Pré requis:

Voir le découpage d’un triangle quelconque en deux triangles rectangles

 

Quadrilatère convexe et   non - convexe

 

Les polygones

 

Formulaire  ( calcul des aires des figures élémentaires)

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

 
Polygones (5)

 

Index « warmaths »

AVANT :

1°) Aire et surface  Notion

COURS

APRES :

Liste des objectifs de calculs d’aire

2°) Aire de polygones irréguliers.

Complément d’Info :

Sommaire sur : Les calculs d’aires

 

 

 

 

DOSSIER : Calculs de  l’ AIRE D’UN POLYGONE.

 

 

 
 

 

 
 

 

1.     Aire d’un   Polygone régulier convexe de plus de 4 côtés et Complément :

2.   Aire d’un polygone quelconque  Polygone irrégulier

 

Travaux ; devoirs

►►Travaux

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

Série de devoir niveau V

►►Et encore  en interdisciplinarité  !!!

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :  Situations problèmes  (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 


 

2 cas sont a étudier : l’Aire d’un polygone quelconque et aire d’un polygone régulier convexe

 

COURS

 

A ) Aire d’un polygone régulier convexe :

 

Pré requis : aire d’un triangle :

L’aire d’un polygone régulier convexe est égale au demi- produit de son périmètre et de son apothème .

exemple : considérons  le pentagone

régulier ABCDE de centre O et d’apothème OH .

Son aire s’obtient en  multipliant par 5 celle du triangle OAB . Donc :

S =   =

Or 5 AB est le périmètre du polygone ABCDE. Donc , l’aire du pentagone régulier s’obtient en multipliant le périmètre par la moitié de l’apothème.

Il en est de même , quel que soit le nombre des côtés du polygone considéré.

air4

exemple : pentagone

Autre exemple :

L’aire de l’hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon R est donc :

S =     , soit S =

(triangle de base)

hexaéquiair1

Exemple : l’hexagone.

hexaéquiair2

 

B ) Aire d’un polygone quelconque :

 

L’aire d’un polygone peut être obtenue en effectuant un découpage du polygone  en surfaces élémentaires ( Carrés , rectangle , triangle rectangle ,……)  La superficie totale s’obtient soit :

par décomposition en surfaces élémentaires  et addition des aires

  ou par différence ( aire d’un rectangle diminué de la somme des aires exclues)

1°) Par décomposition :

Exemple 1

 

L’aire du polygone ABCDEF est la somme des aires des triangles ABC , ACD , ADE  et AEF

air7

Exemple 2

 

L’aire du polygone ABCDEF est la somme des aires des triangles rectangles  ABB’ , CC’D , EE’D , AFF’ et des trapèzes rectangles  BCC’B’ et EFF’E’ .

Ce procédé est celui utilisé par les arpenteurs.

air6

2° ) Par différence :

Exemple :

 

L’aire du polygone ABCDEF est égale à l’aire du rectangle circonscrit MNPQ diminuée de la somme des aires des triangles rectangles BNC , CPD , DEE’ et FMA et du trapèze rectangle EE’QF.

Ce procédé est souvent utiliser pour connaître l’aire d’une pièce d’eau .

air5

Calculs d’aires  Exercice traités :

Calculer l’aire de la surface  ( ABCD) ; les côtes sont en cm

aireplyiréPB


 

Aire ( ABCD) = Aire ( AA’BB’) – [Aire ( BB’C) + Aire ( AA’D)]

Aire ( ABCD) =     -

Aire = 1440 cm2

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

1°) A quoi est égale l’aire d’un polygone régulier ?

2°) Citer le nom des deux possibilités pour obtenir l’aire d’un polygone quelconque.

EVALUATION:

1°)  Faire le découpage  suivant deux cas :

-         Par décomposition ( clairière)

-         Par différence  ( pièce d’eau )

N°4

Soit un octogone ; son rayon du cercle = 5 cm.

 Calculer l’aire de l’octogone .

octogAir

PROBLEME :

Calculer l’aire de la surface  ( ABCD) ; les côtes sont en cm

aireplyiréPB