Les problèmes proposés touchent  tous les domaines  mathématiques ;il faudra  voir au cas par cas .

Index        

    Arithmétique        

Objectif suivant

CORRIGE   

I )  Un  négociant en vins réalise un bénéfice de  30% sur le contenu d’un tonneau de vin acheté 90 F.Il en vend 45litres et le prix de vente de la quantité restante est de 27 F.

Combien de litres le tonneau contenait-il à l’ achat ?

1- 54 litres

2-58,5 litres

3- 60 litres

4- 67,5 litres

Réponse :

bénéfice : 90  = 27

Prix de vente du total : PA + bénéfice

  Soit      90 + 27 = 117 F

Il a vendu pour 117 – 27  =  90 F  les 45 litres

Prix de vente d’un litre :  90 : 45 = 2 F /l

Nombre de litres à vendre : 117 : 2 = 58 ,5 litres

Planète Gravitation Mercure 4 Terre 10 Uranus 11 Pluton 2

II )   Lors d’une compétition interplanétaire de saut en hauteur , ,quand un athlète élève son centre de gravité jusqu’à une hauteur « h » , on a la relation suivante :   

« u » étant la vitesse initiale de l’athlète , et « g » étant la valeur de la gravitation locale.

Lors de l’appel pour sauter , le centre de gravité de l’athlète est à 1 m de haut .

Les gravitations des différentes planètes sont les suivantes :

 Pour un athlète courant à 5 m / s , laquelle des propositions suivantes est fausse :

1-l’athlète sautera plus haut sur la Terre que sur Uranus .

2- l ‘ athlète sautera deux fois plus haut sur Pluton  que sur Mercure .

3-Sur Mercure , le saut dépassera   4 m .

4 – Sur Terre , la hauteur du saut de l’ athlète est de 2,25 m

Réponses :

Saut sur Mercure :  =  3,125 m  ( saut 3,125 +1=4,125 m )

Saut sur Terre :   = 1,25 m  (saut 1,25+1=  2, 25 m )

Saut sur Uranus  :  =  1,136 ( saut 1,136+1 = 2,136 m )

Saut sur Pluton :  = 6,25    ( saut 7,25 m )

Etude des propositions :

1-l’athlète sautera plus haut sur la Terre que sur Uranus .(VRAIE)

2- l ‘ athlète sautera deux fois plus haut sur Pluton  que sur Mercure .(FAUSSE )

3-Sur Mercure , le saut dépassera   4 m . .(VRAIE)

4 – Sur Terre , la hauteur du saut de l’ athlète est de 2,25 m.(VRAIE)

III )   Deux personnes se partagent à parts égales la somme de 24 000F.L’une place la somme reçue à un taux de 12% par an , l’autre achète 30 actions qu’elle revend au bout de six mois.

Six mois après le partage , leur avoir total s’élève à 32 250 F.

Quel est le gain réalisé sur chaque action vendue ?

1-    236 F.

2-    260 F.

3-    660 F.

4-    684 F.

Résolution :

Somme reçue : 24 000 : 2 = 12 000 F.

Intérêt reçu au bout de six mois placé à 12 % :

()=  720 F

Avoir du premier : 12 000 + 720 = 12 720 F.

Avoir du second : 32 520 – 12720 = 19 800 F.

Gain réalisé par les 30 actions : 19 800 – 12 000 = 78 00 F.

Gain réalisé par une action : 7 800 : 30 = 260 F.

SOS cours 1

IV ) La pointe de l’aiguille des secondes d’une horloge , qui suit exactement le bord du cadran , parcourt 180 mètres en une heure.

Quelle est , en m² , la surface du cadran ?

1- 0,75 m²

2- 3 m²

3- 7,5 m²

4- 30 m²

prendre : p = 3

Réponse :

    Le tour de cadran se fait en 1 minute :

  D’où le périmètre du cadran = 180 : 60 =  3 m

Donc le rayon du cadran :

* Périmètre du cadran circulaire : P = 2 pR

donc   3 = 2 R ;  R = 0,5 m

Surface du cadran : pR²   = 30,50,5 = 0,75 m²

SOS COURS

V ) Une ville est constituée  par 3 cercles concentriques de rayons respectifs : 3 km , 10 km et 20 km . Le centre ville a une densité de population de 20 000 habitants/km² , la petite couronne 10 000 habitants/ km² et la grande couronne 2 000 habitants/km^2.

Quelle est la population totale de la ville ?

