Pré requis:

Le cercle

3D Diamond

Angles et rapporteur

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ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

Niveau 5 et 4

Index   : warmaths

Objectif précédent :

1°)  l’angle et sa mesure .   Sphère metallique

2°) Fiches : 3ème collège.

Objectif suivant : mesure des arcs d’un angle. Sphère metallique

 Liste des cours sur les angles.

DOSSIER : ANGLES au centre et ANGLES INSCRITS

 

 

 

 

 

 

 

 

I  )  DEFINITIONS :     "Angle au centre" et "angle inscrit"

 

 

Et        POSITION DES COTES: (3cas)

 

 

II) Valeur des angles . ( 3 cas)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Devoir auto formatif

 

 

 

 

TEST

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COURS

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Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

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Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


COURS

 

A )  DEFINITIONS :     "Angle au centre" et "angle inscrit"

 

1°) ANGLE AU CENTRE :

Définition : Un angle au centre est un angle qui a son sommet au centre d’un cercle .

 

 

 

La portion de cercle comprise entre les côtés d’un angle  au centre est l’arc intercepté par cet angle .

Exemple : l’angle au centre AOB

(   ) intercepte l’arc AB.

arc

 

2°) ANGLE INSCRIT :

         Définition: On appelle "angle inscrit" à un disque, l'angle formé par deux cordes issues d'un même point de la circonférence.

L'angle   est inscrit au disque de centre "O".

L'arc BC compris entre les côtés de l'angle inscrit est l'arc "intercepté" par cet angle.( est un angle aigu)

L'angle  qui intercepte le même arc est "l'angle au centre correspondant " à l'angle inscrit.

Ai1

    Autrement dit :

On appelle « angle inscrit » dans un cercle un angle qui a son sommet sur un cercle et dont les cotés sont sécants ou tangents à ce cercle.


 

B )  POSITION DES COTES: (3cas)

a)     Les deux cotés  passant par B et C sont sécants  au cercle:

L’angle inscrit  intercepte l’arc de cercle  BC.

ins1

 

b)    Un coté sécant, l’autre tangent :

L’angle inscrit BAC intercepte l’arc BMA

ins2

 

c)    Les cotés sont tangents :

Info plus +++

L’angle inscrit BAC intercepte le cercle.

ins3

 


 

II) Valeur des angles :

 

 

Théorème : la mesure d'un angle inscrit est égal à la moitié de la mesure l’angle  au centre correspondant (qui intercepte le même arc) .

 

 

 

1er Cas : l’un des cotés de l’angle inscrit  passe par le centre du cercle.

L'un des côtés est un diamètre. Le triangle AOC est isocèle donc :

      =

L'angle  extérieur au triangle AOC est égal à la somme des angles intérieurs non adjacents

Mes.  = mes.  + mes.  = mes. 2

mes. =  mes.  

Ai4

 

Activité : Quel est le cas étudié?

Compléter la phrase.

l’angle est égal à l’angle ……………………

ins4

 

 

 

 

 

 

2ème Cas : le centre du cercle est intérieur à l’angle inscrit.

Soit AD le diamètre passant par A, d'après ce qui précède :

 mes. =  mes. 2   et

 mes.  = 2 mes.

en additionnant membre à membre il vient :

mes. =  mes.

Ai3

 

Activité : Quel est le cas  étudié ? ……………………..

compléter les phrases.:

L’angle A1  est égal à l’angle …….

L’angle A2  est égal à l’angle …….

L’angle BAC est à la somme des angles …………….  qui est égal à l’angle BOD divisé par deux plus l’angle DOC divisé par deux .

Ainsi l’angle BAC est égal à l’angle ………… divisé par deux .

 

ins5

 

3ème cas : le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.

Soit AD le diamètre passant par A.

mes. =  mes. 2   et

 mes.  = 2 mes.

en retranchant membre à membre il vient :

mes.- mes. = 2(mes.   - mes. )

mes. = 2 mes.

Ai2

 

 

 

 

Activité : Dans quel cas sommes nous ? 

 

 

On donne le diamètre AOD.

Compléter les phrases suivantes:

L’angle BAD = l’angle …..

L’angle CAD = l’angle ………

L’angle BAC = l’angle BAD – l’angle CAD

       = ( l’angle BOD – l’angle COD) divisé par 2 .

L’angle BAC = l’angle …………

ins6

 

Conséquences :

 

1. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ou des arcs isométriques sont isométriques.

2. Deux angles isométriques inscrits dans un même disque ( ou dans deux disques isométriques) interceptent des arcs isométriques.

 

Ces arcs en effet sont interceptés par des angles  au centre isométriques.

