La  Multiplication de longueur (segment)

 

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COURS

 

                    Préliminaires:

 

Exercice 1 : faire la somme de 5 segments égaux à un segment donné AB

CD = AB + AB +AB +AB+AB

 

Remarques :

Cette somme présente une particularité : tous les termes sont égaux ; dans ce cas  , on dit que le segment CD est le produit du segment  AB par le nombre 5 et l’on écrit.  AB  5 = CD

Le segment AB  qui est répété 5 fois est le multiplicande.

Le nombre 5 qui indique le nombre de fois  que l’on répète le multiplicande est le multiplicateur.

Deuxième exercice :

Pour garnir un tablier il faut  utiliser 50 cm de galon ; quelle quantité de galon utilisera  - t on  pour garnis 6 tabliers ?

 

 50 cm + 50 cm + 50 cm +50 cm + 50 cm+ 50 cm = 300 cm

ici encore tous les termes de la somme sont égaux . La longueur trouvée : 300 cm est le produit de 50 cm par le nombre 6 et l’on écrit :

    50 cm                     6             = 300 cm

multiplicande       multiplicateur = produit .

 

 

Produit d’une longueur par un nombre entier .

 

Le produit d’une longueur par un nombre entier est une somme dont tous les termes sont égaux à la longueur donnée. Il y a autant de termes que le nombre entier contient d’unités.

 

La longueur  donnée est le multiplicande.

Le nombre entier est le multiplicateur.

Le multiplicande et le multiplicateur sont encore appelés « les facteurs » du produit.

 

Remarques  a)   50 cm  1 = 50 cm

                    b) 50 cm  0 = 0

 

la définition que nous venons de donner d’un produit , peut s’appliquer à une grandeur quelconque : surface , volume , poids , capacité , etc.

 

MULTIPLICATION :

La multiplication est l’opération qui permet de trouver un produit .

 

Propriété fondamentale :

Le produit de deux facteurs ne change pas quand on intervertit l’ordre de ces deux facteurs.

La somme de 6 nombres  égaux à 4 , est égale à la somme de 4 nombres égaux à 6

Donc :   4  6 = 6  4

Pratique de la multiplication :

 

Premier cas :

Exercice : un piéton parcourt 4 km en 1 heure , quel est le chemin parcouru en 7 heures ?

Chemin parcouru : 4 km  7

Le multiplicande et le multiplicateur sont formés d’un seul chiffre . Le résultat est donné par la table de multiplication :

4 km  7 = 28 km

 

 

 

Deuxième cas :

 

 

 

Premier exercice :

La distance de votre maison au centre est de 475 mètres , quel chemin parcourez – vous  ,chaque jour , sachant que vous faites 4 fois le trajet ?

Chemin parcouru : 475 m 4

Le multiplicande est un nombre entier quelconque , le multiplicateur est formé  d’un seul chiffre.

475 mètres  sont formés de 4 hm 7 dam 5 m , par suite le produit  contient 4 fois 5 m ; 4 fois 7 dam ; 4 fois 4 hm.

 

 

4 hm     7dam    5 m

                        4

 

16 hm 28 dam 20 m

soit 1 900 m

 

En réalité on pose l’opération

 4 7  5

      4

_______

1 9 0  0

 

465 m  4 = 1 900 m

 

 

 

Deuxième  exercice :

Pour garnir un mouchoir  , une lingère utilise 64,5 cm de dentelle. Quelle longueur de dentelle emploiera – t –elle pour garnir 7 mouchoirs?

La longueur de dentelle employée :   64,5 cm 7

Le multiplicande est un nombre décimal  , le multiplicateur est formé  d’un seul chiffre.

64,5 centimètres  sont formés de 6 dm 4 cm 5 mm , par suite le produit  contient 7 fois 6 dm ; 7  fois 4 cm  ; 7  fois 5 mm.

