Vers le programme de troisième.

 

Classe de troisième .

 

 

 

 

Pré requis:

 

 

 

Le cercle

3D Diamond

 

 

Angles et rapporteur

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

Niveau 5 et 4

Index   : warmaths

Objectif précédent :

1°)  l’angle et sa mesure .   Sphère metallique

2°) Angle au centre , angles inscrits.

Objectif suivant : mesure des arcs d’un angle. Sphère metallique

 Liste des cours sur les angles.

Fiches  : Les  ANGLES INSCRITS dans un cercle.

 

 

 

 

 

 

 

 

Fiche 1 : Triangle rectangle.

 

 

Fiche 2 : Constructions .

 

 

Fiche 3 : Problème.

 

 

Fiche 4 : Angle au centre – Angle inscrits.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Devoir auto formatif

 

 

 

 

TEST

 Filescrosoft Officeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

Fiche 1 : Triangle rectangle.

Info ++@ ++++

 

 

Vous avez vu en 4ème le théorème suivant :

 

 

Théorème :

Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de l’hypoténuse.

L’ Hypoténuse est alors  diamètre du cercle.

angles001

 

 

Activité : Tracez le cercle circonscrit au triangle rectangle « ABC »  (ci-contre), « O » étant le centre de ce cercle , tracez la médiane [AO ].

Vous retrouvez un autre théorème étudié en 4ème .

 

 

 

Théorème :

Dans un triangle rectangle , la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

 

 

 

 

 

Activité n°2 :

« EFG » est un triangle rectangle en « F ». « I » est le milieu de [ GE ].

« d » est une droite passant par « E », distincte  de ( EF )  et ( EG ).

« H » est le projeté orthogonal de « G » sur « d ».

Démontrez que « I » est situé sur la médiatrice de [FH]

angles002

 

 

Théorèmes réciproques des théorèmes précédents.

 

 

Choisissez un point  « A » quelconque sur le cercle ci-contre et tracez le triangle « BAC ».

 

Contrôlez que  est droite.

angles003

 

 

Théorème :

Etant donné un cercle  et [BC] un de ses diamètres , si « A » est un point quelconque du cercle , ( A  B   ;   A  C ) alors le triangle « BAC » est un triangle  rectangle « A ».

 

 

 

Et voici un théorème qui en découle :

 

 

 

Théorème :

                           Si dans un triangle , la longueur d’une médiane est la moitié de la longueur du côté correspondant alors le triangle est …………………et le côté considéré est …………………………..

 

 

 

 

 

Activité :

Deux cercles  « C »    et « C’ »  de centres respectifs « O » et « O’ » se coupent  en «A » et « B ».

 

( AO ) recoupe le cercle « C »     en « D »   et le cercle  « C’ »    en « F ».

 

( A O ‘) recoupe le cercle « C’ »  en « E » et le cercle « C »   en « G ».

 

1°) Démontrez que « D » , « B » , « E » sont alignés ( tracez [AB] ).

2°) Démontrez que « D » , « G » , « F » ,  « E » sont sur un même cercle.  ( Tracez ce cercle )

angles004

 

 

 

 

 

Fiche 2 : Constructions .

 

 

 

Problème 1 :

Construisez un triangle « ABC » rectangle en « A » dont l’hypoténuse est le segment [ BC]  ci-contre et dont la longueur de la hauteur est  25 mm.

 

Indication : Le triangle cherché est inscrit dans le cercle de diamètre ……………..

 

 

Problème 2 :

Dans les deux cas ci-dessous  , on donne un triangle « ABC ».

Tracez le demi-cercle de diamètre [ BC]  . Il coupe ( AB ) en « E » et (AC ) en « F ».

Tracez (BF ) et ( CE ) . Elles se coupent en « H ». Tracez ( AH ) qui coupe ( BC ) en « K ».

Démontrez ( verbalement) que  [ BF]   [ CE]   [ AK]  sont les hauteurs du triangle « ABC ».

( « H » s’appelle ………………………………………….du triangle « ABC »)

 

 

 


 

 

 

 

 

Fiche 3 : Problème.

 

 

 

« O » est le centre du cercle circonscrit au triangle « ABC ».

« H » est l’orthocentre du triangle « ABC ».

 

( AH ) recoupe le cercle en « E ».

  [ AD]  est diamètre du cercle. « M » est le milieu de  [ BF]  .

 

1°) Démontrez que ( BH ) et (CD) sont parallèles ainsi que (CH )et (BD).

 

2°) Démontrez que « M » est le milieu de  [ HD]   .