1-  1 200 000 habitants

5-    1 800 000 habitants

6-    5 070 000 habitants.

7-    5 940 000 habitants .

prendre : p = 3

REPONSE :

Centre :

   aire du centre : pR²  = 3fois 3 fois 3 fois

population centre : 27 fois 20 000 = 540 000 h

petite couronne 

aire de la petite couronne :

           3 fois10 au carré moins 27 km² = 273km²

population petite couronne : 273 foi 10000 = 2 730 000 h

grande couronne

aire : grande couronne :

        3 fois 20 au carré  moins 300 = 900 km²

population grande couronne : 900 fois 2000 = 1 800 000 h

population totale : 540 000 h + 2 730 000 h + 1 800 000 h =

  5 070 000 h.

1997 1998   présentés reçus présentés reçus Non-redoublants 22 12 15 8 Redoublants 3 3 10 9 Total 25 15 25 17

VI ) Une enquête sur la réussite au baccalauréat ,faite dans une classe de terminale , donne les résultats suivants :

Parmi les affirmations suivantes , laquelle est fausse ?

1- en 1997 :les non-redoublant représentent 4/5 des reçus.

2-en 1998 : les redoublants représentent 2/5 des candidats présentés.

3- en 1997 :20 % de redoublants parmi les reçus.

4- en 1998 : le nombre de redoublants reçus est en augmentation de 200% par rapport à 1997 .

Réponse : il faut prendre affirmation par affirmation :

1- en 1997 :  12 non redoublants sont reçus sur 15 : =   =     donc les non-redoublant représentent 4/5 des reçus :SOS COURS

mais des non redoublants ne sont pas reçus : 22= = 17,….

Commentaire : on peut considérer que les autres affirmations sont vraies ; nous devons le vérifier :

2-en 1998 : 10 redoublants se sont présentés sur 25 :soit 

il faut  rendre irréductible =  =  ; SOS COURS

donc : les redoublants représentent 2/5 des candidats présentés. 

3- en 1997 :20 % de redoublants parmi les reçus. ? SOS COURS

il y a 15 reçus : on calcule les 20% de 15 = = =3

on a bien 20% de redoublants reçus. !

4- en 1998 : le nombre de redoublants reçus est en augmentation de 200% par rapport à 1997 .

il y a eut 9 redoublement reçus en 1998 contre 3 en 1997 soit une différence de + 6 .

nous allons calculer les 200% de 3 :  = = 6

cette dernière affirmation est aussi vraie !

CONCLUSION : la première affirmation est fausse !

1ère catégorie 70 fois 3= 210 dm3 2ème catégorie : 1l =1dm3 6 fois 30 dm3 180 dm3 3ème catégorie 20 cm3 =0,020 dm3 25 fois 0,020 0,5 dm3 Total :   390,5 dm3

VII ) Avec un lot de plume de 1^ère catégorie on peut remplir un édredon de 70 dm³  , avec un lot de plumes de 2^ème catégorie , un oreiller de 30 litres , et avec un lot de 3^ème catégorie , un petit coussin de 20 cm³ .

Si on mélange 3 lots de plumes de 1^ère catégorie , 6 lots de 2^ème catégorie et 25 lots de 3^ème catégorie , quel sera le volume de la couette obtenue ?

1-228,5 dm³

2- 390,5 dm³

3- 395 dm³

4- 440 dm³

Réponse :

Conclusion : la solution 2 est la bonne.

SOS COURS

VIII ) Quelle est la valeur d’un nombre entier tel qu’en lui ajoutant 12 ou 25 , les deux sommes respectivement obtenues soient des carrés parfaits ?

1-    11

2-    24

3-    52

4-    69

SOS COURS

Réponse : 24 +12 = 36 est le carré parfait de « 6 »

24 +25 = 49 ; 49 est le carré parfait de « 7 »

IX  )  Deux villes A et B sont distantes de 45 km. Un cycliste part de A à la vitesse de 24 km /h ;un deuxième cycliste par de B , 25 min après le départ du   premier et le croise après avoir par couru 15 km.

Quelle est la vitesse du deuxième cycliste ?

