Auteur : WARME R.

DOSSIER : Elève

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 20 / 25

 

 

DOCUMENT  « ELEVE »  .

 

 

PYTHAGORE.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

Préambule :   ( cliquez ici : activités pré requises)

 

INFORMATIONS : Dans un triangle si l’on  connaît 3 mesures sur 6  , on peut découvrir ou retrouver les 3 mesures  .

Les  mesures  d’un triangle  sont  : 3  mesures de longueur et 3  mesures d’ angle.

 

A )  «  résoudre un triangle » scalène :

 Ainsi « résoudre un triangle » c’est rechercher les « 3 » mesures manquantes , à partir des trois mesures données..

 

Résoudre un triangle rectangle :

Les caractéristiques du triangle rectangle sont :

1°)   3  longueurs : ce sont les longueurs des côtés , dont une s’appelle « hypoténuse ». .

2°)   3 angles :  l’angle « alpha » et l’angle « bêta »  et un angle particulier « un l’angle droit ».

 

     B )   Méthodes  de résolution d’ un triangle :

 

Pour résoudre un problème sur le triangle il y a deux méthodes :

-          par le graphique : On tracera le triangle à partir des 3 caractéristiques connues.

-          par le calcul et suivant les données :

                          a)    pour ce qui concerne les angles on fera appelle aux relations trigonométriques ( sinus ; cosinus ; ……)

                                 b)   pour ce qui concerne les longueurs des côtés on utilisera dans entre autre « Pythagore » ; …. 

 

 c) Citer les  possibilités permettant d ’ identifier les caractéristiques d’ un triangle rectangle (mesures d’angle et de longueurs) par le calcul. 

 

1°) Cas du triangle dont on connaît  3 côtés (3 dimensions = 3   longueurs)  :

on recherche alors la valeur des 2 angles « inconnus » .

a)  Si le triangle est rectangle : 

                     on utilisera les relations trigonométriques .

                     on fera appelle  à  la relation concernant  la somme des angles dans un triangle. ( complémentaires et ou supplémentaires)

 

     

b)  Si le triangle n’est pas un triangle rectangle , (ni équilatéral ; ni isocèle ) on appliquera les relations sur les triangles quelconques . :  difficulté qui  n’est pas au programme du CAP

  ( mais  éventuellement : voir Infos : ( niveau V : BEP  ou niveau IV : relations métriques dans le triangle quelconque)

 

2°) Cas du triangle dont on connaît  2 côtés (2 longueurs)  et un angle ( en degré)  :

 

a) le triangle est un triangle rectangle : (on peut le tracer)

         - le triangle est rectangle et l’angle connu est = 90° ; on fera « Pythagore ». pour trouver le 3ème côté . 

 

         ensuite : on appliquera les relations trigonométriques dans le triangle rectangle pour trouver le deuxième angle , on en déduira le troisième ( on connaît ou on se souvient de la relation concernant les angles complémentaires et supplémentaires)

 

b)  si le triangle n’est  pas dit « rectangle » il est soit rectangle soit quelconque . Pour résoudre ce type de problème , on devra voir au niveau IV .

 

3°) Cas du triangle dont on connaît  2 angles  et un côté :

On peut en déduire le troisième angle .

a) le triangle est un triangle rectangle : (on peut le tracer)

         - si le triangle est rectangle  ( l’angle connu = 90°)

  on en déduira le troisième ( on connaît ou on se souvient de la relation concernant les angles complémentaires et supplémentaires)

 

b) si le triangle est quelconque : (à voir au niveau IV)

 

 

 

 

Leçon

Titre

N°20

PYTHAGORE : Le théorème ;

 la Propriété de PYTHAGORE et sa réciproque.

CHAPITRES

I ) THEOREME DE PYTHAGORE.

CD. INFO +

A )  Propriété de Pythagore .

:Cd :Info plus +++

B ) Enoncé du théorème.

 

C ) Applications particulières : recherche d’une diagonale et hauteur .

 

II  ) RECIPROQUE  de Pythagore .

:Cd :Info plus +++

III  ) CACULS  : recherche  d'une longueur  d'un côté connaissant les longueurs  des autres côtés ( les 3 cas ) .

:Cd :Info plus +++

IV ) Applications du théorème et sa réciproque .

:Cd :Info plus +++

a) la corde à douze  uds.

 

b) diagonales et hauteurs .

:Cd :Info plus +++

c)  Pythagore et triangle rectangle et cercle inscrit .

:Cd :Info plus +++

 

COURS

 

i  1 9 ;   i 2 9

I )  « PYTHAGORE » .

