Classe de 5^ème collège
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	Programme de collège 5^ème
I ) Pré requis:
► Algèbre : conventions d’écriture ; définitions ; ….		¥
► 1°) décimal relatif : notions		¥
► 2 °) le nombre relatif : nomenclature ( dit aussi : nombre algébrique)		¥

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index : warmaths

Objectif précédent : L’opposé d’un nombre relatif

Objectif Les opérations avec des nombres relatifs · Les expressions et les sommes algébriques.

Tableau 8 / 84 Liste des cours d’algèbre… Liste des cours en calcul numérique.

Les "EXPRESSIONS" ET "SOMMES" algébriques.

Liste des fiches

Fiche 1 : Simplification de l’écriture d’une somme ou d’une différence de deux nombres relatifs.

Fiche 2 Calcul d’une somme ( ou d’une différence) écrite sous forme simplifiée.

Fiche 3 : La somme algébrique et « expression algébrique ».

Fiche 4 : Autres méthodes de calcul d’une somme algébrique. Et « Simplification des opposés ».

Fiche 5 : Des parenthèses dans une somme algébrique.

Fiche 6 :Exercices d’entrainement.

Fiche 7 Introduction de parenthèses .

IV) INFORMATIONS «  formation leçon » :

Devoir TEST	COURS	Travaux auto - formation.			Corrigé des travaux auto - formation.
		Contrôle	évaluation niveau I évaluation	Interdisciplinarité corrigé	Corrigé Contrôle	Corrigé évaluation

V ) DEVOIRS ( écrits):

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés ( tout ou partie) pour conclure une formation .

Fiche 1 : Simplification de l’écriture d’une somme ou d’une différence de deux nombres.					Info @ 1 Info @2
Remarque : Cette fiche n’a pas trop d’intérêt, si ce n’est qu’il faut savoir transformer une expression en somme algébrique et non simplifier une somme algébrique en expression algébrique , pour ensuite appliquer les règles concernant @ les opérations avec les nombres relatifs……………………….
Rappel 1 : Vous avez déjà vu que ( par exemple ) ( + 19 ) peut s’écrire « 19 » et que dans certaines circonstances ( - 67 ) peut s’écrire -67
Remarque :Il existe des cas où on ne peut pas enlever les parenthèses entourant un nombre en particulier, pour éviter des erreurs , on n’écrit jamais deux signes consécutifs.
Exemple : · On n’écrit pas «  4 - - 9 » mais «  4 – ( - 9 ) » · On n’écrit pas «  5 + - 7 » mais «  5 + ( - 7 ) » ou « - 7 + 5 »
v Grâce à cette convention ( rappel 1)
( + 27 ) + ( +34) s’écrira 27 + 34			( + 3,8 ) + ( 9,3 ) s’écrira 3,8 + 9,3	( - 76 ) + ( + 43 ) s’écrira - 76 + 43
v De même , dans le cas de différence
( + 43 ) – ( +17 ) s’écrira 43 - 17			( + 1,8 ) – ( +5,6) s’écrira 1,8 – 5,6	( - 64 ) – ( + 97 ) s’écrira - 64 - 97
Rappel 2 : « a » et « b » étant deux décimaux relatifs , «  a – b = a + opp (b) » Exemples :
		( + 85 ) – ( - 57 ) est donc égal à ( + 85 ) + ( + 57 ) qui s’écrira plus simplement 85 + 57
		( + 15 ) – ( - 57 ) est donc égal à ( ……. ) + ( ……….. ) qui s’écrira plus simplement ………………….
		( - 43 ) – ( - 87 ) est donc égal à ( ……) + ( …….. ) qui s’écrira plus simplement …………………..
Rappel 3 : Grace au rappel 2 et sachant que on peut écrire : c’est à ; On écrira alors Exemples :
	( + 8,5 ) + ( - 5,7 ) est donc égal à ( + 8,5 ) - ( + 5,7 ) qui s’écrira plus simplement 8,51 – 5,7					Sans intérêt !
	( + 0,5 ) + ( - 4,7 ) est donc égal à ( ……. ) - ( …….. ) qui s’écrira plus simplement ………					Sans intérêt !
	( - 85 ) + ( - 57 ) est donc égal à ( ……. ) - ( ………. ) qui s’écrira plus simplement ……………..					Sans intérêt !
Dans tous les cas, le premier terme de la somme ou de la différence s’écrit plus simplement en utilisant le « rappel 1 ». En ce qui concerne le deuxième terme, il est possible, en considérant les exemples précédents, de dégager la règle suivante :
Règle : Dans une somme ou une différence , on peut supprimer un couple de parenthèses et le signe qui le précède à condition : · De ne rien changer lorsque le signe précédant la parenthèse est ……….  « ……… »….. · De changer le signe du nombre entre parenthèses lorsque le signe précédant la parenthèse est « ………. »…
Remarque : la règle peut s’appliquer aussi au premier terme en faisant la convention suivante : Convention : si un nombre n’est précédé d’aucun signe, tout se passe comme si il était précédé du signe « plus » .

