Etude de la fonction "x²"

NIVEAU : Formation Niveau V (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

- Savoir

I ) Pré requis:


i9	Résoudre l’équation ..	:i
i9	Fonction et équation	:i

	Savoir calculer la racine carré.

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index warmaths

Dossier précédent :

Dossier suivant :

Info : voir la parabole.

Généralités :

Le second degré (au niveau 5)

III ) LECON n° : ETUDE DE LA FONCTION : y = a x²


	1. Etude d’un cas. (exemple : « y = »)
	2. Etude d’un cas. (exemple : « y = - 2 x² » )

	3. Cas général .

IV) INFORMATIONS « formation leçon » :

T est

COURS

Travaux auto - formation.

Corrigé des travaux auto - formation.

Contrôle

évaluation

INTERDISCIPLINARITE

Co r rigé Contrôle

Corrigé évaluation

V ) DEVOIRS ( écrits):

Devoir diagnostique L tests.	
Devoir Auto - formatif (intégré au cours)	
Devoir Formatif « Contrôle : savoir » ; (remédiation)	
Devoir Formatif « Evaluation savoir faire » (remédiation)	
Devoir sommatif.	
Devoir certificatif : (remédiation)	

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

Leçon

Titre ETUDE DE LA FONCTION : y = x²

N°

COURS

Exemple d’un cas n°1 :
Exemple : Etude de la fonction : « y = »
Cette fonction est définie pour : « - < x < + » , car on peut toujours calculer , pour une valeur de « x » : « x² » puis « »

Posons « u = x² ». Le nombre « u » varie dans le même sens que « x » ou en un sens contraire selon que « x » est positif ou négatif. Or : « y = u » est une fonction linéaire de « u » à coefficient positif « », donc « y » varie dans le même sens que « u ». D’où le tableau de variation ci-contre.

Représentation graphique .
Dans un repère cartésien ortho normal construisons les points de coordonnées : ; ( - 2 ; +1 ) ; ( 0 ; 0 ) ; ; …etc….. Voir ci contre…. Nous obtenons une parabole de la forme « y = x² ) mais plus évasée. . Elle admet l’origine « O » pour sommet , « y y ‘ » pour axe de symétrie et tourne sa « concavité» vers les « y » positifs. On peut l’obtenir en divisant par « 4 » , pour chaque valeur de « x » , l’ordonnée du point correspondant de la parabole « y = x² »
Etude du cas n° 2 :
Exemple : Etude de la fonction : « y = - 2 x² »

Posons « u = x² ». Le nombre « u » varie dans le même sens que « x » ou en un sens contraire selon que « x » est positif ou négatif. Or : « y = -2 u » est une fonction linéaire de « u » à coefficient négatif « -2 », donc « y » varie dans le sens contraire de « u ». D’où le tableau de variation ci-contre.
Représentation graphique .
Par rapport à deux axes ortho normaux , construisons les points de coordonnées : ( 0 ; 0 ) ; ( + 1 ; - 2 ) ; ( -1 ; -2 ) ; ; etc. ….. Nous obtenons une parabole de la forme « y = x² ) mais moins évasée et tournant sa concavité vers les « y » négatifs. On peut aussi l’obtenir en multipliant par « -2 » , pour chaque valeur de « x » , l’ordonnée du point correspondant de la parabole « y = x² » .
Cas général .
La fonction « y = a x² » est définie pour : « - < x < + » car quelque soit « x » on peut calculer « x² ; ( posons « x² = u ») » puis ensuite le produit « a x² ; noté : a . u».

Le nombre « u » varie dans le même sens que « x » ou en sens contraire suivant que « x » est positif ou négatif. Or « y = a.u » est une fonction linéaire de « u » qui varie dans le même sens que « u » si « a » est positif ; en sens contraire de « u » si « a » est négatif. On obtient :
1°) « a » est positif
Tableau de variation :	Représentation graphique :
Pour « a » positif : 1°) La fonction admet avec « x= 0 » un minimum ( y ) égal « 0 » 2°) on remarque que pour « x 0 » , « y » est du signe « + » pour des valeurs de « x » opposées ( exemples : ( + 3) et ( - 3) )	1°) La courbe est une parabole de sommet « O » et d’axe « y ‘ y » 2°) Pour tous les « a » positifs ; la concavité de la parabole est du côté des « y » positifs.
1°) « a » est négatif
Tableau de variation :	Représentation graphique :
Pour « a » négatif : 1°) La fonction admet avec « x= 0 » un maximum ( y ) égal « 0 ». 2°) on remarque que pour « x 0 » , « y » est du signe « - » pour des valeurs de « x » opposées ( exemples : ( + 3) et ( - 3) )	1°) La courbe est une parabole de sommet « O » et d’axe « y ‘ y » 2°) Pour tous les « a » négatifs ; la concavité de la parabole est du côté des « y » négatifs .

Remarque : Les paraboles « y = a x ² » et « y = - a x² » tracées sur un même graphique . ( voir ci- contre) sont symétriques par rapport à l’axe « x ‘ x » : Il en est ainsi des paraboles : Pour « a » = « +1 » ; dans « y = + x² » et Pour « a » = « - 1 » ; dans « y = - x² » Ou « y = - 2 x² » et « y = 2 x² » …(voir ci-dessus)