Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.
Fonctions (présentation )
Fonction : devoirs sur les pré requis

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

AVANT :

1°)Les dérivées.(sommaire).

Les fonctions primitives

COURS

APRES :

Liste des chapitres traités

Le calcul intégral.

Complément d’Info :

1°) Liste des cours : prépa concours

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

3°) Suite : Module sur les primitives et les intégrales

TITRE :PREPARATION CONCOURS niveau IV : APPLICATION DES FONCTIONS PRIMITIVE à l’élévation des grandeurs.

OK essai pdf janvier 2012

	Méthode générale .
	Applications :
	· Aire d’un segment de courbe.
	· Volume d’un solide
	· Moment d’inertie d’une surface.
	· Exemple de problème


TEST	Contrôle	évaluation	Contrôle	évaluation

COURS


Méthode générale .
La méthode générale consiste à assimiler la grandeur à évaluer à une fonction d’une variable et à chercher directement ( par des considérations géométriques par exemple), la dérivée de cette fonction. On est ainsi ramené à trouver une fonction admettant une dérivée connue. Le calcul fait intervenir une constante arbitraire, dite « constante d’intégration » , que l’on détermine dans un cas particulier.
Ci-dessous : nous voyons des exemples d’application qui vont vous donner une idée de la marche à suivre dans la plupart des cas.

Aire d’un segment de courbe.
Nous savons que les lignes usuelles ( droite ; cercle ; conique ;…) peuvent être représentées par des équations. Il en est de même pour beaucoup de lignes courbes . L’équation de la courbe est la relation qui existe entre les coordonnées « x » et « y » d’un quelconque de ses points.
En particulier ( figure ci contre) si la courbe n’est rencontrée qu’en un seul point « M » par toute parallèle « PZ » à l’axe « O y », son équation est du premier degré en « y », puisqu’à toute valeur « OP » de « x » ne correspond qu’une valeur « PM » de « y ». On peut donc mettre cette équation sous la forme : « y = f ( x ) » Nous nous proposons d’évaluer l’aire de « ABCD » comprise entre la courbe , l’axe « O x » et les ordonnées « AC » et « BD » correspondant aux abscisses « = a » ; « = b » , l’arc « CD » étant supposé situé tout entier au dessus de « x’ x ». Soit « F ( x ) » une primitive quelconque de la fonction « f ( x ) » On sait que l’aire « ACMP » limitée à l’ordonnée du point « M » d’abscisse « = x », est une primitive de « f ( x ) » (voir info +). Elle diffère de la primitive « F ( x) »considéré par une constante « C » positive ou négative . Ainsi : l’aire « ACMP = F ( x ) + C ». Pour déterminer la constante « C », donnons à la variable « x » la valeur particulière « a ». L’ordonnée se confondant avec , l’aire du segment ACMP devient alors nulle , et l’on a : « 0 = F ( a ) + C ». Cette relation donne la valeur de la constante « C » ; d’où « ABCD = F ( x ) - F ( a ) » Si l’on veut maintenant l’aire du segment « ACDB » , il faut faire coïncider avec c'est-à-dire faire « x = b ». On a ainsi : Aire ACBD = F ( b ) - F ( a )

Exemple 1 : Aire du segment de la parabole.
L’équation d’une parabole de paramètre « p » rapportée à sa tangente au sommet « O x »et à son axe de symétrie « O y » , est : « x² = 2 p y » Cherchons l’aire « A3 du segment « OPM » limité par la parallèle à « O y »menée par le point « P » d’abscisse « OP = a ». Nous avons ici : « y = f ( x ) = » qui a pour primitive : « F ( x ) = » L’aire de « A » est la différence des valeurs que prend F(x) quand on y remplace « x » par les abscisses des points « P » et « O » . par suite : « A = F ( a ) - F ( 0 ) = » ou bien : « A = » ; « b= » étant l’ordonnée de « » du point « M ». L’aire « OMP » est donc le tiers du rectangle « OPMQ » et qu’on en conclut que l’aire du segment parabolique « MOM’Q » égale les deux tiers de l’aire du rectangle « MPP’M’ »
Exemple 2 : Aire d’une sinusoïde .
Soit la courbe sinusoïdale (ci contre) représenté par l’ équation : « y = sin x » Cette aire est une fonction de « x » dont nous ne connaissons pas la forme . Mais il nous est possible du moins de calculer sa dérivée, qui est la limite du rapport : (voir cours niveau 3) Pour une courbe quelconque ayant une équation : « y = f ( x ) » ; on a trouvé : « lim = . = y » . désignant , naturellement , la dérivée de l’aire « A » par rapport à « x » . Nous aurons donc ici : « .= sin. x » L’aire de « A » est donc la primitive de « sin x » ; donc : « A = - cos x + C » La constante se détermine en remarquant que , l’aire de « A » s’annulant pour « x = 0 » , on doit avoir : « 0 = -1 + C » d’où « C = 1 » Par suite , l’aire « OMP » est donné par la formule : « A = 1 – cos x » En particulier , l’aire « OMB » s’obtient en faisant « x = » ; elle est égale à « 2 ».

