Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

LIVRE .

 

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DOSSIER  n°5 a / 25

 

 

 

 

 

FRACTIONS :

Même dénominateur.

 

Opérations

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux dossier : 170 - 171

DOC. Info : Professeur ; Formateur

5 A / 26

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

Leçon TITRE : LES FRACTIONS DE MEME DENOMINATEUR (Opérations)

« ADDITION » ; « SOUSTRACTION » ; « MULTIPLICATION » ; « DIVISION » de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .CHAPITRES

Niveau

obtenu

Bilan

1.Addition , soustraction , multiplication et division de deux fractions de même dénominateur.

 



2..Addition , soustraction , multiplication et division de deux fractions de même dénominateur.

 



3.Addition , soustraction , multiplication et division d ‘une fractions  et d’un nombre .

 



4.Cas particulier : pourcentage d’un nombre .

 



 

 

 

Définitions préalables

« Fraction » : La fraction est le rapport  (une division ) d’un nombre entier naturel par un autre nombre entier naturel   

 

Exemple      : 

 

 

 

 

 

 

« Rationnel »  Un rationnel est le quotient d’un entier par un entier « non nul ». ( on dit aussi : « différent de zéro » ;  noté :  ¹ 0 )

 

 

Exemples :                                16 : 2 = 9                         9  est un rationnel

                                                25: 4  = 6,25                    6,25  est un rationnel

                                                11 : 7  =   11/7                11/ 7 est un rationnel

 

« Ecriture fractionnaire »: On appelle « écriture fractionnaire «  une fraction possédant, au moins un nombre décimal ».( Il y a au moins un nombre décimal au numérateur ou au dénominateur.)

 

Pour  des raisons « pratiques »  il est souvent demandé d'exprimer le résultat  du calcul  sous une forme qui vous est précisée: exemple :« arrondi à …0,001… »  ( pour plus d’information consulter  le CD : les « nombres irrationnels » .

 

Savoir  additionner deux fractions  de même dénominateur  (cas où les dénominateurs sont différents)

 

Savoir   soustraire deux fractions  de même dénominateur ; (cas où les dénominateurs sont différents)

 

Savoir  multiplier  deux fractions  de même dénominateur ; (cas où les dénominateurs sont différents)

 

Multiplication :      pourcentage

 

Savoir   diviser     deux fractions  de même dénominateur ; (cas où les dénominateurs sont différents)

 

Savoir   diviser   un nombre par une fraction

 

Savoir   diviser   une fraction par un nombre.

 

 

COURS

 

Important :Pour faciliter les calculs et pour éviter les risques d’erreurs de calcul , il est conseillé de simplifier jusqu’à rendre irréductible la ou les fractions 

* chaque opération est traitée, à chacune correspond une information plus particulière .

 

i9

 

: voir  la liste des objectifs à traiter cas à cas i

 

i9  

1. ADDITION  de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO 1 +

 

 

Définition :        La somme de deux fractions est égale à une troisième fraction qui aura pour  « Numérateur » : la somme des numérateurs et pour « Dénominateur » : le dénominateur commun.

 

Forme mathématique:

« a » et « c » sont les numérateurs.

 

 

On calcule la somme des numérateurs. « a + c »

 

« b » est le dénominateur

 

 

Exemple

             

 

 

Le dénominateur commun aux deux fractions est « b »

 

Remarques : ( 15 /13 )  cette fraction ne peut plus « se réduire », elle ne peut plus être simplifiée , on dit que la fraction est « irréductible ».

Si l’on fait la division de 15/13 on trouve »  1,15384615384615384615384615384615……...

Ce nombre est donné par la calculatrice, la série de  chiffres «1538461 » se répète à « l’infini » .

Calculer : (avec des nombres entiers naturels)

 

Calculer : (avec des nombres entiers relatifs)

 

 

 

  (voir corrigé)

 

 

 

 

i9

2. SOUSTRACTION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO 2+

 

Règle : (Forme littérale)

 

 

Définition : La différence de deux fractions est égale à une troisième fraction qui aura pour  « Numérateur » : la différence des numérateurs et pour « Dénominateur » : le dénominateur commun.

 

 

 

Forme mathématique:

« a » et « c » sont les numérateurs.

 

 

On calcule la différence  des numérateurs. « a - c »

 

« b » est le dénominateur « commun » aux deux fractions.

 

 

Exemple

 Calculer :      

        

 

On conserve le dénominateur commun aux deux fractions est « b »

 

= (1/13)

 

 

 

Remarques : ( 1/13 )  cette fraction ne peut plus « se réduire », elle ne peut plus être simplifiée , on dit que la fraction est « irréductible »)

Si l’on fait la division de 1/13 on trouve »  0,333333333333333333333333333333333……...

