Pré requis:

Le cercle
Angles et rapporteur

ENVIRONNEMENT du dossier:

			Niveau 5 et 4
Index : warmaths	Objectif précédent : 1°) l’angle et sa mesure . 2°) Fiches : 3^ème collège.	Objectif suivant : mesure des arcs d’un angle.	Liste des cours sur les angles.

DOSSIER : ANGLES au centre et ANGLES INSCRITS

	I ) DEFINITIONS : "Angle au centre" et "angle inscrit"
	II ) POSITION DES cotés par rapport a un cercle : (3cas)
	III) Valeur des angles . ( 3 cas)
	1^er Cas : l’un des cotés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle.
	2^ème Cas : le centre du cercle est intérieur à l’angle inscrit.
	3^ème cas : le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.
	IV) Deux angles inscrits qui interceptent les deux arcs sous tendus par une même corde sont supplémentaires.
	Cas 1: L'angle est aigu.
	Cas 2 : L'angle est obtus.
	Cas particuliers : l’un des cotés de l’angle inscrit est tangent au cercle.
		Devoir auto formatif
TEST	COURS	Devoir Contrôle	Devoir évaluation	Interdisciplinarité	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation

COURS

A ) DEFINITIONS : "Angle au centre" et "angle inscrit"

1°) ANGLE AU CENTRE :

Définition : Un angle au centre est un angle qui a son sommet au centre d’un cercle .

La portion de cercle comprise entre les côtés d’un angle au centre est l’arc intercepté par cet angle . Exemple : l’angle au centre AOB ( ) intercepte l’arc AB.

2°) ANGLE INSCRIT :

Définition: On appelle "angle inscrit" à un disque, l'angle formé par deux cordes issues d'un même point de la circonférence.

L'angle est inscrit au disque de centre "O". L'arc BC compris entre les côtés de l'angle inscrit est l'arc "intercepté" par cet angle.( est un angle aigu) L'angle qui intercepte le même arc est "l'angle au centre correspondant " à l'angle inscrit.

Autrement dit :

On appelle « angle inscrit » dans un cercle un angle qui a son sommet sur un cercle et dont les cotés sont sécants ou tangents à ce cercle.

B ) POSITION DES COTES : (3cas)
a) Les deux cotés passant par B et C sont sécants  au cercle:
L’angle inscrit intercepte l’arc de cercle BC.

b) Un coté sécant, l’autre tangent :
L’angle inscrit BAC intercepte l’arc BMA

c) Les cotés sont tangents :	Info plus +++
L’angle inscrit BAC intercepte le cercle.

II) Valeur des angles :

Théorème : la mesure d'un angle inscrit est égal à la moitié de la mesure l’angle au centre correspondant (qui intercepte le même arc) .

1^er Cas : l’un des cotés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle.
L'un des côtés est un diamètre. Le triangle AOC est isocèle donc : = L'angle extérieur au triangle AOC est égal à la somme des angles intérieurs non adjacents Mes. = mes. + mes. = mes. 2 mes. = mes.

Activité : Quel est le cas étudié?
Compléter la phrase. l’angle est égal à l’angle ……………………

2^ème Cas : le centre du cercle est intérieur à l’angle inscrit.
Soit AD le diamètre passant par A, d'après ce qui précède : mes. = mes. 2 et mes. = 2 mes. en additionnant membre à membre il vient : mes. = mes.

Activité : Quel est le cas étudié ? ……………………..
compléter les phrases.: L’angle A1 est égal à l’angle ……. L’angle A2 est égal à l’angle ……. L’angle BAC est à la somme des angles ……………. qui est égal à l’angle BOD divisé par deux plus l’angle DOC divisé par deux . Ainsi l’angle BAC est égal à l’angle ………… divisé par deux .

3^ème cas : le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.
Soit AD le diamètre passant par A. mes. = mes. 2 et mes. = 2 mes. en retranchant membre à membre il vient : mes.- mes. = 2(mes. - mes. ) mes. = 2 mes.

Activité : Dans quel cas sommes nous ?
On donne le diamètre AOD. Compléter les phrases suivantes: L’angle BAD = l’angle ….. L’angle CAD = l’angle ……… L’angle BAC = l’angle BAD – l’angle CAD = ( l’angle BOD – l’angle COD) divisé par 2 . L’angle BAC = l’angle …………

Conséquences :

1. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ou des arcs isométriques sont isométriques.