CD. INFO +

 

A )  Propriété de Pythagore .

:Cd :Info plus +  « démonstration » ++

 

i   Pour démontrer le théorème de Pythagore , Euclide  démontre que :

Si  l’aire du carré ayant  comme côté l ’ hypoténuse  BC est égale à la somme de l’aire du carré de côté AB et l’aire du carré de côté AC : on aura démontré  que    BC2  =   AB2  + AC2

 


FActivités permettant de mettre en évidence le théorème de Pythagore :

1°) Découper 8 triangles rectangles ayant comme côtés de l’angle droit  , 3 cm et 4 cm .

Mesurer la longueur de l’hypoténuse : ( 5 cm)

2°) Tracer un carré initial de 7 cm par 7 cm .

C2

 
Disposer 4 triangles, comme l’indique le pointillé .

Quelle est la surface restante , dans le carré initial ?

De quelles figures se compose – t – elle ?

Elle se compose de 2 carrés. 

C 1   et   C 2

 

 Calculer les aires de ces carrés .

Faire la somme des aires.

 

C 1

 

Réponse : ( le carré) ; un carré de 3cm de côté (C1 aire = 9 cm² )et un carré de 4 cm de côté ( C2 aire = 16 cm²)  , C1  + C2  =  4 + 16 = 25 cm²).

3°) Tracer un  second  carré initial de 7 cm par 7 cm .

 

Au quatre coin du carré initial disposer les 4 autres triangles rectangles découpés , comme l’indique le pointillé.

Quelle est la figure formée par les 4 hypoténuses ?

 

Pourquoi ?

Calculer l’aire de C3 .

Quelle peut-être les conclusions ?

C3

 

Réponse : (la  figure est  le carré de 5 cm sur 5 cm ; l’aire de C3  = 25 cm²) ;

En conclusion. On remarque que la somme des aires des deux carrés ( C1  et C2) formés par les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle est égale à l’aire du carré ( C3 ) dont la longueur du côté est la longueur de l’hypoténuse .

 

4°)  En résumé :

 

Dans un triangle rectangle , le « carré » …… de l’hypoténuse est égal à la somme des « carrés » ……….. des côtés formant  l’angle droit .

 

 

Calculs pré requis.

B) THEOREME DE PYTHAGORE.

Info +++

¨Pour le théorème de Pythagore  , on démontre  , comme Euclide que :

A partir d’un triangle rectangle ,  l’aire du carré ayant  comme côté l ’ hypoténuse  BC est égale à la somme de l’aire du carré de côté AB et l’aire du carré de côté AC :

on peut écrire   que

       BC2  =   AB2  + AC2

 

De cette égalité  en découle des calculs :

Exemple : si on en déduit que  :

a   A savoir  et retenir  : Enoncé  du   THEOREME de PYTHAGORE :

 

Dans un triangle rectangle , la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est  égale au carré de la longueur de l'hypoténuse .

 Ce qui se traduit :

 

Si le triangle CBA est rectangle en A  alors …..

 

…..alors:     AB²  + AC ²  = BC ²

 

Dans un triangle  si la somme des carrés des mesures  de deux côtés consécutifs est égale au carré de la mesure du troisième alors ce triangle est rectangle .

Et dire 

que le triangle ABC  est  un triangle rectangle en A c’est aussi dire que  AB² +AC² = BC²

F  Activité :

Construire  un triangle A BC rectangle  en A tel que AB = 6 cm ; AC = 8 cm  . Mesurer  l' hypoténuse [BC] .  (c'est un  nombre entier en centimètres) . Calculer  AB²  puis AC ² , faire la somme  AB² + AC²  , puis calculer BC² . Comparer les deux résultats .

Constater que AB² + AC²  , est égal à  BC² .


 

II )  RECIPROQUE   de la propriété de   Pythagore .

:Cd :Info plus +++

Enoncé :

  Si dans un triangle, lorsque le carré   de la longueur  de l’hypoténuse   est égal à la somme  des carrés des  longueurs des deux autres côtés  , alors le triangle est rectangle .

Ce qui se traduit :

 

 

Si AB²  + AC ²  = BC ²

…..alors:

 

…..alors: le triangle CBA est rectangle en A  alors …..

ž .  Activité 1

Enoncé :  Soit  le triangle BAC dont les côtés mesurent respectivement : 30 ; 40 ; 50 mm ; est - il rectangle ?.

