Leçon	CORRIGE : TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur
N°15 - 26	DISTANCE  et MEDIATRICE  d'un segment  et BISSECTRICE d'un angle .

 

1°) Quand dit-on que deux droites sont perpendiculaires ?

 

2°) A quoi est égale la distance entre deux points ?

 

3°) Par définition : qu' appelle - t- on  « distance d'un point  à une droite » ?

 

Qu'est ce que cela induit ?

 

4°) Qu ' est ce qu'une "médiatrice" ?

 

5°) Qu'est ce qu'une " bissectrice" ?

 

Série 1 :

A)  Projetée orthogonale

1°) Sur la droite "d" , les deux points  A et B sont distants de 5 cm .

 

Déterminer la longueur de :      [ A' ; B ']  , projeté orthogonale sur  (D ) de [A B]

Même question avec des angles  de 30° ; 60 ° et 90°

( ce travail  sera exploité par   "Thalès"  et en trigonométrie "tangente")

Si la longueur du segment AB = 25 mm ; on appelle A’ B’  son projeté sur la droite « D » , sur une droite parallèle à « D » : 

Si l’angle a  =  15 °	(1 )  La  longueur de segment A’ B’ = 21 mm
Si l’angle a  =   30°	( 2 ) La  longueur de segment A’ B’ = 19 , 5 mm
Si l’angle a  =   60 °	( 3 )  La  longueur de segment A’ B’ = 11  mm
Si l’angle a  =  90  °	( 4 ) La  longueur de segment A’ B’ = 0  mm

2°) Projection orthogonale d'un segment sur une droite :

a)  Reproduire la figure. Ensuite : construire A' et B'  , projetés orthogonaux de A et B  respectivement sur  ( D)   , et tracer [ A ' B' ]   : le segment [ A ' B' ] est le projeté orthogonal du segment [A B] .

b)      Placer  le point M , milieu de [A B]  et ensuite construire M' son projeté  orthogonal sur (D )  . Quelle est la position de M' sur [ A ' B' ]

 

Les points A’ ; M’ et B’  qui sont les projetés orthogonaux de  A, M  et B sont confondus sur la droite « D ». On pourrait dire « superposés »

Idem :

Idem :

 

B ) Distance :

1°) tracer une droite  ( D )  et placer un point  distant de 5 cm  de ( D)  .

 

2°) sur une carte au 1 / 100 000  on trouve quatre villes  A ; B ; C et D .

Par ordre décroissant les réponses sont :« AD » > « AC » > « BD » > « BC » > « CD »  > « AB » 

A l'aide  du compas seulement , classer les distances AB ; BC ; BD ; AC ; AD et CD dans l'ordre décroisant .

 

Médiatrice :

2°) Construire à la règle et au compas  la médiatrice   d'un segment de droite de 7,5 cm de longueur .

 

3°)Placer 3 points non alignés A , B et C tels que  : AB = 3 cm ; BC = 4 cm  et  = 120° .

Construire la médiatrice du segment AB puis celle du segment BC ; elles se coupent en un point  " I " .

Tracer le cercle de centre "I" et de rayon " I A " .

Que constate - t- on ? Justifier la réponse .

On remarque que le cercle passe par les trois points « A » , « B » et « C »

 

4°) On donne un point "B"  Construire une droite (d) dont la distance de "B" est de 2,5 cm.

 

Bissectrice .

 

Tracer la bissectrice de l'angle .

Série 2 :

1°)  Distance  de deux droites parallèles :

On donne deux droites parallèles distinctes  ( D ) et ( D') . Placer un point "M" sur  ( D)  et tracer  la perpendiculaire à  ( D ' ) passant par M ;elle coupe  ( D ' ) en M'  ; M' étant le projeté orthogonal de M sur  ( D') . La distance de ( D) à ( D') est égale à la distance de  M à M' ( longueur du segment [ M M '] ; mesurer cette distance  et vérifier que :

-          le projeté orthogonal de M'  sur ( D) est le point M ;

-          la distance trouvée ne dépend pas du point M choisi .

 

2°)Construire  deux droites parallèles  situées à 5 cm l'une de l'autre .

pour cela :

-          Tracer une droite ( D).

-          Tracer une droite (d) perpendiculaire à ( D) qui coupe ( D) en  "H" . ( utiliser l'équerre)

-          Placer sur (d) le point "M"  situé à 5 cm de "H"  .   ( il y a deux solutions )

-          Tracer la droite ( D') perpendiculaire à ( d ) et passant par M . 

 

3°) Construire à la règle et au compas la médiatrice ( D) d'un segment AB de 6 cm de longueur  . Soit  "F"  le point d'intersection de ( D)  et de [ A B ] .

Placer  sur la médiatrice deux points  C et D situés de part et d'autre de  F tels que F  soit le milieu de [ C D ]  . Que représente la droite ( AB) pour le segment [ CD] . Quelle est la nature  du quadrilatère ACBD ?

Le quadrilatère a les caractéristiques d’un losange : 4 côtés égaux ; les diagonales se coupent en leur milieu et elles sont perpendiculaires.

 

4°) Placer trois points A , B et C  tels que  AB = 5 cm  , BC  = 6 cm , AC = 7 cm. Construire la médiatrice du segment [ AC] puis celle  du segment BC . Elles se coupent en O .

Tracer le cercle de centre "O" et de rayon OA . Les points B et C appartiennent - ils au cercle  ? Oui ; Justifier la réponse .

Vérifier que la médiatrice  du segment AB passe par le point  O .