Pré requis

1°)  Notions

2°) Les fonctions (présentation)  

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

INDEX warmaths

Objectif précédent 

 

  1. L’ensemble des R.
  2. Retour au cours sur l’étude d’une fonction

 

Objectif suivant :

1°) Etude sur l’étude de la représentation graphique d’une fonction

2°) Etude des fonctions usuelles 

3°)  Retour au cours sur l’étude d’une fonction

 

Tableau        4.02

Sommaire sur les fonctions.

 

 

 

FONCTIONS  NUMERIQUES ( Généralités) :

 

 

 

 

·        Une fonction numérique est une application d’une partie « » de « R »  dans « »

 

 

« » est l’ensemble de définition ( On dit aussi : Domaine de définition)

On note   F  « » l’ensemble des fonctions d’ensemble de définition « »

 

 

·        Deux fonctions sont gales lorsqu’elles ont même ensemble de définition « » et qu’elles , donnent la même image de tout élément « x » de « »

 

 

 

 

 

·        Somme de deux fonctions. Soit deux fonctions « f » et « g » ayant le même ensemble de définition « » leur somme «  h = f + g » est définie sur « » par   «  h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) »

L’addition des fonctions est associative et commutative . La fonction nulle est élément neutre.

 

 

 

 

Info :

·        Produit de deux fonctions.

Soit deux fonctions « f » et « g » ayant le même ensemble de définition « » ; leur produit «  k = fg » est défini sur « » par «  k ( x ) = f ( x ) .g ( x ) »

La multiplication des fonctions est « associative » et « commutative » ; la fonction définie sur « » :  x 1 est « élément neutre » ; la multiplication est distributive par rapport à l’addition…

 

 

 

 

 

·        Sens de variation.

 

 

Soit une fonction « f » définie sur un ensemble « E »  et « D » un intervalle contenu dans « E ».

 

Info :

Attention ! il se peut que « f » ne soit ni croissante , ni décroissante sur « D » .

Il en est ainsi , sur  [ 0 ; 1 ] pour la fonction.

x    f ( x ) = x ( 1 – x )

 

 

 

 

 

Pour «  x 1 = 0 »  ,  « x 2 =  »   ,     f ( x 1 ) = 0  , f ( x 2 ) =    et    

 

 

 

 

 

Pour «  x 1 = 1 »  ,  « x 2 =  »   ,     f ( x 1 ) = 0  , f ( x 2 ) =    et    

 

 

 

 

 

Le rapport  ( appelé parfois « taux d’accroissement ») n’a pas un signe constant pour tous les couples « D² » : F n’est pas monotone.

 

 

 

 

 

 

Si pour tout couple ( x 1 ; x 2)  d’éléments distincts de « D »

Alors la fonction « f » est dite :

 

 

 

 

 0

 

 

Croissante sur « »

 

 

>  0

 

Strictement croissante sur « »

 

 

 0

 

Décroissante sur « »

 

 

<  0

 

Strictement décroissante sur  « »

 

 

 

 

 

« f » est dite alors monotone ( resp. strictement monotone ) sur « »

 

 

 

 

 

·        Composition de fonctions.

 

 

Soit « f » une fonction définie sur un intervalle  D   et « g » une fonction définie sur un intervalle « I »  et prenant ses valeurs dans D  , la fonction composée «  h = f o g » est définie sur « I » par «  h ( x ) = f [ g ( x ) ]

 

 

 

 

 

Exercices types :

 

 

1.       

Nommer la fonction ; puis déterminer la plus grande partie de « R » sur laquelle les expressions suivantes définissent une fonction.

 

 

 

 

 

·        f (x) =   4 x – 1

Est une fonction affine… elle est définie sur R  tout entier.

 

 

·        g(x)   = x ² - 2 x +1

Est une fonction polynôme ; … elle est définie sur R  tout entier.

 

 

·        h ( x) =  

Est une fonction polynôme ; … elle est définie sur R  tout entier.

 

 

 

 

2.       

Nommer la fonction ; puis déterminer la plus grande partie de « R » sur laquelle les expressions suivantes définissent une fonction.

 

 

·       

« f » est une fonction rationnelle ; son domaine de définition est donc l’ensemble des réels qui ne donne pas au dénominateur la valeur « 0 »

or  x   R ; x² + 1 > 0 , donc « f » est définie sur « R ».

 

 

·       

« g » est une fonction rationnelle ; son domaine de définition est donc l’ensemble des réels qui ne donne pas au dénominateur la valeur « 0 »

donc « f » est définie sur « R *». ( x  0)

 

 

·       

« h » est une fonction rationnelle ; son domaine de définition est donc l’ensemble des réels qui ne donne pas au dénominateur la valeur « 0 »

donc « f » est définie sur « R *». ( x  0 )

 

 

 

 

3.       

Nommer la fonction ; puis déterminer la plus grande partie de « R » sur laquelle les expressions suivantes définissent une fonction.

 

 

·       

 

 

 

·       

 

 

 

·       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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