Fiche 2 Calcul d’une somme ( ou d’une différence) écrite sous forme simplifiée.				Voir le cours sur transformer une expression en somme algébrique.
		Il faut transformer cette expression en somme algébrique !!!!
17 + 25 ,ne présente aucune difficulté : 17 + 25 = …… ;		17 + 25 s’écrit ( + 17) + ( +25) qui est ( + ( 17 + 25) ) = ( ……….) ;
L’exemple ci-dessous est source d’erreur !		Il faut transformer cette expression en somme algébrique !!!!
- 13 + 48 , pose problème , c’est la somme de -13 et de 48		- 13 + 48 s’écrit ( - 13 ) + ( + 48 ) qui aura pour résultat : ( + ( 48 – 13))=( + 35)
		Il faut transformer cette expression en somme algébrique !!!!
- 87 + 18 , pose problème , c’est la somme de -87 et de 18		-87 + 18 s’écrit ( - 87 ) + ( + 18) qui aura pour résultat ( - ( 87 – 18)) = ( - 69 )
v Les nombres sont séparés par le signe « moins ».
Il faut transformer ces « expressions algébrique » en « somme algébrique » !!!!
Exemples :
« 28 – 75 » c’est la somme de « 28 » et de « -75 » soit l’opération ( + 28 ) + ( - 75 ) ;…. ; ( + 28 ) + ( - 75 ) = ( - ( 75 – 28)) = …( - 47) ..
«  43 – 27 » c’est la somme de « 43 » et de « -27 » soit l’opération ( + 43 ) + ( - 27 ) ;…. ; ( + 43 ) + ( - 27 ) = ( + ( 43 – 27)) = …..
«  - 13 – 27 » c’est la somme de « -13 » et de « -27 » soit l’opération ( - 13 ) + ( - 27 ) ;…. ; ( -13 ) + ( - 27 ) = (- ( 13 + 27)) = …..
«  - 83 – 27 » c’est la somme de « -83 » et de « -27 » soit l’opération ( - 83 ) + ( - 27 ) ;…. ; ( -83 ) + ( - 27 ) = (- ( 83 + 27)) = … ..
Vous constatez que dans tous les cas on est ramené à une addition. Tout se passe comme si on avait sous- entendu un signe « + » entre les deux nombres relatifs. Ainsi : · 87 + 23 n’est autre que ( - 87 ) + ( +23 ) · 12 – 13 n’est autre que ( - 12 ) + ( - 13 ) ON pourra donc parler de « somme » même s’il y a une signe « -  » (moins) entre les deux nombres.
Activité n° …
Transformez et Calculez :
13 - 24 = ( …….. ) + ( ……. )=	-51 – 27 = ( ……. ) + ( ……..) =…….		-17 - 31 = ( …… ) + ( …….) =
41 + 18 = ………..	46 – 33 = ……………..		-69 + 69 = ( ……) + ( …….. )= ……………..
· 27 + 45 = …..	· 68 + 12 = ………………		0 – 77 = ……….
7 + 4 = ………………	7 – 4 = ……………………..		-7 + 4 = …………..
-7 - 3 = ………………..	4 + 7 = ……………….		4 – 7 = ………………
-4 + 7 = …………………………….	- 4 - 7 = ………………………..

