NIVEAU : Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

- Savoir

I ) Pré requis:

i9  

Résoudre l’équation ..

:i

i9  

Fonction et équation

:i

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  

Dossier précédent :

  1. L’équation produit.
  2. Représentations type de la fonction « y = x² »
  3. Info : voir la parabole.

 

Dossier suivant :

Etude de la fonction « ax² »

Info : voir la parabole.

 

  Généralités :

Le second  degré (au niveau 5)

 

III )  LECON    :   ETUDE DE LA FONCTION :   y = x²

 

1.      Etude  de la fonction 

 

 

2.    Sens de variation .

 

 

3.    Représentation graphique de la fonction : « y = x ² »

 

 

4.      Axe de symétrie :

 

 

5.     Tangente au sommet .

 

 

6.    Résumé .

 

 

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

 

Test

 

COURS 

Travaux  auto - formation.

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

évaluation

INTERDISCIPLINARITE

Corrigé Contrôle

Corrigé   évaluation

 

 

 

 

 

 

 

 

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

 Devoir  Auto  - formatif  (intégré au cours)

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluatio  savoir faire »  (remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif.

Ÿ

Devoir certificatif : (remédiation)

Ÿ

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

 

 

Leçon

Titre ETUDE DE LA FONCTION :   y = x²

 

 

 

 

 

COURS

 

 

Etude  de la fonction :

On peut calculer « y » pour toutes les valeurs de « x ».

La fonction « y= x² » est donc définie quel que  soit « x » , c'est-à-dire pour  « - <  x   < +  » . On obtient , par exemple :

 

x

- 10

- 5

-2

-1

0

+1

+2

+5

+10

Y= x² 

+100

+25

+4

+1

0

+1

+4

+25

+100

 

1°) On voit que : « y = x² »  est positif pour « x» , nul pour « x=0 » . D’autre part à deux valeurs opposées «  x =  »  correspond la même valeur «  y = ² »

2°) Si « x » devient infiniment grand en valeur absolue il en est de même de « y ».

Pour obtenir  « « y > 106 » par exemple , il suffit de prendre  « > 10 3 ».

Donc  lorsque «  x   ;  y +  »

Sens de variation . 

 

La fonction «  y = x² » est croissante lorsque « x » est positif , décroissante lorsque « x » est négatif.

 

1°) Si « x1 »  et « x2 » sont positifs , l’inégalité  « x1 <  x2 » entraîne   « x12 »  <   x1  x2 »   et  « x1  x2 < x22»   donc :  « x12< x22» , soit  « y1 < y2 »

2°) Si « x1 »  et « x2 » sont négatifs , l’inégalité  « x1 <  x2 » entraîne   « x12 »  >    x1  x2 »   et  « x1  x2 >  x22»   donc :  « x12 > x22» , soit  « y1 > y2 »

On en déduit que :

·        Un nombre positif et son carré varient dans le même sens .

·        Un nombre négatif et son carré varient en  sens contraire .

 

On peut donc établir le tableau de variation suivant :

Commentaire :

·        Lorsque « x » croît de « -  »  à « 0 » ; « y » décroît de  « +  »   à « 0 ».

·        Lorsque « x » croît de «0 »   à  « +  »  à « 0 » ,  « y »  croît de « 0 ».à  « +  ».

·        La fonction « y = x² » admet pour « x = 0 » , un minimum égal à « 0 ».

 

Représentation graphique de la fonction : « y = x ² »

Dans un repère cartésien ortho normal ( rectangulaire) «  x O y » , reporter la position des points :

A

B

C

D

A’

B’

C’

D’

O

( +1 ; +1) 

 ( + 2 ; +4 )

( + 3 ; + 9)

……….

( -1 ; +1) 

( -  2 ; +4 )

( -  3 ; + 9)

 

( O ; O )

 

Joindre les points ( comme ci contre) par une courbe continue , nous obtenons la représentation  graphique ci contre :

 

La courbe obtenue  ( fonction : y = x ² ) se nomme « parabole ».

 

 

Cette courbe admet un axe de symétrie……

Remarque : en construisant la courbe à une plus grande échelle  (ci contre) on met en évidence la forme arrondie de la courbe au voisinage de son sommet.

Axe de symétrie :

 

Les points « M » et « M’ » d’abscisse «  +  »   et  «  -   »ont même ordonnée «  y = ² »  . Ils sont symétriques par rapport à « O y » .

 

Sur la parabole  ci-dessus    Il en est ainsi de  « A et A’ »  , de «  B ; B’ » ; etc….

La droite « O y »  est donc axe de symétrie de la parabole.

 

Le point « O » situé sur l’axe de symétrie est le sommet de la parabole.    

Tangente au sommet  :

Info :+++

(voir la figure ci contre )

Considérons la droite sécante passant par les points  « O » et « M » ; joignant le point fixe « O »  et  un point variable « M » de coordonnées «  x =  »  et « y= ² » .

Le coefficient directeur de la droite « OM » est : «  =  » et la droite « OM a pour équation :   «  y = x »

Lorsque le point « M » vient se confondre avec le point « O » , sont abscisse «  »  tend vers  zéro et l’équation de la droite « OM » devient égal à  «  y = 0 » .

Autrement dit , la position limite de la sécante « OM » est la droite « x x ’ » qui constitue la tangente en « O » à la parabole.

 

En résumé :

La courbe «  y = x² » est une parabole de sommet « O » , admettant «  y ‘  y » pour axe de symétrie de «  x x ‘ » pour tangente au sommet.

 

Nota :  le tracé de la courbe reste semblable à elle-même lorsque l’on fait varier le module des vecteurs unitaires (  ;  )  du repère cartésien « xOy », en particulier si on adopte des  valeurs d’unités différentes sur les axes.

 

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur ETUDE DE LA FONCTION :   y = x²

 

TRAVAUX      d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

 

A venir

 

 

 

 

 

TRAVAUX N°    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 

 

Compléter le tableau suivant :

 

x

- 10

- 5

-2

-1

0

+1

 

+5

 

Y= x² 

 

 

 

 

 

 

+4

 

+100