1- 8km /h

2- 12 km/ h

3- 15 km /h

4- 18 km /h

Réponse :

Distance parcourue part le premier cycliste (SOS COURS) :au bout de 25 min 

(24 :60) 25=10 km ; il lui reste à parcourir :45-10= 35 km au moment où le second par de B ;

le premier à parcourue  35-15 = 20 km au moment où les deux cycliste se sont croisés, ce qui représente en temps : (20 / 24)60 = 50 min)  (SOS COURS)

le second parcours 15 km en 50 min ; sa vitesse est (de 15/50)60=18 km /h

Prix Tarif rouge De 8h à 12 h 30 0,70 F par période  de 12 secondes Tarif blanc De 18 h à 21h 30 0,70 F par période  de 18 secondes Tarif bleu De 221 h30 à 22 h30 0,50 F par période  de 18secondes

X ) Les tarifs de téléphone pour une distance supérieure à 100 km sont les suivants :

Une facture de téléphone comprend pour un bimestre :

-         l’abonnement de 80 F

-         le coût total des communications.

Monsieur François ne téléphone qu’en période bleue.

Combien de temps a-t-il téléphoné sachant que sa facture s’élève à 430 F ?

Propositions :

-         1- 2h 20 min.

-         2 – 2h 30 min

-         3 – 3 h 30 min

-         4  - 5 h 06 min .

Réponse : coût total des communications : 430-80 = 350 F

Nombre de périodes (période bleue )  de 18 sec. :  350 : 0,5 =700

Durée des communications en secondes : 700 fois 18 =12 600 sec.

Durée en heures , minutes secondes :

12600 : 3600 = 3,5 heures

0,5h = 30 min donc le temps de communication est de 3 h 30 min.

XI ) Soit une droite D d’équation 2x –3y +6 = 0

Parmi les proposition suivantes , laquelle est fausse ?

1-    D a pour vecteur directeur  le vecteur de coordonnées (3 ; 2 )

2-    D passe par le point de coordonnées ( -3 ; 0 )

3-    D a pour coefficient directeur 3 / 2

4-    D a pour ordonnée à l’origine 2

SOS COURS

D a pour vecteur directeur  le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ) :

3y =  2x + 6

soit y = x +    ;  y = x +2   

les coordonnées du vecteur A B sont (x_B-x_A) et (y_B-y_A)

Soit A(0 ;2) et B (3 ;4 ) :  ainsi  (x_B-x_A) =(3-0) = 3 et

(y_B-y_A)  = (4-2) = 2

les coordonnées du vecteur AB sont ( 3 ; 2 )

D passe par le point de coordonnées ( -3 ; 0 ) :

Si x = -3 ;    y= -3 +2  = -2+2 =0 ; donc la proposition est vraie

Proposition  « 3 » : fausse ;

  D n’ a pas pour coefficient directeur 3 / 2 mais 2/3

Proposition  « 4 » : vraie ;

Si « x » = 0 ;   y = 2 ;  (y = 0+2 ) ;

XII) L’ occupant d’un appartement de trois pièces a reçu le graphique suivant , représentant la répartition des charges de l’année :

Poste 1 : chauffage (fuel)

Poste 2 : eau , électricité.

Poste 3 : entretien , syndic , concierge .

Sachant que le montant total de ses charges s’élèves à 2 700 F, que le montant des charges dues au chauffage est proportionnel au nombre de pièces alors que celui des autres charges est fixe , le montant annuel des charges pour l’occupant d’un appartement de cinq pièces sera de :

1-    2500F

2-    3500 F.

3-    3700F.

4-    4500F.

Résolution :

180° représente sur le graphique 100% des charges.

Le poste 1 : (100 °) représente 100 » 55,6 % des charges.

Le poste 2 :  ( 180° - (100°+60°)) = 20 ° ;représente     100 » 11,11 % des charges.

Le poste 3 : (60°) représente : 100 » 33,33 % des charges.

Les charges incompressibles sont dans le poste 2 et 3 (80°) :

Soit  100 » 44,44 % des charges

Montant des charges incompressibles d’un appartement :

 2700 fois (100) % = ou 2700=1200 F.

Montant des charges pour trois chambres : 2700 –1200 = 1500 F

Montant des charges pour une chambre = 1500 : 3 = 500F

Calcul du loyer pour cinq chambres :

1200F + 5 fois 500F = 1200 + 2 500 =  3 700F

la proposition « 3 » est la bonne ! !

XIII) la figure ci-dessous représente un cerf-volant formé par un triangle isocèle de 1200 cm2 de surface et par un demi-cercle .

Quelle est la surface totale , en cm² , du cerf-volant ?