Solution :

- On écrit :  le triangle BAC sera rectangle si  CB² = CA² + AB ²

- On calcule  les « carrés »  des côtés :

CB² = 50 ²  =  2500

CA² = 40 ²  = 1600

AB² = 30²   = 900

- On calcule la somme des  carrés :  CA² + AB² =  1600 + 900  = 2500

- On compare avec  CB²  .( = 2500 )

On constate qu’il y a égalité :   Puisque CB² = 2500 et  que CA² + AB² =  2500

- On déclare  que  la relation CB² = CA² + AB ²  est vérifier ;

- On conclut que  le triangle  BAC est rectangle .

 

ž .  Activité 2

Enoncé : Le triangle BAC dont les côtés mesurent respectivement : 15 ; 20  ; 30 mm ; est - il rectangle .

Solution :

- Le triangle BAC  sera rectangle si  CB² = CA² + AB ²

- Calculs :

CB² = 30 ²  =  900

CA² = 21 ²  = 441

AB² = 20²   = 400

- Calcul  de la somme   CA² + AB² =  441 + 400  = 841

-          on compare le résultat de la somme  avec  « CB² »

Puisque CB² = et que CA² + AB² =  841 ; la relation CB² = CA² + AB ²  n' est  pas vérifier ;

- conclusion :  le triangle   BAC  n'est  pas rectangle .

 

 

III )  CALCULS : recherche  d'une longueur  d'un côté connaissant les longueurs  des autres côtés. ( nous traitons les  3  types de problème )

:Cd :Info plus +++

A ) recherche de la longueur de l'hypoténuse  "AB" :

[CB] = ?

[AB]= 3

[CA]= 4

Tracer le triangle rectangle et mesurer BC.!!!!!!

Sachant que [AB]= 3 cm et   [CA]= 4 cm

Calcul de la longueur  du [CB] :

Procédure :

Application

On pose l’ équation  :

BC²  = AC²  + AB ²

On calcule :

AC²    ; avec AC = 4  et

AB ²   ; avec AB = 3

 AC² =   4 ²  =  16

 AB²  =    =  9

 

On effectue la somme :

BC²  = AC²  + AB ²

BC²  = 16     +    9

BC²  = 25

Calcul de BC :

On sait que   =  x

BC =    ;  ( BC² = 25 )

BC =

BC = 5

Exemple de présentation des calculs sur feuille de devoir :

 

On donne  : AC = 4  ; AB = 3 ; calculer  CB .

Solution :

1°) BC²  = AC²  + AB ²

 

2°) BC²  = 16  +  9 ;  BC²  = 25

3°) BC =

4°) BC = 5


B ) recherche de la longueur du côté   CA  :

On donne :

[CB] = 42

[AB]= 21

[CA]= ?

Calcul de la longueur  du [CA] :

Procédure :

Application

On pose :

  BC²  = AC²  + AB ²

On calcule :

CB²    ; avec CB = 42

AB ²   ; avec AB = 21

 CB² =   42 ²  = 1764

 AB²  =  21²  =   441

 

On remplace les lettres par les valeurs connues :

BC²    = AC²  + AB ²

1 764  = AC²  + 441

On transforme l'égalité:

Se souvenir de la transformation

5        =  3 + 2  ;

5 =  ?  + 2 , pour " ? remplacer le point d'interrogation "on sait que la réponse est "3" .

pour trouver cette valeur "3" on doit faire la soustraction  " 5 - 2 "

on opère de la même façon  pour obtenir  AC² = …….

1 764  = AC²  + 441

1 764 - 441  = AC²

on peut " retourner" les deux membres.

Ce qui donne :

AC² = 1 764 - 441

AC² =  1323

 

Calcul de AC :

On sait que   =  x

 Recherche de AC :

 =   

avec la calculatrice on calcule :

= 36,3730669

 

     AC =  36 , 37

En résumé : BC = 42 ;  AB = 21 ;calculer  de  AC.

1°) BC²  = AC²  + AB ²

2°) 1 764  = AC²  + 441

3°) AC² = 1 764 - 441  ;  AC² =  1323

  AC =    ;   AC »  36, 37  ( à 0,01 près)

 


C ) rechercher par le calcul  la longueur du côté   "AB"  :

 

On donne :

[CB] =  20

[AB] =  ?