Fiche 3 : La somme algébrique et « expression algébrique »
L’addition des nombres relatifs étant associative , vous savez que , par convention, peut s’écrire sous la forme d’une autre somme algébrique A = ( + 7 ) + ( - 3) ( - 9 ) + (11) qui comme on l’a vu dans la fiche 1 , on peut simplifier l’écriture « A » sous la forme d’une expression algébrique. A = 7 - 3 - 9 + 11
· Par analogie, et bien que la soustraction ne soit pas associative, ( en utilisant la convention que les calculs s’effectuerons de la gauche vers la droite.)
peut s’écrire : «  B = ( + 2 ) – ( - 5 ) + ( - 9 ) – ( + 10 ) Toujours en utilisant la règle de la fiche 1 , on peut simplifier l’écriture de « B » , On obtient : B = 2 + 5 -9 – 10
· A = 7 - 3 - 9 + 11 et B = 2 + 5 -9 – 10 sont par « manque de rigueur » appelées « somme algébrique » , elles devraient être appelées : « expression algébrique ». ( qui sont transformable en « somme algébrique »)
· Vous pouvez effectuer les calculs de « A3 et « B » comme vu dans la fiche 2. ( en faisant les calculs de gauche à droite )
A =	7		· 3	· 9	+ 11	B =		2	+5	· 9	· 10
A =	4			· 9	+ 11
A =			· 5		+11
A =				6
A = ( + 6 )						B = ( - 12 )
Activité n° ….
Donnez l’écriture simplifiée de « C » et de « D » puis calculez les expressions (vu précédemment). Nota :inversement : il faut savoir transformer ces expressions en somme……..
C = ( + 5 ) + ( - 9 ) – ( - 4 ) – ( + 8 ) + ( + 7 ) – ( + 6 )
D = ( - 0,5 ) + ( - 3,5) – ( - 4,4 ) – ( + 1,7 )
E = 7 + 6 – 8 – 2 + 1 – 11
F = - 5 - 2 + 9 – 6 + 7 – 3
G = - 2, 7 + 4,3 – 1 , 8 – 3,7 + 6 , 5
H = 3,5 – 8 , 3 + 0 , 07 - 9 , 43 + 7 , 3
Fiche 4 : Autres méthodes de calcul d’une somme algébrique.
Une somme algébrique pouvant être considérée comme une succession d’additions, et l’addition étant commutative, on peut alors changer l’ordre des termes ( sans oublier de déplacer aussi le signe….) Exemples :
							Soit avec l’expression algébrique
C = ( + 3 ) + ( - 9 )+ ( + 4 )+ ( - 8 ) + ( + 7 ) + ( - 6 )							C = 3 - 9 + 4 - 8 + 7 - 6
C = ( + 4 ) + ( - 6 )+ ( + 3 ) + ( - 8 ) + ( + 7 ) + ( - 9 )							C = 4 - 6 + 3 - 8 + 7 - 9
C = ( - 9 ) + ( - 6 )+ ( - 8 ) + ( + 3 ) + ( + 4 ) + ( + 7 )							C = - 9 - 6 – 8 + 3 + 4 + 7
C = ………………………………………………….
· De plus , l’addition étant associative , il est possible de regrouper d’une part les termes précédés du signe « + » et d’autre part les termes précédés du signe « - »  . ·
Exemple : avec C = ( + 3 ) + ( - 9 )+ ( + 4 )+ ( - 8 ) + ( + 7 ) + ( - 6 )
							Soit avec l’expression algébrique
C = ( ( - 9 ) + ( - 6 ) + ( - 8 ) ) + ( ( + 3 ) + ( + 4 ) + ( + 7 ))							C = ( - 9 - 6 - 8 ) + ( 3 + 4 + 7 )
Poursuivez le calcul :							Poursuivez le calcul :
Calculez ainsi : K = 3 , 7 + 5 , 8 – 4 , 3 - 2 , 9 + 0 , 3 – 1 , 4
v Simplification des opposés.
Exemple :
L = ( + 7 ) + ( - 5 ) + ( + 4 ) + ( + 5 ) + ( - 8 )+ ( - 7 ) + ( + 2 ) + ( - 4 )							L = 7 - 5 + 4 + 5 - 8 - 7 + 2 - 4
On fait comme dans la fiche 4 de la leçon sur …
L = ( + 7 ) + ( - 5 ) + ( + 4 ) + ( + 5 ) + ( - 8 )+ ( - 7 ) + ( + 2 ) + ( - 4 )							L = 7 - 5 + 4 + 5 - 8 - 7 + 2 - 4
L = ( - 8 ) + ( + 2 ) L = ( - 6 )							L = - 8 + 2 L = - 6
