mathématiques , L'ajustement en statistiques

 

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1°) Les moyennes.

2°) les caractéristiques de dispersion.

 

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DOSSIER /  « STATISTIQUES » /  Les ajustements /

Exemple de situation problème.

Sur  l’ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés.

 

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Situation problème N°1  :

Soit les données ci-dessous ; Calculer l’équation de la droite de régression.

 

 

 

Les données sont : 

Ci-dessous après avoir construit le nuage de point , on a relié chaque point pour obtenir le graphique ci-dessous….

 

 

 

Semaines : x i

Ventes de tablettes

Tactiles ( par milliers) : y i

 

aj14

 

1

6

 

2

4

 

3

6

 

4

8

 

5

10

 

6

10

 

7

12

 

 

 

 

 

Le nuage de points , sur le graphique ci-dessus , laisse penser que l’on peut ajuster une droite à cette série.

 

 

Pour obtenir cet ajustement , nous allons calculer son équation par la méthode des moindres carrés.

 

 

Résolution : Procédure à mettre en œuvre  pour effectuer cet ajustement. (ordre chronologique en 7 étapes)

 

 

 

 

 

étape ) Détermination des coordonnées du point moyen :  (   ; )

 

 

a)     Calcul de «  » :    =

 

 

 

b)     Calcul de «  » :    =

 

 

 

 

étape ) Détermination des valeurs des écarts  pour les   X i  et  les  Y i 

 

 

A partir de mesures « données précédemment  et reportées dans le tableau (1) et (2) » on doit calculer les valeurs des écarts  ( 3) et ( 4 )

 

 

Sachant que «  = 4  » «  = 8»

 

 

 

Colonne ( 1)

Colonne ( 2 )

Colonne ( 3 )

Colonne ( 4 )

 

Colonne ( 5 )

 

 

x i

y i

X i  =  ( x i - )

Soit le calcul  =   ( x i – 4 )

 

Y i  = ( y i - )

Soit le calcul   =  ( y i8 )

 

 

 

 

1

6

( 1 – 4 ) =  ( - 3 )

( 6 – 8 ) = ( - 2 )

 

 

2

4

( 2 – 4 ) = ( - 2 )

( 4 – 8 ) = ( - 4  )

 

 

3

6

( 3 – 4 ) = ( - 1 )

( 6 – 8 ) = ( - 2 )

 

 

4

8

( 4 – 4 ) = (  0 )

( 8 – 8 ) = ( 0 )

 

 

5

10

( 5  – 4 ) = ( +1  )

( 10 – 8 ) = ( + 2 )

 

 

6

10

( 6  – 4 ) = ( + 2 )

( 10  – 8 ) = ( + 2 )

 

 

7

12

( 7  – 4 ) = ( + 3  )

( 12  – 8 ) = ( + 4  )

 

 

 

 

 

 

 

3°) Troisième étape : Détermination du coefficient « a » de la droite de régression.       Sachant que : 

(Attention de respecter les règles des signes du produit de deux nombres relatifs)  

 

 

A)  Faire  le calcul des produits : ( X i  par  Y i )  et calculer la somme    ( le numérateur de l’expression de «a »  )  : 

 

 

 

 

 

Colonne ( 1)

Colonne ( 2 )

Colonne ( 3 )

Colonne ( 4 )

Colonne ( 5  )

Colonne ( 6)

 

x i

y i

X i 

Y i

( X i .Y i )

 

1

6

  ( - 3 )

 ( - 2 )

( - 3 ) ( - 2 )=  ( + 6 )

 

2

4

( - 2 )

( - 4  )

( - 2 ) ( - 4  ) = ( + 8 )

 

3

6

( - 1 )

 ( - 2 )

( - 1 ) ( - 2 )= ( + 2 )

 

4

8

(  0 )

( 0 )

(  0 ) ( 0 ) = 0

 

5

10

( +1  )

( + 2 )

( +1  ) ( + 2 ) =  ( + 2 )

 

6

10

( + 2 )

( + 2 )

( + 2 ) ( + 2 )= ( + 4 )

 

7

12

 ( + 3  )

( + 4  )

( + 3  ) ( + 4  ) = ( + 12 )

 

 

 

 

 

  = 

( +34 )

 

 

 

 

 

 

B)  Elever au carré les valeurs  «X i » et en calculer la somme :  ( le dénominateur  de l’expression de «a »  )  :

 


 

 

 

 

 

 

Colonne ( 1)

Colonne ( 2 )

Colonne ( 3 )

Colonne ( 4 )

Colonne ( 5  )

Colonne ( 6)

 

x i

y i

X i 

Y i

( X i .Y i )

X i 2

1

6

  ( - 3 )

 ( - 2 )

( + 6 )

( - 3 ) ( - 3 )=    ( + 9 )

2

4

( - 2 )