 

 

6 dm     4 cm    5 mm

                        7

 

42 dm 28 cm 35 mm

soit 4515 mm

 

En réalité on pose l’opération

 64 , 5

      7

______

451 , 5

Les retenues se font de tête.

64,5 cm 7 =  451 , 5 cm

 

 

 

 

 

Troisième cas :

Le multiplicande est quelconque , le multiplicateur est 10 ; 100 ; 1000 .

Multiplier une longueur par 1 0 ; 100 ; 100 ; c’est rendre cette longueur 1 0 ; 100 ; 1000 fois plus grande :

3, 25 cm  100 = 325 cm

73 cm  10 = 730 cm

3,25 cm  10 = 32 ,5 cm

73 cm  100 = 7300 cm

 

 

Quatrième cas :

 

Exercice : pour faire un chemisier , il faut 1,25 m de popeline , quelle longueur de tissu faut-il pour exécuter 30 chemisiers ?

Longueur de tissu : 1,25 30

 

Le multiplicande est quelconque , le multiplicateur est  formé d’un chiffre suivi d’un zéro :

Pour 3 chemisiers il faut   1 , 25 m  3 = 3 ,75 m

Pour 30 chemisiers il faut  3,75 m  10 = 37 , 5 m

On pose ainsi l’opération :

1,25

 30

______

37, 5

donc   1 ,25 m  30 = 37, 5 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cinquième  Cas :

Exercice : une ouvrière exécute 2,5 m de jours , quelle longueur exécutent  13  ouvrières travaillant au même rythme ?

Travail exécuté par 13 ouvrières :  2,5 m  13

Le multiplicande est un nombre quelconque , le multiplicateur est un nombre entier quelconque :

3 ouvrières exécutent         2 ,5 m 3    =          7 , 5 m

10 ouvrières exécutant :      2,5 m 10   =         25      m

13 ouvrières    ? ? ? ?                                       32 , 5 m

On pose ainsi l’opération

  2 , 5

    13

      75

    25

    32 ,5

2, 5 m  13 = 32 , 5 m

 

 

Sixième cas :

Exercice :

Sur un plan 1 cm représente une longueur de 0 , 16 km . Quelle longueur réelle représente une longueur de 3,5 cm sur le plan ?

    Longueur réelle :  0,16 km  3,5

Le multiplicande et le multiplicateur sont des nombres quelconques.

On peut chercher la longueur représentée par 35 cm puis diviser le résultat par 10 , sinon on obtiendrait un produit 10 fois trop grand.

0,16 km  35 = 5, 60 km

donc 0,16  3,5 = 0,560 km

On pose l’opération ainsi :

     0,16

     3,5

       8 0

    4 8

 0, 5 6 0

En définitive , pour multiplier deux nombres décimaux l’un par l’autre on effectue l’opération comme s’il s’agissait de nombres entiers puis on sépare à la droite du résultat autant de chiffres décimaux qu’il y en a à la fois dans le multiplicande et dans le multiplicateur.

 

 

Preuve de la multiplication :

Remarque : la preuve par 9 ne permet pas de retrouver certaines erreurs:  les erreurs de virgule , le fait d’intercaler des zéros dans le résultat ou d’ajouter des zéros à ce résultat ne sont pas décelés par le preuve par 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

Compléter les phrases suivantes  ( voir dans le cours)

Le produit d’une longueur par un nombre entier est ……………………………………………………………..

La longueur  donnée …est ………………………...

Le nombre entier est ……………………………..

Le multiplicande et le multiplicateur sont encore appelés « ………………………..» du produit.

 

EVALUATION

 

Trouver le résultat par :  Calcul mental :

Calcul mental :

 

233

437

325

546

248

624

 

Exemple  23 3

Nous remarquons  23 = 20 +3

Nous multiplions 20 par 3 puis 3 par 3 et nous ajoutons les résultats.