Faites de même avec :
N = 8 – 4 – 5 + 2 + 7 – 4 + 3
P = 7 – 8 - 3 + 5 – 6 + 4 – 7 + 11 + 1
Fiche 5 : Des parenthèses dans une somme algébrique.
Cas 1 : Parenthèses précédées du signe « + ».
L’addition étant associative, on peut enlever les parenthèses sans avoir à modifier ou à changer .
Exemples :
							Activités  :
9 + ( 8 – 7 + 2 ) = 9 + 8 – 7 + 2							De même : - 4 + ( 5 – 7 – 3 ) = ………………………….
5 + ( - 3 + 8 – 9 ) = 5 – 3 + 8 – 9							De même : 6 + ( - 9 – 3 + 7 ) = ……………………………..
Cas 1 : Parenthèses précédées du signe « -  ».
Exemple : soit l’expression algébrique ….. R = 7 - ( 9 – 5 – 2 ) = ……………………							Qui s’écrit sous la forme d’une somme : R = (+ 7) - ( ( + 9) + ( – 5) + ( – 2 ))
Pour retrancher ( 9 – 5 – 2) de « 7 » , on « ajoute » son opposé , soit : R = 7 + Opp. ( 9 – 5 – 2 )
On se souvient que : Opp. ( a + b + c ) = Opp. a + Opp. b + Opp. c ; ainsi : Opp. ( 9 – 5 – 2 ) = ( - 9 + 5 + 2 )
Donc R = 7 + ( - 9 + 5 + 2 ) pour : R = 7 – 9 + 5 + 2
Activité :
6 – ( - 8 + 7 – 5 ) = 6 + Opp. ( ………………… ) = ………………………………….
On vous demande de comparer ce que vous venez de trouver et la forme initiale . Vous constatez que , comme pour « R » , on a enlevé les parenthèses et le signe « -  »   placé devant et on a changé les signes qui étaient situés à l’intérieur des parenthèses.
Remarque : Dans le cas de ( 9 – 5 – 2 ) , il y a un signe « + » sous-entendu devant « 9 » car «  9 = ( + 9 )
v On peut alors écrire directement :
7 – ( 5 + 3 – 2 ) = …………………………………							4 – ( - 7 – 5 + 8 ) = ……………………………………
Règle : Dans une somme algébrique contenant des parenthèses , on peut supprimer ces parenthèses et le signe situé devant , à condition : - De ne rien changer si le signe précédant les parenthèses est …  « + » ……. - De changer les signes situés à l’intérieur des parenthèses si le signe situé devant est …. « - »
Fiche 6 :Exercices d’entrainement.							@ Liste d’exercices et devoirs @ liste des cours le calcul avec deux nombres relatifs…
Activité n° 1 :
Supprimez les parenthèses de « S » ( sans faire les calculs).
		S = ( - 8 + 3 ) – ( 4 - 9 + 10 ) + ( - 3 + 4 – 5 ) – ( - 5 + 3 – 8 )
		S = ………………………………………………………………………
Faîtes de même pour :
		T = ( 0, 7 – 3,3 ) – ( 9,5 + 6,2 ) – ( 3 , 7 + 2,5 ) + ( - 0,7 + 7,2 )
		T = ………………………………………………………………
Activité n° 2 :
On vous demande de calculer U de deux façons différentes. 1°) méthode : En effectuant d’abord le calcul dans les parenthèses. 2°) Méthode : En supprimant les parenthèses avant d’effectuer les calculs.
1°) Méthode :
U = ( - 6 + 2 – 4 ) – ( 7 + 3 – 8 ) + ( 3  - 9 ) – ( - 6 + 3 – 4 )
U = ( …… ) – ( …… ) + ( ……. ) – ( ……. ) = ( - 8 ) + ( - 2 ) + ( - 6 ) + ( + 7) U = ( ….. ) + ( ……. ) ; ; U = ( …… )
2°) Méthode :
U = ………………………………………………………………………
U = …………………………………………………………………………..
Faîtes de même pour « V ».
On vous demande de calculer V de deux façons différentes. 1°) méthode : En effectuant d’abord le calcul dans les parenthèses. 2°) Méthode : En supprimant les parenthèses avant d’effectuer les calculs.
V = - ( - 5,3 + 4,2 ) + ( 2,5 – 7,7 ) – ( 1,8 – 7,7 ) + ( - 3,8 + 2,1 )
Première méthode :
Deuxième méthode :
V =

