 

On effectue les calculs:

22 x 795  =  17 490

583 x 30 =  17 490

On compare les résultats :         22 x 795   est égal  à  583 x 30     ( 17490=17490)

 

On tire une Conclusion:  les fractions     et   sont équivalentes; on peut donc écrire                 =

 

 

En résumé:

 

 

     Deux fractions ( et    )     sont équivalentes (c’est à dire) :         =         si    Num.1  x  Déno.2  =  Num.2 x Déno.1

 

 

Traduction en langage littérale:

 

 

 Deux fractions sont équivalentes si le produit du numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde fraction est égal au produit du numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction.

Remarques importantes:

 

On appelle cette méthode :@  « le produit en croix. »

 

 

Lorsque nous aborderons la leçon sur les proportionnalités on dira:

    

que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens  , (les extrêmes étant    Num.1 et Déno.2, les moyens étant   Déno.1 et Num.2)

 

=         si    extrème.1  x  extreme.2  =  moyen.1 x moyen.2

 

Applications :algèbre « résoudre »

 

avant de résoudre il faut transformer l ‘égalité donnée ;en appliquant  le produit en croix

 =

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 =

 

 

5x =123

 

75 = x 3

 

7x=312

 

75=12x

 

 

 

 

@  La règle de trois

 

 

La règle de trois est un "procédé" de calcul  permettant d ' étudier la variation de deux grandeurs proportionnelles.

 

La règle de trois s ’ applique à  la forme mathématique  :   ?   (=  c  )

 

 

Voir:  La multiplication d'un nombre ( ou grandeur) par une fraction

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Ce qui donne le modèle :

 (qui ne se calcule pas )   devient   le produit     qui lui peut se calculer pour devenir  le calcul :   devient   après calcul 

 

 

si     =   c

  cette écriture peut et  doit se transformer sous la forme       = 

 

                         pour donner        =       ; *   l ‘ égalité est vraie si : ad = bc

 

Nous obtenons le produit « en croix » suivant :

a d  =  c   b

 

 

 

Conclusion :        la "règle de trois" est une transformation du "produit en croix"  ,pour régler la recherche  d'une quatrième grandeur  (appelée "quatrième proportionnelle" ).

 

CALCULS PARTICULIERS

 

forme :   « @ une fraction est égale à un  nombre »

                                              = c        ; on recherche ou « a » ou « b »

Alors faire la transformation :

=     est  effectuer le produit en croix .tel que :      a 1 =  c   b    ;soit    :     a = cb

 

ou   =    devient  =   b     ;pour obtenir   b =    

 

EXERCICES :     Transformer l’égalité , par le produit en croix , (ne pas faire le calcul)

 

a )    =  5    ;                              b )    = 7 ;

 

 

 

réponses : a)     x = 13  5       ;      b )            13  = 7 x

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

 1° ) Dans quel domaine des mathématiques utilise-t-on les fractions équivalentes ?

 

2 ° ) Par quel   signe sont séparées deux fractions équivalentes?

 

3° ) Que   signifie le mot :équivalentes?

 

4 ° ) Donnez le modèle mathématique représentant deux fractions équivalentes.

 

5 ° ) Donnez la procédure permettant d’obtenir une fraction équivalente à une fraction donnée,donnez le modèle mathématique.

 

6° ) Comment peut-on procéder pour ordonner  ( classer dans un ordre croissant ou décroissant  ) des fractions ?

 

7° ) Comment procède -t - on pour vérifier si deux fractions sont équivalentes (donnez la procédure la plus sûre  ) ?

 

8 ° ) Enoncer la procédure permettant d’effectuer « le produit en croix ».

 

 

 

EVALUATION:

 

I  )Dire  si les fractions suivantes sont équivalentes (si non les classer par ordre croissant):

 

 

a  )   ;  ;  ;   ;   ; utiliser le tableau ci dessous ;

 

 

b )idem que ci dessus :   ; ; ; ;

 

c ) idem que ci dessus : ; ;  

 

II ) Construire .....5......fractions équivalentes à la fraction donnée :  

III) On nous donne deux fractions ; et   ;sont-elles équivalentes? 

 

 

 

En complément :voir cas avec nombres relatifs

I ° )  Construire 3 fractions équivalentes à la fraction donnée.(indiquer le coefficient multiplicateur utilisé pour chaque étape)

*un   « coefficient »   est un nombre ,généralement , entier .

 

a)  =

b)  =

c) =

 

d) =

 

II ° ) CALCUL   ALGEBRIQUE :

 

Transformer , par le produit en croix , les fractions équivalentes :

 

 =

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 

et encore :

a)   =  5      b)   = 7 ;

 

Construire  4 fractions équivalentes à la fraction à la donnée

 

      a)  =

      b)  =

      c)   =

 

      d)  =

     e)  =

f)    =

 

 

 

CORRIGE  EVALUATION

 

I ) a) ligne 2 : calcul avec la calculatrice

        ligne  3 : classement par ordre croissant.

 

0,28333

0,250

0,8337

0,583

0,600

2

1

5

3

4

 

 

 

 

 

conclusion : << <<

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

Applications :  en sciences  , LES PROPORTIONNALITES

Boule verte

 

 

 

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