Pré requis:

 

Le produit scalaire

3D Diamond

Aire d’un triangle scalène

3D Diamond

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

Index warmaths        

Objectif précédent :

Aire du triangle quelconque  

Objectif suivant :

Relations métriques dans le triangle quelconque  Sphère metallique

Liste des cours sur la trigonométrie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER : le triangle quelconque :

Recherche de la longueur du troisième côté ,lorsque l’on connaît deux longueurs et l’ angle formé par ces deux côtés.

 

Avec la relation : «    »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

COURS

 

 

Figure :  cas 1

Figure :  cas 2

 

 

qcq3

qcq

 

 

Rappel : Aire du triangle :

 

 

Soit le triangle ACB de hauteur AH.

Du triangle rectangle AHB nous en déduisons :

AH = BA sin b    ;   ou   ;   AH = BA sin ( p - b )  ( rappel : sin ( p - b ) = sin  b  )

 

 

 

cas 1 :

AH = BA sin b

L’aire du triangle « S » est égal à :

S = BC  AH =BC  BA sin b

Figure :  cas 2

AH = BA sin ( p - b ) = BA sin b

L’aire du triangle « S » est égal à :

S = BC  AH =BC  BA sin b

 

 

 

 

 

 

En posant AC = b ; AB = c ; BC = a ; en  « B » = l’angle B ; en « A » l’angle A et en « C » l’angle  C .

On obtient , par permutation circulaire :

S = a  c sin B ; S = a  b  sin C  et  S = b  c sin A

 

 

 

qcq3

qcq

 

 

S = a  c sin B = a  b  sin C  = b  c sin A

 

 

 

Théorème : le carré d’un côté d’un triangle est égal à la somme  des carrées des deux autres côtés diminuée du double produit de ces côtés par le cosinus de l’ angle formé par ces deux autres côtés. 

 

 

 

Figure :  cas 1

Figure :  cas 2

 

qcq3

qcq

 

Info : calcul de la mesure algébrique…notée exemple  :

 

 

 

 

 

 

 

 

En menant  la hauteur « AH » du triangle BAC. On a :

 

      et 

 

 

Soit :

 

(1)             

 

 

On développe :          devient        

 

L’égalité ( 1 ) devient :

 

 

 

Or :   

 

 


 

 

 

Ainsi :

 

 

 

Calcul de la longueur de BH

 

 

qcq3

 

 

Soit le vecteur    de mesure « c »  sur l’axe BA    à pour projection sur l’ axe   le vecteur

 

 

 

Le cosinus de l’angle des axes BA et  est le cosinus de l’angle     B  est l’angle en B du triangle ; donc :

 

BH = c . cos  

 

 

 

 

On peut donc écrire les égalités suivantes :

a 2  = b 2 + c 2  - 2 bc cos A

b 2  = a 2 + c 2  - 2 ac cos B

c 2  = b 2 + a  2  - 2 ba cos C

 

 

 

Remarques : la seconde et la troisième égalité se déduisent de la première par permutation circulaire.

Notez que si l’angle  B = un droit (90°)  on a le cosinus  = 0 et on retrouve la relation de Pythagore .

 

 

 

 

 

 


 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

A partir des triangles suivants : donner les trois équations permettant de calculer l’ aire en fonction des sinus .

qcq3

qcq

S = ………………. =……………………. =…………………….

 

 

 

EVALUATION

 

 

INTERDISCIPLINARITE