3°) Démontrez que ( ED ) et (BC) sont parallèles.

4°) Démontrez que « E » est le symétrique de « H » par rapport à (BC ).     

 

 


 

 

Fiche 4 : Angle au centre – Angle inscrits.

 

 

 

Vocabulaire :

Ci-contre , un cercle de centre « O ».

« A » et « B » sont deux points de ce cercle.

·       L’angle  a son sommet au centre du cercle.

 est appelé « angle au centre ».

On dit qu’il intercepte l’arc .

·       « M » étant un point quelconque du cercle , ( M  A    et    M B ) ,  l’angle  est appelé « angle inscrit dans le cercle »

Son sommet est sur le cercle et ses côtés coupent le cercle en « A » et « B ».

On dit qu’il intercepte l’arc

 

 

Exercice :

Sur la figure ci-dessus , placez des points qu’on appellera « C » , « D » et « E » tel que    ,   ,  soient des angles inscrits interceptant le même arc  . Mesurez     ,    ,    ,   . Que constatez vous ? …………………………………………………………….

Mesurez l’angle au centre  . Que constatez-vous ? ……………………………………………………………

 

C’est ce que nous  allons démontrer ci-dessous.

 

 

Relation entre un angle inscrit et l’angle au centre interceptant le même arc.

 

 

Cas particulier :

  est un  angle inscrit tel que  [ MB ] soit un diamètre.

Comparons    et   . Appelons    l’angle  .

 

[OA ] et [OM ]  sont des rayons, donc le triangle « AOM »  est  isocèle , donc

     

 

Dans le triangle  AOM  ,     = 180°  -  ( ………+ ……..)

C'est-à-dire  ,     = 180°  -  2   ou encore : 2   = 180 ° -   

 

 

 

 

Puisque  est plat  ,     et      sont ………………………………………………………….

Donc :  -       donc   

 

On peut écrire      = ………

 

 

 

Cas général :

  est un angle inscrit quelconque de   l’angle au centre interceptant le même arc .

Traçons le diamètre [ MN ] ; Il y a deux cas de figure possibles.

 

 

 

 

 

  =    +

  = 2 AMN + 2  ……..

  =  2 (  …… + ………)

  =  2    ou     = …..

  =    -  

  = 2 AMN -  2  ……..

  =  2 (  …… - ………)

  =  2    ou     = …..

 

 

 

 

 

Théorème :

Tout angle inscrit est égal à la  ……………………………….. ;de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont ………………………

 

 

 

 

 

Cas particulier :

 

Quand  [ AB ]  est un diamètre , AOB = …………………° ; donc  AMB = ……..°

 

On retrouve le 3ème théorème  de la fiche 1.

 

 

 

 

 

Fiche 5  Exercices.

 

 

 

Exercice 1 :

On donne un triangle « DEF » et son cercle circonscrit de  centre « I » .

 

 = 57°    ,  = 75 ° , Calculez   

 

 

 

 

 

 

Exercice 2 :

MNP    est un triangle dont les angles sont aigus.

« O » est le centre de son cercle circonscrit.

Sachant que =  25 °   , calculez  .

 

 

Exercice 3 :

On donne un cercle et  un point « M » extérieur au cercle.

Une droite passant par « M » coupe le cercle en « A » et « B »  ( « A » entre « M » et « B » )

 

Une autre droite passant par « M » coupe le cercle en « C » et « D »  ( « C » entre  « M » et « D » )

 

(BC ) et (AD )  se coupent en « P » .

 

  = 76°  ,   = 34 °.

Calculez  :   ,   ,   ,  .

 

 

 

 

 

 

Exercice 4 :

  un angle inscrit dans un cercle de centre de « O ».

  «   »  est la tangente en « A » au cercle . ( voir ci-contre ).

Démontrez que      =

 

 

 

 

 

Exercice 5 :

On donne un  cercle de centre « O » et de diamètre [ CE ].

« A » et « B » sont deux points du cercle de part et d’autre de (CE) et tels que  = 90°   et   = 60°

Calculer les angles du triangle ABC.

 

 

 

 

 

Exercice 6:

« O »  est le centre du cercle circonscrit au triangle  ABC ,   [ AK ] est hauteur . (AK) recoupe le cercle en « E », [ AD ] est le diamètre.

 

1° ) Démontrez que les triangles ABK et ADC ont leurs angles respectivement égaux.

 

2°) ( BD ) et (EC ) se coupent en « F ».  Démontrez que BFC est un triangle isocèle.

 

 

 

 

Fini  le 20/1/15