203 = 60

33 = 9

donc  23 3 = 69

 

Calculer en remarquant que 11 = 10 +1

 

24  11

4511

63 11

35 11

52 11

72 11

 

Calculer en remarquant que 101 = 100 +1

 

17  101

34 101

54  101

23  101

43  101

62 101

 

 

Calculer en remarquant que 9 = 10 – 1

 

13 9

24 9

469

16 9

34  9

52 9

 

Calculer en remarquant que 99 = 100 – 1

 

 

16  99

32  99

34  99

26  99

43 99

45 99

 

Exercices :

1°) sans effectuer la multiplication , dites si les produits suivants sont plus petits ou plus grands que le multiplicande.

 

48 13

53 0,4

72 1,3

1490,07

375 1,6

 

2) effectuer les opérations suivantes puis faites la preuve par neuf .

 

 

40524 =

3004,713 =

254 104 =

204 ,5 2003 =

132,5 43,2 =

 

3 °) Compléter la facture suivante :

 

3 mètres de lainage à 125 € le mètre

 

4,5 mètres de doublure à 84 € le mètre

 

6 douzaines de boutons à 18 €. la douzaine

 

1 coupon de doublure à ……..

 

                                                       Montant net

 1 0 11 €.

 

4°) Sur une droite illimitée , porter à l’aide du compas cinq segments égaux à un segment de droite AB qui mesure 3,4 cm . Mesurer la longueur du segment obtenu et comparer la à celle du segment AB.

 

5°)Vous avez acheté 3 ,70 m de dentelle mais le mètre dont s’est servi le marchand est trop long de 1 cm .Calculer la longueur réelle de dentelle  que vous avez achetée .Quelle eut été la longueur réellement achetée si le mètre utilisé avait été trop court de 1 cm ?

 

6°)autrefois , l’unité  de longueur utilisée pour mesurer les tissu était l’aune qui valait  1 ,188 m ; quelle est la valeur en mètres de 3 aunes , de 7,5 aunes ?

7°)la longueur de fil enroulé sur une bobine  est exprimée soit en yards , soit en mètres ; le yard valant 0,914 mètre. Quelle est en mètres :

a ) la longueur de fil câblé enroulé sur une bobine  de 500 yards ?

b ) la longueur de fil  glacé pour gants enroulé sur une bobine de 200 yards.

 

8°) un drap a pour dimensions 2,40 m sur 3,25 m. Après le premier lavage  ces dimensions ont diminué  de 2 cm par mètre .Calculer les nouvelles dimensions du drap.

 

9°) pour tapisser une pièce , il faut 12 rouleaux de papier . Un rouleau a 8 mètres de long et on compte une chute de 0,25 m par rouleau. Calculer la longueur de papier réellement utilisée.

 

10 °) Un salarié a travaillé :

a)      le lundi de  8h à 12 h et de 14 h à 16 h

b)      le mardi  de 8 h à 11 h et de 14 h à 18 h

c)      le mercredi de 8 h à 12 h et de 14 h à 16 h

d)      le jeudi de 9 h à 12 h et de 14 h à 16 h

e)      le vendredi  de 8 h à 12 h et de 14 h à 18 h

 

Calculer son salaire total , sachant qu’il est payé 45  € de l’heure.

 

 

      11°) Pour faire des confitures vous avez acheté 3 kg de pêches , 5 kg de pomme et 4 kg de sucre. Retrouvez le prix du kg de chaque denrée sachant que vous avez dépensé en tout 118 €. . Le kg de sucre vaut 1,5 €. de moins que le kg de pêches et 2,5 € . de plus que le kg de pommes


CONTROLE : corrigé

 

Le produit d’une longueur par un nombre entier est une somme dont tous les termes sont égaux à la longueur donnée. Il y a autant de termes que le nombre entier contient d’unités.

 

La longueur  donnée est le multiplicande.

Le nombre entier est le multiplicateur.

Le multiplicande et le multiplicateur sont encore appelés « les facteurs » du produit.

