Pré requis:

Aire des surfaces curvilignes. ( lecture)

 

Voir le découpage d’un triangle quelconque en deux triangles rectangles

 

Quadrilatère convexe et   non - convexe

 

Les polygones

 

Formulaire  ( calcul des aires des figures élémentaires)

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :
  1. Les polygones réguliers
  2. Les calculs d’aires de surfaces de bases…

COURS

APRES :

Liste des objectifs de calculs d’aire

)Aire de surfaces curvilignes.

3°) Devoir

Complément d’Info

Les  Polygones (7)

 

 

TITRE : Calculs d’ AIRE D’UN POLYGONE   quelconque (dit aussi : irrégulier)
 

 

 
 

 

-      Définition : Aire d’un polygone quelconque :
 

 

-      1 Type de calcul par décomposition  (addition de surfaces élémentaires) :
 

 

-       Par différence :
 

 

 
 

 

-      Calculs de l’aire  Exercice traité:
 

 

Travaux ;

devoirs

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

Travaux niveau VI et niveau V

Dos  200

Contrôle

évaluation

 

 

 

 

Travail à donner aux élèves.  personnel : préparation du devoir formatif.

 

Interdisciplinarités :  Situations problèmes  (matière concernée)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

 

 
 

 

Aire d’un polygone quelconque :
 

 

 

 

Pour calculer l’aire  d’un polygone on divise ces polygones en carrés , rectangles , trapèzes , triangles rectangles ; puis on additionne les surfaces partielles obtenues et on a la surface totale .

 

On peut aussi entourer le polygone irrégulier par un rectangle circonscrit passant par tous ses  sommets ; on calcule la surface des diverses figures , triangles rectangles  , trapèzes qui se trouvent en dehors du polygone et on soustrait leur somme de la surface du rectangle circonscrit .

 

AINSI :

 

L’aire d’un polygone peut être obtenue soit par décomposition en surfaces élémentaires  ( somme = addition des aires)  ou par différence ( aire d’un rectangle diminué de la somme des aires exclues)

 

Principe utilisé pour la décomposition d’un polygone irrégulier en arpentage :

 

Tracer une  droite  , si possible la plus longue  dans le polygone  ,que l’on appelle « base »; et abaisser  sur la base des droites perpendiculaires issues des extrémités des segments (angles) , de sorte à n’obtenir que des carrés ; rectangle ; trapèze ,triangles rectangles .

 

 
 

 

1 Type de calcul par décomposition :
 

 

Exemple 1
 

 

L’aire du polygone ABCDEF est la somme des aires des triangles ABC , ACD , ADE  et AEF .

 

air7

 

 

 

 

 

Exemple 2

 

 

 

L’aire du polygone ABCDEF est la somme des aires des triangles rectangles  ABB’ , CC’D , EE’D , AFF’ et des trapèzes rectangles  BCC’B’ et EFF’E’ .

Ce procédé est celui utilisé par les arpenteurs.
 

 

air6
 

 

Exemple :
 

 

L’aire du polygone ABCDEF est égale à l’aire du rectangle circonscrit OPNM diminuée de la somme des aires des triangles rectangles BNC , CPD , DEE’ et FMA et du trapèze rectangle EE’OF.

Ce procédé est souvent utiliser pour connaître l’aire d’une pièce d’eau .
 

 

air5
 

 

Calculs de l’aire  Exercice traité:
 

 

 
 

 

Calculer l’aire de la surface  ( ABCD) ; les côtes sont en cm
 

 

aireplyiréPB
 

 

Aire ( ABCD) = Aire ( AA’BB’) – [Aire ( BB’C) + Aire ( AA’D)]

 

Aire ( ABCD) =     -

 

Aire = 1440 cm2

 
 

 

Autre problème résolu
 

 

Les relevées d’un plan on données les dimensions suivantes :

Quelle est l’aire de ce polygone ?

 

airpoly3
 

 

Solution : On a tracé la ligne de base AC ;. Sur cette ligne on mène les perpendiculaires des angles B ; E ; D  , et on cherche successivement la surface des triangles I ; III ; IV  et celle du trapèze II ;puis on additionne les résultats :

 

Triangle  I :   = 476 m2

 

Triangle II =  = 200 m2

 

Triangle IV =  = 960 m2

 

Trapèze  IV =48 = 1296 m2

 

 

La superficie totale est de : 2932 m2


 

 
 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 
 

 

CONTROLE:

1°) A quoi est égale l’aire d’un polygone régulier ?

2°) Citer le nom des deux possibilités pour obtenir l’aire d’un polygone quelconque.

 

EVALUATION:

1°)  Faire le découpage  suivant deux cas :
 

 

polyconvex
 

 

polycocav
 

 

 
 

 

PROBLEMES :
 

 

 
 

 

1°)  Calculer l’aire de la surface  ( ABCD) ; les côtes sont en cm
 

 

aireplyiréPB
 

 

2°)  Les relevées d’un plan on données les dimensions suivantes :

Quelle est l’aire de ce polygone ?

 
 

 

airpoly3
 

 

 
 

 

3°)  Quelle est l’aire d’un champ qui a la forme d’un quadrilatère  irrégulier ADCB .

Vous menez un diagonale  AC  et sur cette diagonale vous abaissez des perpendiculaires des sommets B et D . Quelle est la superficie du champ si la diagonale mesure 52 m et les perpendiculaires  ED et FB mesurent respectivement 23 et 30 m
 

 

 
 

 

airpoly2
 

 

 
 

 

4°)  Calculer d’après le plan et les données ci – jointes la superficie représentée par le polygone couvert  en gris  et circonscrit par un rectangle d’après les mesures indiquées sur le même plan . 
 

 

AIRpoly1
 

 

 
 

 

5°)  Un terrain   la forme d’un pentagone irrégulier ABCDE . Pour le mesure  vous tracer une diagonale BD , puis sur cette diagonale vous abaissez des perpendiculaires des sommets C, A, E .

Quelle est la superficie d u terrain si la diagonale mesure 46 m et les perpendiculaire CF 16 m  , et AG et EH respectivement 21 m et 19 m ?

Quelle est la valeur du terrain à raison de  25  € le mètre carré