2. Deux angles isométriques inscrits dans un même disque ( ou dans deux disques isométriques) interceptent des arcs isométriques.

Ces arcs en effet sont interceptés par des angles au centre isométriques.

3. Tout angle inscrit dans un demi disque est un angle droit. On a toujours: mes. = mes. comme ici : mes. = 2 Droits Il vient mes. = 1 Droit

Info plus ++++

IV) Deux angles inscrits qui interceptent les deux arcs sous tendus par une même corde sont supplémentaires.
Soient les deux angles inscrits et dont les sommets sont de part et d'autre de la corde MN . Ces deux angles interceptent respectivement des arcs MAN et NBM dont la somme fait 360°. La somme des deux angles inscrits est donc égale à 180°.

5.L'angle formé par une tangente et une corde , issue d'un même point, est isométrique de la moitié de l'angle au centre correspondant. ( 2 cas)

Cas 1: L'angle est aigu.
Mes. < 90° Le triangle BOA est isocèle, donc, mes. = mes. mais mes.= mes. ( même complément) donc: mes. = mes.

Cas 2 : L'angle est obtus.
mes. > 90° et mes. < 90° On vient de voir que : Mes. = mes. Or , est le supplément de et est le supplément de On en déduit que mes. = mes.

Cas particulier : l’un des cotés de l’angle inscrit est tangent au cercle.
Soit l’angle TAD que nous supposerons aigu (le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle). Traçons le diamètre AOB. Les angles TAD et ABD sont égaux car, tous deux aigus, ils ont leurs cotés respectivement perpendiculaires. D’où l’angle TAD = à l’angle ABD = l’angle AOD divisé par 2.

CORRIGE DES ACTIVITES:

Activité 3: Dans quel cas sommes nous ? le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.
On donne le diamètre AOD. Compléter les phrases suivantes: L’angle BAD = l’angle BOD divisé par 2. L’angle CAD = l’angle COD divisé par 2 . L’angle BAC = l’angle BAD – l’angle CAD = ( l’angle BOD – l’angle COD) divisé par 2 . L’angle BAC = l’angle BOC divisé par 2.

Activité 2: compléter les phrases. Quel est le cas étudié ? le centre du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit.
L’angle A1 est égal à l’angle BOD divisé par deux . L’angle A2 est égal à l’angle DOC divisé par deux . L’angle BAC est à la somme des angles A1 + A2 qui est égal à l’angle BOD divisé par deux plus l’angle DOC divisé par deux . Ainsi l’angle BAC est égal à l’angle BOC divisé par deux .

Activité 1: Quel est le cas étudié? l’un des cotés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle
A quel angle est égal l'angle BAC ? l’angle BAC est égal à l’angle BOC divisé par deux.

Travaux auto formatifs.
CONTROLE:

1° ) Qu’appelle t – on « angle au centre » ?

2° ) Qu’appelle t – on « angle inscrit » ?

3° ) Compléter les phrases suivantes :

un angle inscrit dans un demi cercle est …………

Deux angles inscrits dans un même cercle et interceptant le même arc sont ……….

EVALUATION:

SERIE 1:

Activité 1: Dans quel cas sommes nous ?
On donne le diamètre AOD. Compléter les phrases suivantes: L’angle BAD = l’angle …………. L’angle CAD = l’angle …………… L’angle BAC = l’angle BAD – l’angle CAD = ( l’angle BOD – l’angle COD) divisé par 2 . L’angle BAC = l’angle ……………..

Activité 2 : compléter les phrases. Quel est le cas étudié ?
L’angle A1 est égal à l’angle ………………………………… L’angle A2 est égal à l’angle ……………………………………. L’angle BAC est à la somme des angles ……………….. qui est égal à l’angle BOD divisé par deux plus l’angle DOC divisé par deux . Ainsi l’angle BAC est égal à l’angle …………….. divisé par deux .

Activité 3 : Quel est le cas étudié?
A quel angle est égal l'angle BAC ? l’angle BAC est égal à l’angle ……………………….

2°) Un angle au centre a pour mesure 108° ; quelle est la mesure d'un angle inscrit qui intercepte le même arc?

3°) Un arc AB vaut 1/10 de la circonférence, les tangentes au disque en A et B se coupent en C .

a)quelle est la mesure de l'angle au centre correspondant?

b)Calculer la valeur des angles du triangle ABC .