1-    1800 cm²

2-    2400 cm²

3-    3600 cm²

4-    6000 cm²

(  p = 3 )

résolution :

1 ) aire d’un triangle :  = 1200   ; avec h = 60 , B est alors le diamètre du cercle ;

  nous avons :  = 1200 ; 30 B = 1200 ; B =  ; B =40 cm

2)calcul du rayon : 40 :2 = 20 cm

3) Surface totale : égale la surface du triangle plus l’aire du demi-cercle :    1200 + 3 (20 fois 20 ) / 2 = 1200 + 600 = 1800 cm²

la proposition « 1 » est la bonne .

I ) résoudre  dans « R » l’équation :

( 2x +3 ) (x –4 ) = ( 3x – 2 ) ( x + 6 )

résolution :

a)   Développons le premier membre :

( 2x +3 ) (x –4 ) = 2 x² –8x + 3x –12 

nous ordonnons (voir « factorisation pour regrouper – 8x + 3 x )

( 2x +3 ) (x –4 ) = 2 x² –5x –12 

b ) Développons le second  membre :

( 3x – 2 ) ( x + 6 ) =  3 x² +18x –2x -12

( 3x – 2 ) ( x + 6 ) =  3 x² +16x  -12

c) ( 2x +3 ) (x – 4 ) = ( 3x – 2 ) ( x + 6 )

 devient :

2 x² – 5x –12 =  3 x² +16x  -12

nous obtenons :   3 x² +16x  -12 - 2 x² + 5x +12  = 0

on ordonne : 3 x² - 2 x² +16x  + 5x +12  -12 = 0

on réduit : x² +21 x = 0

Nous avons une forme : a x² +b x = 0  ,

           ce qui donne en factorisant  x ( ax +b) =0

L’équation à deux solutions :  ( le produit est égal à 0 si un des produit est nul )

Ainsi : x (x +21) = 0

On en déduit une première solution (racine)  x = 0   

La deuxième solution  est obtenue    en  posant    x +21 = 0   ; Cà d  x = -21

SOS COURS

II ) On considère l’équation  f(x) de R dans R définie par :

F(x) = 5 x² – 4x + 9

A)   calculer f pour x = 5

B)   calculer f  pour x = -1

Résolution :

A ) F(x) = 5 x² –4x + 9 ;

            F(5) = 5fois  5² – 4fois 5 + 9 =125 –20 + 9  = 114

B) F(x) = 5 x² – 4x +9

            F(-1) = 5fois  (-1)² – 4fois -1 + 9 = 5  + 4  + 9  = 18

SOS COURS

III) Dans un repère orthonormé ( 0,,)

On place les points A ( -2 ;-3 ) , B ( -2 ;5 ) et C ( 4 ;-3)

a)    montrez que le triangle ABC est rectangle

b)    Calculez les coordonnées du milieu M du segment [AB]

Résolution :

Il faut placer les points dans un repère :

Il faut repérer l’hypoténuse du triangle qui serait rectangle .

L’hypoténuse « pourrait être »  le segment de droite BC

Si BC² = BA² + AC²  , on en conclura que le triangle ABC est rectangle .

Calcul de la mesure du segment AB :

½y_B  - y_A ½= ½½

½(+5)  - (-3) ½= ½+8½  = 8

Calcul de la mesure du segment  AC :

                      ½x_C  - x_A ½= ½½

                      ½(+ 4)  - ( - 2) ½= ½+ 6½  = 6

Commentaires :

a )  le segment  AB est parallèle à l’axe « y » (les extrémités ont la même ordonnée )

b)   le segment  AC est parallèle à l’axe « x » (les extrémités ont la même  abscisse)

       donc :     les deux segments sont donc perpendiculaires

Calcul de la mesure du segment BC :

  Il reste à montrer par le calcul que BC est l’hypoténuse du triangle rectangle  en calculant la somme des carrés des cotés (représentés par les projetées BD et DC)

Calcul de  « BC »   si «AC » = 6  et « AB » = 8

BC²  =  AB² + AC²

                                                 On pose      =          

                                                                              =               

                                                             =

                                                                                =      

                    de l’égalité on en tire que : le  premier membre  = BC  , et le deuxième membre :   = 10       ( d’après la calculatrice  =10 )

    on conclut  que la distance entre   BC =  10

SOS COURS

PROBLEME          On donne : en 1998  il y a en France 60 000 000 de personnes .

  En quelle année la population aura-t-elle doublée (120 000 000 de personnes ) sachant que sa croissance annuelle est de  3%

SOS COURS