 

EVALUATION  corrigé

 

Calcul mental :

 

233

437

325

546

248

624

 

Exemple  23 3

Nous remarquons  23 = 20 +3

Nous multiplions 20 par 3 puis 3 par 3 et nous ajoutons les résultats.

203 = 60

33 = 9

donc  23 3 = 69

 

Calculer en remarquant que 11 = 10 +1

 

24  11

4511

63 11

35 11

52 11

72 11

 

Calculer en remarquant que 101 = 100 +1

 

17  101

34 101

54  101

23  101

43  101

62 101

 

 

Calculer en remarquant que 9 = 10 – 1

 

13 9

24 9

469

16 9

34  9

52 9

 

Calculer en remarquant que 99 = 100 – 1

 

 

16  99

32  99

34  99

26  99

43 99

45 99

 

Exercices :

1°) sans effectuer la multiplication , dites si les produits suivants sont plus petits ou plus grands que le multiplicande.

 

48 13

53 0,4

72 1,3

1490,07

375 1,6

 

2) effectuer les opérations suivantes puis faites la preuve par neuf .

 

 

40524 =

3004,713 =

254 104 =

204 ,5 2003 =

132,5 43,2 =

 

3 °) Compléter la facture suivante :

 

3 mètres de lainage à 125 € le mètre

 

4,5 mètres de doublure à 84 € le mètre

 

6 douzaines de boutons à 18 €. la douzaine

 

1 coupon de doublure à ……..

 

                                                       Montant net

 1 0 11 €.

 

4°) Sur une droite illimitée , porter à l’aide du compas cinq segments égaux à un segment de droite AB qui mesure 3,4 cm . Mesurer la longueur du segment obtenu et comparer la à celle du segment AB.

 

5°)Vous avez acheté 3 ,70 m de dentelle mais le mètre dont s’est servi le marchand est trop long de 1 cm .Calculer la longueur réelle de dentelle  que vous avez achetée .Quelle eut été la longueur réellement achetée si le mètre utilisé avait été trop court de 1 cm ?

 

6°)autrefois , l’unité  de longueur utilisée pour mesurer les tissu était l’aune qui valait  1 ,188 m ; quelle est la valeur en mètres de 3 aunes , de 7,5 aunes ?

7°)la longueur de fil enroulé sur une bobine  est exprimée soit en yards , soit en mètres ; le yard valant 0,914 mètre. Quelle est en mètres :

a ) la longueur de fil câblé enroulé sur une bobine  de 500 yards ?

b ) la longueur de fil  glacé pour gants enroulé sur une bobine de 200 yards.

 

8°) un drap a pour dimensions 2,40 m sur 3,25 m. Après le premier lavage  ces dimensions ont diminué  de 2 cm par mètre .Calculer les nouvelles dimensions du drap.

 

9°) pour tapisser une pièce , il faut 12 rouleaux de papier . Un rouleau a 8 mètres de long et on compte une chute de 0,25 m par rouleau. Calculer la longueur de papier réellement utilisée.

 

10 °) Un salarié a travaillé :

f)        le lundi de  8h à 12 h et de 14 h à 16 h

g)      le mardi  de 8 h à 11 h et de 14 h à 18 h

h)      le mercredi de 8 h à 12 h et de 14 h à 16 h

i)        le jeudi de 9 h à 12 h et de 14 h à 16 h

j)        le vendredi  de 8 h à 12 h et de 14 h à 18 h

 

Calculer son salaire total , sachant qu’il est payé 45  € de l’heure.

 

 

      11°) Pour faire des confitures vous avez acheté 3 kg de pêches , 5 kg de pomme et 4 kg de sucre. Retrouvez le prix du kg de chaque denrée sachant que vous avez dépensé en tout 118 €. . Le kg de sucre vaut 1,5 €. de moins que le kg de pêches et 2,5 € . de plus que le kg de pommes.