[CA]=  16

Calcul de la longueur  du [AB] :

Procédure :

Application :

On pose :

BC²  = AC²  + AB ² ;

 20²  =  16²   + AB²

On calcule :

CB²    ; avec CB = 20

AC ²   ; avec AC =  16

 -  CB² =   20 ²  =  400

 -  AC²  =  16²  =   256

 

On remplace les lettres par les valeurs connues :

BC²    = AC²  + AB ²

400   = 256  + AB ²

 

On transforme l'égalité:

Se souvenir de la transformation

6        =  3 + 2  ;

5 =  ?  + 2 , pour " ? remplacer le point d'interrogation "on sait que la réponse est "3" .

pour trouver cette valeur "3" on doit faire la soustraction  " 5 - 2 "

on opère de la même façon  pour obtenir  AB² = 400 - 256 .

400   = 256  + AB ²

400 - 256   = AB²

on peut " retourner" les deux membres.

Ce qui donne :

AB² = 400 - 256       ( 400 - 256 = 144)

AB² =  144

Calcul de AB :

On sait que   =  x

 Recherche de AB:

 =    ;  AB  =

avec la calculatrice on calcule :

   = 12

     AB =  12

Exercice résumé :

  BC = 20 ; AC =  16 ; calculer AB.

 

Calcul de AB

1°)   BC²  = AC²  + AB ² ;  20²  =  16²   + AB²

2°)   AB² = 400 - 256       ;   AB² =  144

3°)   AB  =

4°)  AB = 12

 

 

 

 

IV)  APPLICATIONS DU THEOREME  DE PYTHAGORE ET DE SA RECIPROQUE

 

 

a)   La corde à  12 nœuds ; dans le bâtiment :

Pour tracer des angles droits , les Egyptiens se servaient d’une corde  fermée à  12 nœuds , régulièrement espacés ; ou d’un segment de corde  à treize nœuds (régulièrement espacés)  dont un  nœud à chaque extrémité .

Ils la tendaient   entre trois pieux de la façon  , un en « T » ; un en « S » un en « U ».

 

 

b  ) diagonales  d’un quadrilatère et hauteur d’un triangle .

 

Diagonale d’un    rectangle

Info plus +++

AC² = AB² + BC².

Comme : DB² = DA² + AB²

Si « d » = AC ; a =  AB ; b = CB

Alors  d ² = a² + 

Donc   

« diagonale du carré = a » 

 

Info plus +++

AC² = DB² = d ²

Si AB = BC=CD=DA = « a »

Alors d ²  = a² + a²

 Soit  d² = 2 a²

Alors

 

    Donc  

 

 

 

 

Hauteur du triangle équilatéral =   a

Info plus +++

a2     = (  )2    + h 2

a2     -  (  )2   =   h 2

a2     -       =   h 2

h 2  =   -

h 2  =     ; donc   h  =

 

 

Voir dans l’espace : on demande de calculer la diagonale d’un cube , ou d’un parallélépipède rectangle .

Exemples  de demande  :

 

-Calculer HC

- Calculer FH

- Calculer DF

 

c ) Triangle rectangle inscrit dans un demi - cercle .

:Cd :Info plus +++

 

 Rappel : le centre du cercle circonscrit dans un triangle est  se trouve au point d ’intersection des médiatrices des côtés du triangle .( figure 2)

Observez dans la figure ci - dessous : en traçant la diagonale  AC du  rectangle  ABCD , je divise  le rectangle en deux triangle rectangle .Si je trace la seconde diagonale DB , j’obtiens un point O situé à égal distance des points , A ; B ; C ; D , je peux tracer un cercle passant par ces 4  points .(figure 1 )

 

Figure 1

figure 2

 

 

 

l  Soit "A"  un point quelconque   du demi - cercle de diamètre [ B C] .

Si  un triangle ABC est inscrit  dans un demi -  cercle de diamètre [ B C]  alors   ce triangle est rectangle .

 

Activité :

Dessiner un demi - cercle  de diamètre  BC = 8 cm . Construire  un triangle rectangle en A dont le côté  de l'angle  droit mesure  3 cm .

Solution :

Pour que le triangle soit rectangle il suffit que le point A appartiennent  au cercle  .L'hypoténuse  est le segment [ BC ] .

 

On retiendra :

Pour identifier un triangle rectangle  , on peut :

-          vérifier que ses dimensions  satisfont la réciproque  de la propriété de Pythagore ;

-          vérifier qu'il est inscrit dans un demi - cercle dont le diamètre est l'hypoténuse  du triangle .

vérifier  qu'un de ses angles est droit à l'aide  d'une équerre ou un rapporteur.

 

Leçon

VOIR >>>>>>> LES   TRAVAUX d ’ AUTO – FORMATIFS

N°20

sur PYTHAGORE

Le théorème ; la Propriété de PYTHAGORE et sa réciproque.

 

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