Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

Fonctions (présentation )

Fonction : devoirs sur les pré requis

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT : 1°)Les dérivées.(sommaire). Les fonctions primitives

COURS

APRES : Liste des chapitres traités Le calcul intégral.

Complément d’Info : 1°) Liste des cours : prépa concours A consulter pour compléments : 2°) les études de fonctions.

TITRE :PREPARATION CONCOURS niveau IV :

APPLICATION DES FONCTIONS PRIMITIVE à l’élévation des grandeurs.(moment d’inertie )

En cours

Méthode générale .

Applications :

· Aire d’un segment de courbe.

· Volume d’un solide

· Moment d’inertie d’une surface.

TEST

Contrôle

évaluation

Contrôle

évaluation

COURS

Méthode générale .
La méthode générale consiste à assimiler la grandeur à évaluer à une fonction d’une variable et à chercher directement ( par des considérations géométriques par exemple), la dérivée de cette fonction. On est ainsi ramené à trouver une fonction admettant une dérivée connue. Le calcul fait intervenir une constante arbitraire, dite « constante d’intégration » , que l’on détermine dans un cas particulier.
Ci-dessous : nous voyons des exemples d’application qui vont vous donner une idée de la marche à suivre dans la plupart des cas.
Aire d’un segment de courbe.
Nous savons que les lignes usuelles ( droite ; cercle ; conique ;…) peuvent être représentées par des équations. Il en est de même pour beaucoup de lignes courbes . L’équation de la courbe est la relation qui existe entre les coordonnées « x » et « y » d’un quelconque de ses points.
En particulier ( figure ci contre) si la courbe n’est rencontrée qu’en un seul point « M » par toute parallèle «  PZ » à l’axe « O y », son équation est du premier degré en « y », puisqu’à toute valeur « OP » de « x » ne correspond qu’une valeur « PM » de « y ». On peut donc mettre cette équation sous la forme : «  y = f ( x ) » Nous nous proposons d’évaluer l’aire de « ABCD » comprise entre la courbe , l’axe « O x » et les ordonnées « AC » et « BD » correspondant aux abscisses «  = a » ; « = b » , l’arc « CD » étant supposé situé tout entier au dessus de «  x’ x ». Soit «  F ( x ) » une primitive quelconque de la fonction « f ( x ) » On sait que l’aire «  ACMP » limitée à l’ordonnée du point « M » d’abscisse « = x », est une primitive de « f ( x ) » (voir info +). Elle diffère de la primitive « F ( x) »considéré par une constante « C » positive ou négative . Ainsi : l’aire «  ACMP = F ( x ) + C ». Pour déterminer la constante « C », donnons à la variable « x » la valeur particulière « a ». L’ordonnée se confondant avec , l’aire du segment ACMP devient alors nulle , et l’on a : «  0 = F ( a ) + C ». Cette relation donne la valeur de la constante « C » ; d’où «  ABCD = F ( x )  - F ( a ) »  Si l’on veut maintenant l’aire du segment « ACDB » , il faut faire coïncider avec c'est-à-dire faire «  x = b ». On a ainsi : Aire ACBD = F ( b )  - F ( a )
Exemple 1  : Aire du segment de la parabole.
L’équation d’une parabole de paramètre « p » rapportée à sa tangente au sommet « O x »et à son axe de symétrie «  O y » , est : «  x² = 2 p y » Cherchons l’aire « A3 du segment « OPM » limité par la parallèle à «  O y »menée par le point « P » d’abscisse « OP = a ». Nous avons ici : «  y = f ( x ) =  » qui a pour primitive : «  F ( x ) =  » L’aire de « A » est la différence des valeurs que prend F(x) quand on y remplace « x » par les abscisses des points « P » et « O » . par suite : «  A = F ( a )  - F ( 0 ) = »  ou bien : « A =  » ; « b=  » étant l’ordonnée de «  » du point « M ». L’aire « OMP » est donc le tiers du rectangle « OPMQ » et qu’on en conclut que l’aire du segment parabolique « MOM’Q » égale les deux tiers de l’aire du rectangle « MPP’M’ »
Exemple 2  : Aire d’une sinusoïde .
Soit la courbe sinusoïdale (ci contre) représenté par l’ équation : «  y = sin x » Cette aire est une fonction de « x » dont nous ne connaissons pas la forme . Mais il nous est possible du moins de calculer sa dérivée, qui est la limite du rapport : (voir cours niveau 3) Pour une courbe quelconque ayant une équation : «  y = f ( x ) » ; on a trouvé : «  lim = . = y » . désignant , naturellement , la dérivée de l’aire « A » par rapport à « x » . Nous aurons donc ici : «  .= sin. x » L’aire de « A » est donc la primitive de « sin x » ; donc : «  A = - cos x + C » La constante se détermine en remarquant que , l’aire de « A » s’annulant pour « x = 0 » , on doit avoir : « 0 = -1 + C » d’où « C = 1 » Par suite , l’aire « OMP » est donné par la formule : «  A = 1 – cos x » En particulier , l’aire « OMB » s’obtient en faisant «  x =  » ; elle est égale à « 2 ».
