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TRAVAUX INTERDISCIPLINARITES : PYTHAGORE.

i   Pour démontrer le théorème de Pythagore , Euclide  démontre que :

Si  l’aire du carré ayant  comme côté l ’ hypoténuse  BC est égale à la somme de l’aire du carré de côté AB et l’aire du carré de côté AC : on aura démontré  que    BC2  =   AB2  + AC2

pyt6

 

 

APPLICATIONS DU THEOREME  DE PYTHAGORE ET DE SA RECIPROQUE

 

 

a)   La corde à  12 nœuds ; dans le bâtiment :

Pour tracer des angles droits , les Egyptiens se servaient d’une corde  fermée à  12 nœuds , régulièrement espacés ; ou d’un segment de corde  à treize nœuds (régulièrement espacés)  dont un  nœud à chaque extrémité .

Ils la tendaient   entre trois pieux de la façon  , un en « T » ; un en « S » un en « U ».

 

pyt100

 

b  ) diagonales  d’un quadrilatère et hauteur d’un triangle .

 

Diagonale d’un    rectangle

Info plus +++

AC² = AB² + BC².

Comme : DB² = DA² + AB²

Si « d » = AC ; a =  AB ; b = CB

Alors  d ² = a² + 

Donc   

rectpytha

« diagonale du carré = a » 

 

Info plus +++

AC² = DB² = d ²

Si AB = BC=CD=DA = « a »

Alors d ²  = a² + a²

 Soit  d² = 2 a²

Alors

 

    Donc  

carrépytha

 

 

 

 

Hauteur du triangle équilatéral =   a

Info plus +++

a2     = (  )2    + h 2

a2     -  (  )2   =   h 2

a2     -       =   h 2

h 2  =   -

h 2  =     ; donc   h  =

 

 

equidemi

Voir dans l’espace : on demande de calculer la diagonale d’un cube , ou d’un parallélépipède rectangle .

pypris1

Exemples  de demande  :

 

-Calculer HC

- Calculer FH

- Calculer DF

 

Triangle rectangle inscrit dans un demi - cercle .

:Cd :Info plus +++

 

 Rappel : le centre du cercle circonscrit dans un triangle est  se trouve au point d ’intersection des médiatrices des côtés du triangle .( figure 2)

Observez dans la figure ci - dessous : en traçant la diagonale  AC du  rectangle  ABCD , je divise  le rectangle en deux triangle rectangle .Si je trace la seconde diagonale DB , j’obtiens un point O situé à égal distance des points , A ; B ; C ; D , je peux tracer un cercle passant par ces 4  points .(figure 1 )

 

Figure 1

figure 2

 

tr5

tr7

 

 

l  Soit "A"  un point quelconque   du demi - cercle de diamètre [ B C] .

Si  un triangle ABC est inscrit  dans un demi -  cercle de diamètre [ B C]  alors   ce triangle est rectangle .

tr1

 

Activité :

Dessiner un demi - cercle  de diamètre  BC = 8 cm . Construire  un triangle rectangle en A dont le côté  de l'angle  droit mesure  3 cm .

Solution :

Pour que le triangle soit rectangle il suffit que le point A appartiennent  au cercle  .L'hypoténuse  est le segment [ BC ] .

 

On retiendra :

Pour identifier un triangle rectangle  , on peut :

-        vérifier que ses dimensions  satisfont la réciproque  de la propriété de Pythagore ;

-        vérifier qu'il est inscrit dans un demi - cercle dont le diamètre est l'hypoténuse  du triangle .

vérifier  qu'un de ses angles est droit à l'aide  d'une équerre ou un rapporteur.

 

 

 

Autres séries d'exercices

 

 

 

3°)

Calculer la longueur « x »

S41

4°)

Calculer la longueur « x »

S42

5°)

Calculer la diagonale d’un cube de 1 m d’ arête .

 

6°)

Calculer la diagonale d’un parallélépipède  rectangle ayant pour dimensions 7 ; 8  et 10 cm .

 

7°)

Calculer la diagonale d’un carré de 2,5 dm de côté

 

8°)

Calculer la longueur  de AB

S34

9°)

Calculer la longueur de la tangente AT (côtes en mm )

 

S35

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE :

 

Dans le bâtiment : pour effectuer un pavage dans une pièce .

 

 

Ce procédé permettant de tracer une droite perpendiculaire  par exemple pour le pavage d’une pièce.

( les murs n’étant  pas eux mêmes perpendiculaires )

 

On mesure AB = 6O cm sur la règle 1 , qui sert de base , puis on mesure AC = 80 cm sur la règle 2 , et on déplace la règle 2 de façon que BC mesure 1m.

Les deux bords AB et AC forment un angle droit.

 

perpapp2

Remarques : Sur une surface plus réduite , on pourrait porter

       AB = 6 cm AC = 8 cm ; il faut que BC mesure 10 cm .

Ou AB = 3 cm AC = 4 cm ; il faut que BC mesure 5 cm .

Ou AB = 12 cm AC = 16 cm ; il faut que BC mesure 20 cm .

 

Voir aussi  la « corde à 13 nœuds ».


PROBLEMES DIVERS :

 

N°1 : Quelle longueur doit mesurer une échelle pour atteindre une fenêtre située à 6 m. Si on lui donne 1,5 mètres de pied ?

pyta2

 

 

N° 2 : Calculer la diagonale du cube au dixième près.

 

 

 

Réponse :

  DB »  5,7

DF »  6,9

pyta3

 

N°3  Calculer la longueur de la diagonale  du segment BH , au dixième près.

pyta1

 

N°4 : Le cube à 5 cm d’arête.

Calculer BA , AC et BC.

Quelle  est  la nature du triangle BAC. ?

pyprism3

 

 

 

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