 

 

3. Tout angle inscrit dans un demi disque  est un angle droit.

On a toujours:

mes. =  mes.

comme ici : mes.  = 2 Droits

 

Il vient mes. = 1 Droit

Info plus ++++

Ai9

 

 

 

 

 

 

 

4) Deux angles inscrits qui interceptent les deux arcs sous tendus par une même corde sont supplémentaires.

 

 

 

Soient les deux angles inscrits  et  dont les sommets sont de part et d'autre de la corde MN . Ces deux angles  interceptent respectivement des arcs  MAN et NBM dont la somme fait 360°.

La somme des deux angles inscrits est donc égale à 180°.

Ai8

 

5.L'angle formé par une tangente et une corde , issue d'un même  point, est isométrique de la moitié de l'angle au centre correspondant.   ( 2 cas)

 

Cas 1: L'angle  est aigu.  

Mes.  < 90°

Le triangle BOA est isocèle, donc,

mes. = mes.

mais mes.= mes. ( même complément)

donc:

mes. =  mes.

 

 

Ai7

 

Cas 2 : L'angle  est obtus.

 

 

 

mes. > 90° et mes. < 90°

On vient de voir que :

Mes. =  mes.

Or ,  est le supplément de  et   est le supplément de

On en déduit que

mes. =  mes.

Ai6

 

 

Cas particulier : l’un des cotés de l’angle inscrit est tangent au cercle.

 

 

Soit l’angle TAD que nous supposerons aigu (le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle).

Traçons le diamètre AOB. Les angles TAD et ABD sont égaux car, tous deux aigus, ils ont leurs cotés respectivement perpendiculaires.

D’où l’angle TAD = à l’angle ABD = l’angle AOD divisé par 2.

ins7

 


 


 

CORRIGE DES ACTIVITES:

Activité 3: Dans quel cas sommes nous ?  le centre du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.

On donne le diamètre AOD.

Compléter les phrases suivantes:

L’angle BAD = l’angle BOD divisé par 2.

L’angle CAD = l’angle COD divisé par 2 .

L’angle BAC = l’angle BAD – l’angle CAD

       = ( l’angle BOD – l’angle COD) divisé par 2 .

L’angle BAC = l’angle BOC divisé par 2.

ins6

 

Activité 2: compléter les phrases.

Quel est le cas  étudié ? le centre du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit.

L’angle A1  est égal à l’angle BOD divisé par deux .

L’angle A2  est égal à l’angle DOC divisé par deux .

L’angle BAC est à la somme des angles A1 + A2  qui est égal à l’angle BOD divisé par deux plus l’angle DOC divisé par deux .

Ainsi l’angle BAC est égal à l’angle BOC divisé par deux .

 

ins5

 

Activité 1: Quel est le cas étudié? l’un des cotés de l’angle inscrit  passe par le centre du cercle

 

 

 

 

A quel angle est égal l'angle BAC ?

l’angle BAC est égal à l’angle BOC divisé par deux.

ins4

 


 

 

Travaux auto formatifs.
CONTROLE
:

1° ) Qu’appelle t – on  « angle au centre » ?

2° ) Qu’appelle t – on  « angle inscrit » ?

3° ) Compléter les phrases suivantes :

un angle inscrit dans un demi cercle est …………

Deux angles inscrits dans un même cercle et interceptant le même arc sont ……….

EVALUATION:

SERIE 1: 

Activité 1: Dans quel cas sommes nous ? 

On donne le diamètre AOD.

Compléter les phrases suivantes:

L’angle BAD = l’angle ………….

L’angle CAD = l’angle ……………

L’angle BAC = l’angle BAD – l’angle CAD

       = ( l’angle BOD – l’angle COD) divisé par 2 .

L’angle BAC = l’angle ……………..

ins6

 

 

Activité 2 : compléter les phrases.

Quel est le cas  étudié ?

L’angle A1  est égal à l’angle …………………………………

L’angle A2  est égal à l’angle …………………………………….

L’angle BAC est à la somme des angles ………………..  qui est égal à l’angle BOD divisé par deux plus l’angle DOC divisé par deux .

Ainsi l’angle BAC est égal à l’angle …………….. divisé par deux .

 

ins5

 

Activité 3 : Quel est le cas étudié?

A quel angle est égal l'angle BAC ?

l’angle BAC est égal à l’angle ……………………….

ins4

 

 

2°) Un angle au centre  a pour mesure 108° ; quelle est la mesure d'un angle inscrit  qui intercepte le même arc?

 

3°) Un arc AB vaut 1/10 de la circonférence, les tangentes  au disque en A et B se coupent en C .

a)quelle est la mesure de l'angle au centre correspondant?

b)Calculer la valeur des angles du triangle ABC .