VOLUME d’un solide .
Soit , par exemple, à calculer le volume d’un segment sphérique dont l’une des bases est un grand cercle . ( voir ci contre) Le volume « V » du segment dépend de sa hauteur que nous désignerons provisoirement « x » ; cherchons sa dérivée . Donnons a « x » l’accroissement «  x » . Le volume « V » s’augmente du volume «  V » du petit segment sphérique : «  C D C’ D’ ». « V » est évidemment compris entre les volumes des deux cylindres de même hauteur «  x » ayant pour bases les cercles « CD » et C’D’ » En désignant par « S » et « S’ » les aires de ces cercles , on a : «  S’ . x  < V  < S . x » D’où : «  S’ < < S »
Or , quand «  x » tend vers « 0 », le cercle «  C’ D’ » tend à se confondre avec le cercle « CD », et « S’ » tend vers « S ». «  lim. = = S »
«  » désignant la dérivée du volume « V » par rapport « x ».
L’aire « S » est fonction de « x » facile à évaluer. On a , en effet, « R » étant le rayon de la sphère. : «  S = =  » d’où « =  »
Le volume « V » est une fonction primitive de «  »n, c'est-à-dire d’un polygone. Par suite : «  V = à une constante près , « C ».
Cette constante est nulle , puisque l’on doit avoir : «  V = 0 » pour «  x = 0 »
De la formule précédente , on déduit facilement le volume d’un segment sphérique à bases parallèles quelconque, un tel segment étant la différence ( ou la somme) de deux segments limités à un grand cercle. On a ainsi : (voir figure ci contre) « Vol. ( C1 D1 C 2 D2 ) = -  » =
Appelons « r » et « r2 » les rayons des cercles de base du segment, « h » sa hauteur et remarquons que : « x2 –x1 = h » ; R² - x1^2 = r1^2 ; R² - x2^2 = r2^2 » L’identité : « ( x2 – x1 )² = x1^2 + x2^2 – 2 x1 x2 » Donne : «  h² = 2 R² - (r1^2 + r2^2 ) – 2 x1 x2 » D’où x1 x2  = R²-
On peut transformer l’expression du volume : V = h
V = h
Ou finalement : On retrouve ainsi la formule de géométrie élémentaire.
Moment d’inertie d’une surface.
On défini le moment d’inertie d’une surface « S » par rapport à un axe « y’y »dans le cours de « Mécanique ». On décompose la surface en bandes très étroites par des parallèles à « y’y », multiplions l’aire « S1 »…de chaque bande par le carré de sa distance : x1 ; x2 ; x3 ;….à l’axe « y’y ». La limite de la somme «  S1 x1^2 + S2 x2^2+…..quand la largeur de bandes tend vers zéro, est le moment d’inertie de la surface par rapport à l’axe « y’y »
Exercice 1
: Chercher le moment d’inertie d’un rectangle par rapport à l’un des côtés « AB » ( voir ci contre) Considérons la parallèle à « y ‘y »à la distance « AM = x » Le moment d’inertie « I » du rectangle « ABNM » est fonction de « x ». Cherchons la dérivée de cette fonction et , pour cela, donnons à x » un très petit accroissement «  x ». Le moment d’inertie « I » s’augmente d’une quantité «  I » égale au produit « Sx² » relatif à la bande rectangulaire «  M N N’M’ ». Or, l’aire cette bande est : «  b . x ».et sa distance à l’axe est « x » . On a donc : «  b . x . x² ». Donc : Et , comme ce rapport est indépendant de «  x . »., sa limite est aussi « b. x² ».quand «  x . » tend vers « 0 »., «  lim.  »
La dérivée du moment d’inertie étant « b x² » on a , en remontant à la fonction primitive :
D’ailleurs , la constante « C » est nulle , car pour « x = 0 » , on a «  I = 0 »
Pour avoir le moment d’inertie du rectangle « ABCD3, on doit remplacer « x » par « a » dans l’expression de « I » , ce qui donne : «  »
Exercice 2
Chercher le moment d’inertie de la surface d’un cercle de rayon R par rapport à son centre . Le moment d’inertie « I » d’un cercle concentrique de rayon « x » est une fonction de « x ». Cherchons la dérivée de cette fonction et pour cela , donnons à « x » un petit accroissement «  x ». Le moment d’inertie « I » s’augmente d’une quantité «  I ».sensiblement égale au produit de « x² » par la surface d’une couronne circulaire de longueur « 2  » et de largeur  «  x ». On a donc :

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTRÔLE

Voir le cours !!!!!

EVALUATION :