Ce nombre est donné par la calculatrice, le nombre « 3 » se répète à « l’infini » .

Formes d’expressions du résultat : le résultat peut être exprimé sous forme d’une fraction irréductible , ou sous forme décimale « exacte » ou arrondie  ( l’arrondi est fixé par celui qui pose l’opération)

Exemple : l’opération peut s’exprimer

Forme irréductible

Forme décimale (affichage) Forme décimale arrondi 33ème  rang décimal après  la virgule :

Forme arrondie :

 

 

0,333333333333333333333333333333333

 

0,33 à 0,01 prés

 

Calculs avec des entiers naturels :

 

Calcul avec des entiers relatifs :

Cas A :  le calcul possible :

   ;

 

 parce 8 - 7 est une opération possible avec des nombres entiers naturels.

 

A)  Calculons :

 

Cas B :    le calcul n’est  pas possible (impossible) :

    ; 

 

parce « 7 - 8 »  est une opération impossible avec des nombres entiers naturels.

 

Remarque :    devient possible si on m’autorise de  transformer les nombres entiers naturels en nombres entiers relatifs :  alors j’écris :

 

 

 

 

 

Résultats :     

 

 

 

 

i9  

3.MULTIPLICATION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ 1  INFO +          Cd³ 2  INFO +

 

Règle :   ( Forme littérale)

 

 

La multiplication  de deux fractions  de même dénominateur est égale à une troisième fraction qui aura pour: « Numérateur » le produit des numérateurs et pour « Dénominateur » le produit des dénominateurs.

 

Forme symbolique mathématique:     

 

« a » et « c » sont les numérateurs

 

Le produit des numérateurs est : « ac »

 

 

 

 

« b » est le dénominateur « commun » aux deux fractions.

 

Le produit des dénominateur est « b b »

« b² » Le produit d’un nombre par lui - même est appelé « carré »

 

Remarque : Des opérations avec  2 fractions ;la multiplication de deux fractions est l’opération la plus simple.

Exemples :

Avec des nombres entiers naturels

 

Avec des nombres entiers relatifs :

 

 ;  

 

 

 ; 

 

Calculs :   8 fois 7 = 56   et 13² = 169

Expressions du résultat :

1°) fraction   irréductible : ( 56 / 169 )

2°) lecture sur écran :

»  0,331360946745562130177514792899 408 

3°)Arrondi    »  0,331  à 0,001 près .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

les fractions n’ont pas le même dénominateur ; ( (+13) est différent de (-13) ;  voir la deuxième partie de cours sur le produit de deux fractions de dénominateur différent.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 i9  

4 .DIVISION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR ( fraction de 2 fractions)

Cd³ INFO +

 

 

 

Remarque importante: Nous ne pouvons pas calculer directement la fraction de deux fractions ,il faut impérativement transformer : La fraction de fractions doit être transformée en division de deux fractions

On transforme la fraction de fractions par une division d’une fraction par l’autre fraction. (en conservant l’ordre) :à savoir que :

La fraction en numérateur devient « dividende » ; la fraction « dénominateur » devient « diviseur ».

 

Remarque importante : remarquer que la première fraction est au dessus de la barre de fraction  principale , le  signe « égal » est aligné avec ce trait .

la deuxième fraction étant située sous la barre de fraction alignée avec le signe égal.

Application :

 

 

Bien que la fraction de deux fractions soit transformée en division ;le calcul de  la division de deux fractions ne se fait pas ; il faut  « passer » par la multiplication en respectant la procédure suivante:

 

 

Procédure

Modèle théorique

Exemple :

1°) Première transformation :la fraction de fractions en une division de deux fractions

 

2°) Deuxième  transformation : la division en multiplication.

 Rappel  ( Cd  ³ )  INVERSE  d'un nombre.(ou fraction) : 

On se souvient que :

« Diviser un nombre « A » par un nombre « B »revient à multiplier le premier nombre par l’inverse du second nombre. »

A : B = A ´ inv. B

« A » est la première fraction et « B » est la seconde fraction. Il suffit de remplacer :   « : B » par «´ inv. B »

 

 

On se souvient que l’ inverse de

 

on sait que :

 

 

3ème transformation :.

 

 

4ème : on effectue la multiplication  On a appliqué , les règles de la multiplication de deux fractions :

remarque : « b : b = 1 »  et « 13 : 13 = 1 » ce qui permet de simplifier les facteurs « B » et « 13 »

 ; on simplifie pou obtenir :

on simplifie :

 

5°) Conclusion :

 

Conclusion :

 ; = 0,875

 

 Dans le calcul  de  7¸ 8  la valeur décimale  est exacte 

 

Règle :  ( forme littérale ) Pour calculer la division de deux fractions il suffit   de  multiplier la première fraction par l’inverse de seconde fraction. 