Fiche 7 Introduction de parenthèses .
Suppression et introduction de parenthèses sont deux opérations inverses. On peut donc introduire des parenthèses où l’on veut dans une expression ( somme ) algébrique à condition de prendre garde au signe que l’on place devant ces parenthèses. Considérons. W = 3 – 7 + 4 – 5 + 6 et introduisons des parenthèses.
v Parenthèses précédées du signe « + ». En supprimant des parenthèses précédées du signe « + » , on ne change pas les signes situés dans les parenthèses. En introduisant des parenthèses précédées du signe « + » , on ne changera donc pas les signes .
		W = 3 – 7 + ( ……………….. )
ou		W = 3 + ( – 7 ………………. )
v Parenthèses précédées du signe « -  ». En supprimant des parenthèses précédées du signe « - » , on change les signes situés dans les parenthèses. En introduisant des parenthèses précédées du signe «  -  »  , il faudra donc changer les signes dans les parenthèses.
	Y = 3 – 7 – ……………………………… Ou Y = 3 – ……………………………………
Autre exemple : Etant donné la somme algébrique Z = = 9 + 3 – 6 + 7 – 4 , complétez :
Z = = 9 – ( …………………. )		Z = = 9 + 3 – ( …………….. )	Z = = 9 + 3 + ( ………………. )
Règle : Dans une somme algébrique, on peut grouper des termes dans des parenthèses précédées du signe « + »sans rien changer. on peut grouper des termes dans des parenthèses précédées du signe « -  » à condition de changer les signes mis à l’intérieur des parenthèses.
Application :
Pour calculer « A » , on peut écrire A = 3 + 4 + 6 – 7 – 5
Puis A = ( 3 + 4 + 6 ) - ( 7 + 5 ) = ( 13 ) – ( 12 )
Faire de même avec X = - 5 + 2 – 8 + 3 + 4 – 7
Le 25 / 02 / 2014