( - 4  )

( + 8 )

( - 2 ) ( - 2 )=    ( + 4 )

3

6

( - 1 )

 ( - 2 )

( + 2 )

( - 1 ) ( - 1 )=    ( + 1)

4

8

(  0 )

( 0 )

0

( 0 ) ( 0 )= (        0 )

5

10

( +1  )

( + 2 )

( + 2 )

( +1  ) ( +1  )=    ( +1  )

6

10

( + 2 )

( + 2 )

( + 4 )

( + 2 ) ( + 2 )=   ( + 4 )

7

12

 ( + 3  )

( + 4  )

( + 12 )

( + 3  ) ( + 3  )= ( + 9 )

 

 

 

 

 

 =( +34 )

=  ( + 28 )            

                                           

 

 

 

 

 

C ) Nous pouvons calculer  la valeur de « a » :

 

 

 

 

 

 

34 / 28    1,2142857142857142857142857142857

 

 

 

 

à   0,01 prés :

a   =  1 , 21

 

 

 

 

 

 

4°) Quatrième  étape : Calcul de « b »

 

 

Nous connaissons «  = 4  » «  = 8» et « a  = 1,21 » , le calcul de « b » devient simple :

On sait que   =  a    + b    , par transformation de l’égalité : b =   -  a    

En remplaçant par les valeurs connues :  b =  8  - (  1,21 x 4 ) ;    b = 8 – 4,84                                                               

 

 

 

D’où

b = + 3,16

 

 

 

 

 

 

5 °) Cinquième  étape : Reste à définir la forme générale de l’équation de la droite de regression.

 

 

                 L’équation étant de la forme «  y = a x + b » ; puisque « a = 1,21 » et «  b = + 3,16 »

 

 

                                                                                               Alors l’équation est égale à :   «  y = 1,21 x + 3,16 »

 

 

Fin des calculs…

 

 

 

 

 

6°) Représentation graphique de la droite. «  y = 1,21 x + 3,16 »

 

 

Nous savons que la droite passe par le point moyen ( 4 ; 8 ) .

 

Et quand «  x = 0 »   on constate que « y = 3,16 »

aj13

 

 

 

 

 

7°)   Exemple  d’utilisation de ces calculs précédents .

 

 

Connaissant l’équation de la droite « de tendance » , il est aisé de prévoir les ventes de la 8ème semaine , et par la même de passer une commande correspondante.

Nous posons donc « x = 8 » et nous calculons la valeur théorique de « y » :

«  y = ( 1,21 x 8 + 3,16 )       ; on trouve        y  13

 

 

Autres sujets : (difficulté croissante : A , B , C , D )

 

 

Situation problème N° 2 : (A)

 

 

 

 

 

x i

3

5

7

8

10

11

 

y i

16

14

14

9

7

5

 

 

 

 

1° ) Construire le nuage de points associés à cette série

 

 

2°) Calculer les coordonnées du point moyen du nuage.

 

 

 

Situation problème N° 3 : (A)

 

 

 

 

 

Année de naissance ( x i )

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

 

Espérance de vie ( y i )

67,5

68,4

69,0

70,2

71,3

72,7

73,9

 

Source INSEE . 1997

 

 

1°) Déterminer l’équation de la droite des moindres carrés.

 

 

2°) Quelle espérance de vie peut-on prévoir pour un homme né en 2 000 ?

 

 

 

 

 

Situation problème N° 4 :  d’après un sujet BAC ES 1997.   (A)

 

 

 

 

 

D’après un carnet de santé, on peut lire le poids moyen d’un enfant de sa naissance à 12 ans .

 

 

 

 

 

Age ( en années)

( x i )

0

1

2

4

7

11

12

 

Masse ( en kg)

( y i )

3,4

7

10,5

14,5

20,5

33

37,5

 

Aucun calcul manuel n’est demandé…

 

 

Dans cet exercice les résultats seront donnés à 10 -1 prés .

 

 

Le plan est rapporté à un repère orthogonal ( unités graphiques : 0,5 cm pour une année en abscisse , 0,5 cm pour 2 kg en ordonnées)

 

 

1°)

 

 

a : Représenter le nuage de points associé à la série statistique ( x i ; y i ) .

:Déterminer et représenter le point moyen de cette série.

 

 

2°)

 

 

a : Donner une équation de la droite de régression  « D  »  de « y » en « x ».

:Représenter  « D  »   sur le graphique précédent.

 

 

3°)

 

 

a : Déterminer graphiquement, en expliquant le raisonnement utilisé, à partir de quel âge le poids moyen d’un enfant dépasse 25 kg.

:Retrouver ce résultat par le calcul en utilisant l’équation de la droite « D  ».

 

 

 

 

 

Situation problème N° 5 :  (A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1°) 

 

EVALUATION

 

La correction est dans le cours.

 

 

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