 

 

 

Résultat  :   Le résultat de la  division de deux fractions de même dénominateur   a pour numérateur le numérateur de la première fraction et pour dénominateur le numérateur de la seconde fraction . (voir ci dessus)

 

 

 

 

+Faire les exercices suivants :

 

 

 

Addition

 

 

=

 

 

 

Soustraction  ( pour cet exercice il faut avoir fait la leçon sur les nombres relatifs)

 

 

 

 

Soustraction

 

 

=

 

 

 

Multiplication

 

 

         

 

 

 

Fraction de fractions

 

 

 

 

 

=

 

Division de fractions

 

 

 

 

 

 

 

Réponses :   ;   ;  ;  ;  ;

 

 

 

 

Leçon

Titre

N°5

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

A.  ADDITION ; SOUSTRACTION ; MULTIPLICATION ; DIVISION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .LES

 

 

TRAVAUX  N°5  A  d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

              Définitions préalables

1°)  donner la définition d’un fraction : donner un exemple avec les nombres  « 3 » et « 4 »

.

Exemples ?:

 

2°)  Qu’est ce qu’un rationnel ?

.

Donner des exemples :

16 : 2 = ?    ………………………………………………

25: 4  =   ?    ………………………………………………

11 : 7  =   ?  …………………………………………………

3°)  qu’appelle - t  - on  «  écriture fractionnaire » 

 

 

Cd³ INFO +

1. ADDITION  de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO 1 +

 

1°) A quoi est égale la somme de deux fractions ? ( Forme littérale)

 

 

 

2°) Donner la Forme symbolique mathématique:

 

 

 

 

 

2.SOUSTRACTION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO 2+

 

 

 

 

1°) A quoi est égale la différence de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale)

2°) donner la Forme symbolique mathématique

 

 

 

 

              

3.MULTIPLICATION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO +

.

 

1°) A quoi est égale la différence de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale)

 

 

 

2°) donner sa forme symbolique mathématique:     

 

 

 

 

 

4 .DIVISION de deux fractions de  MEME DENOMINATEUR

Cd³ INFO +

 

 

 

 

1°) Compléter la phrase :

Remarque importante: Nous ……………………. calculer directement la fraction de deux fractions ,il faut impérativement transformer

2°) Transformer la fraction de fractions en division de fractions :

              se transforme  en  

 

3°) A quoi est égale le résultat de la division  de deux fractions de même dénominateur ? ( Forme littérale) 

     

  5° ) montrer les étapes de transformation conduisant au résultat .

 

 

 

Définitions préalables

1°)  avec 3 et 4 écrire une fraction ?

2°)  souligner les  rationnels .

16 + 2 =  18   ;  16 : 2 =   8 ; 16 -2 = 14

25: 4  =   6,25    ;   25 ´ 4 = 100   ; 25 - 4 = 21           

11 + 7  =  18     ;    7 - 11 = -4 ; 11 : 7  =   11/7

3°) entourer  l ’ «  écriture fractionnaire » 

  16 / 2 ;   17 / 5  ;  20,2  / 2 ; 10 / 0,5 ; 6,3 / 7,8 ; .456/ 3625

 

 

 EVALUATION :

 

Cd³ INFO +

1.  ADDITION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

Cd³ INFO 1 +

 

 

 

 

Calculer :

 

 

 

 

 

 

2.  SOUSTRACTION de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

Cd³ INFO 2+

 

 

 

 

 

Calculer : 

 

 

3.  MULTIPLICATION  de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

Cd³ INFO 1 +

 

 

 

 

Calculer :                  

 

 

 

 

 

 

4.  DIVISION  de  DEUX FRACTIONS  DE  MEME DENOMINATEUR .

Cd³ INFO 2+

 

 

 

 

 

Calculer : 

 

 

 

3. Il faudrait y ajouter encore 25 cl pour la remplir complètement. Quelle est la capacité de cette bouteille ?

6)     A la Bourse, un homme d'affaires perd les 4/7, soit 280 000 F, de son capital. Quel était le capital initial ? Calculer le montant de la perte si elle avait correspondu aux 3/5 du capital.

7) Ingrid partage avec ses 3 frères et sœurs les 5/7 de son gain au Loto et , avec le reste, achète une plante verte pour sa mère. Chacun des enfants reçoit 35 F. Combien Ingrid avait-elle gagné ? Quel est le prix de la plante verte ?