INTERDISCIPLINARITE :mettre en équation un problème de vie quotidienne (vu en arithmétique) et pour la résolution voir «  équation du premier degré : problèmes d’algèbre»

1°) Simon possède 220 billes  , réparties dans 5 petits sacs. Si l’on ajoutait 7 billes au premier sac , 3 au deuxième et qu’on retranchât 3 billes du quatrième et 9 du cinquième , les cinq sacs renfermeraient le même nombre de billes. Calculer le contenu de chaque sac .
2° Trois chasseurs conviennent de se partager également le gibier qu’ils tueront. A la fin de la journée , ils n’ont tué qu’un perdreau et un lièvre. Le premier prend le perdreau ; le second prend le lièvre et donne 30 F. au premier et 150 F. au troisième .De cette façon les parts sont égales. A quels prix ont été estimés le perdreau et le lièvre ?	§

3° ) On coupe un fil de fer de 45 m en 2 parties de manière que l’une ait 9 m de plus que l’autre. Trouver la longueur de chaque partie.	§ SOS Cours
4°) J’ai 17 objets dans mes deux mains . Combien ai- je dans chaque main , s’il y en a 5 de plus dans la main gauche ?	§
5°) Deux paniers contiennent 180 pommes , il y an a 20 de plus dans le premier. Quel est le contenu de chaque panier ?	§

6°) Caroline partage 54 euros entre Lucile et Claire , de manière que Lucile ait le double de Claire. Quelle est la somme d’argent que recevra chacune ?	§
7°) Alexandre fait deux tas avec ses 35 billes. Le second est 4 fois plus gros que le premier. Combien chaque tas compte-t-il de billes ?	§

Leçon	Titre
N°	TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur Les "EXPRESSIONS" ET "SOMMES" algébriques.

TRAVAUX N° d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

*1°) Donnez la définition d’une expression algébrique.

2° ) Donner la définition de « variable »

*3° ) Donner la définition de « somme algébrique ».

4° ) Quelle relation y a t - il entre « somme algébrique » et « expression algébrique »?

*5° ) Pour faire du calcul algébrique ,que doit-on faire de l’expression algébrique ?

*6°) Donner la procédure permettant de transformer une expression algébrique en somme algébrique.

TRAVAUX N° d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION

NIVEAU I

I ) Remettre sous forme relative les nombre suivants:

Exercices	Réponses
3
-5,6

II ) Transformer toutes les expressions suivantes en somme algébrique et calculer	Réponses
9 + 5
-9 - 7
5,7 - 17,4
8 + 5 - 15,7
+5 +16,3 + 34 - 78 -
957,5
8 - 45
- 9 - 67
- 82-93
1,3 / 2 + 7 - 15 3

niveau II:

Aucun calcul n ' est demandé : Pour faire les calculs il faut avoir fait le module sur les décimaux relatifs :

Transformer les "expressions algébriques" en "sommes algébriques"

(on dirait aussi "écris chaque écriture de manière qu'il n'y ait que des additions)

Série 1
Exercices	Votre résultat:
3 - 7
3 - 2
- 2 - 3 - 5

Série 2
Exercices	Votre résultat:
8 - 5 - 11+ 41
25 - 7 - 3 - 9

Série 3
Exercices	Votre résultat:
2 - 6 + 7 - 4
- 7 - 2 + 58 - 23 - 8

Série 4
Exercices	Votre résultat:
- 1 - 2 + 3 =
- 1 + 2 - 3 =
-1 - 2 - 3 =

Série 5
Exercices	Votre résultat:
A = - 7 + 2 – 5 – 11 + 3 - 7
B = 7,3 - 2,3 - 5,6 - 7,2 + 12 + 15,7
C = 7 + 5 – 3 – 9 – 8 + 15+ 3 - 2

Evaluation N°2 : Devoir en plus ! plus !

DEVOIR

Devoir : Répondre sur une feuille aux questions du contrôle et faire les exercices

CONTROLE:

*1°) Donnez la définition d’une expression algébrique.

*3° )Donner la définition de « somme algébrique ».

*5° )Pour faire du calcul algébrique ,que doit-on faire de l’expression algébrique ?

*6°) Donner la procédure permettant de transformer une expression algébrique en somme algébrique.

EVALUATION N°1:

NIVEAU I

I ) Remettre sous forme d’un nombre relatif les nombre suivants:

Exercices	Réponses
3
-5,6

II ) Transformer toutes les expressions suivantes en somme algébrique et calculer	Réponses
9 + 5
-9 - 7
5,7 - 17,4
8 + 5 - 15,7
957,5
8 - 45
- 9 - 67
- 82-93
1,3 / 2 + 7 - 15 3