VOLUME d’un solide .
Soit , par exemple, à calculer le volume d’un segment sphérique dont l’une des bases est un grand cercle . ( voir ci contre) Le volume « V » du segment dépend de sa hauteur que nous désignerons provisoirement « x » ; cherchons sa dérivée . Donnons a « x » l’accroissement « x » . Le volume « V » s’augmente du volume « V » du petit segment sphérique : « C D C’ D’ ». « V » est évidemment compris entre les volumes des deux cylindres de même hauteur « x » ayant pour bases les cercles « CD » et C’D’ » En désignant par « S » et « S’ » les aires de ces cercles , on a : « S’ . x < V < S . x » D’où : « S’ < < S »
Or , quand « x » tend vers « 0 », le cercle « C’ D’ » tend à se confondre avec le cercle « CD », et « S’ » tend vers « S ». « lim. = = S »
« » désignant la dérivée du volume « V » par rapport « x ».
L’aire « S » est fonction de « x » facile à évaluer. On a , en effet, « R » étant le rayon de la sphère. : « S = = » d’où « = »
Le volume « V » est une fonction primitive de « »n, c'est-à-dire d’un polygone. Par suite : « V = à une constante près , « C ».

Cette constante est nulle , puisque l’on doit avoir : « V = 0 » pour « x = 0 »

De la formule précédente , on déduit facilement le volume d’un segment sphérique à bases parallèles quelconque, un tel segment étant la différence ( ou la somme) de deux segments limités à un grand cercle. On a ainsi : (voir figure ci contre) « Vol. ( C₁ D₁ C ₂D₂ ) = - » =
Appelons « r » et « r₂ » les rayons des cercles de base du segment, « h » sa hauteur et remarquons que : « x₂–x₁ = h » ; R² - x₁² = r₁² ; R² - x₂² = r₂² » L’identité : « ( x₂ – x₁ )² = x₁² + x₂² – 2 x₁ x₂ » Donne : « h² = 2 R² - (r₁² + r₂² ) – 2 x₁ x₂ » D’où x₁ x₂ = R²-
On peut transformer l’expression du volume : V = h
V = h
Ou finalement : On retrouve ainsi la formule de géométrie élémentaire.

Moment d’inertie d’une surface.
On défini le moment d’inertie d’une surface « S » par rapport à un axe « y’y »dans le cours de « Mécanique ». On décompose la surface en bandes très étroites par des parallèles à « y’y », multiplions l’aire « S₁ »…de chaque bande par le carré de sa distance : x₁; x₂ ; x₃;….à l’axe « y’y ». La limite de la somme « S₁ x₁² + S₂ x₂²+…..quand la largeur de bandes tend vers zéro, est le moment d’inertie de la surface par rapport à l’axe « y’y »
Exercice 1
: Chercher le moment d’inertie d’un rectangle par rapport à l’un des côtés « AB » ( voir ci contre) Considérons la parallèle à « y ‘y »à la distance « AM = x » Le moment d’inertie « I » du rectangle « ABNM » est fonction de « x ». Cherchons la dérivée de cette fonction et , pour cela, donnons à x » un très petit accroissement « x ». Le moment d’inertie « I » s’augmente d’une quantité « I » égale au produit « S x² » relatif à la bande rectangulaire « M N N’M’ ». Or, l’aire cette bande est : « b . x ».et sa distance à l’axe est « x » . On a donc : « b . x . x² ». Donc : Et , comme ce rapport est indépendant de « x . »., sa limite est aussi « b. x² ».quand « x . » tend vers « 0 »., « lim. »
La dérivée du moment d’inertie étant « b x² » on a , en remontant à la fonction primitive :
D’ailleurs , la constante « C » est nulle , car pour « x = 0 » , on a « I = 0 »
Pour avoir le moment d’inertie du rectangle « ABCD3, on doit remplacer « x » par « a » dans l’expression de « I » , ce qui donne : « »
Exercice 2
Chercher le moment d’inertie de la surface d’un cercle de rayon R par rapport à son centre . Le moment d’inertie « I » d’un cercle concentrique de rayon « x » est une fonction de « x ». Cherchons la dérivée de cette fonction et pour cela , donnons à « x » un petit accroissement « x ». Le moment d’inertie « I » s’augmente d’une quantité « I ».sensiblement égale au produit de « x² » par la surface d’une couronne circulaire de longueur « 2 » et de largeur « x ». On a donc : « I = x² fois 2 fois x = » donc : La limité de ce rapport, c'est-à-dire la dérivée de « I » par rapport à « x » est donc : donc :
Donc (la primitive ) est
D’ailleurs , pour « x =0 » , le moment d’inertie est nul donc : .
Et le moment d’inertie du cercle entier , c'est-à-dire lorsque « x= R » est

Problèmes.
Calculer le temps nécessaire pour vider un réservoir cylindrique de rayon « R » et de hauteur « h » , en supposant la vitesse d’écoulement proportionnelle à la racine carrée de la hauteur du liquide au dessus de l’orifice ( orifice percé à la partie inférieure ) .
On désignera par « a » le volume du liquide écoulé dans l’unité de temps, lorsque la hauteur du liquide est l’unité. C’est le débit de l’unité de hauteur. Si l’on désigne par « s » la section de l’orifice , par « k » le coefficient de contraction, on a , en général, pour le débit de la hauteur « z ». On désignera par « q » le volume de liquide écoulé pendant l’unité de temps., lorsque la hauteur supposée constante est « z ». Ainsi : « q = ; si « z = 1 » alors « a = »
Solution : D’après l’énoncé , le volume « q » de liquide écoulé pendant l’unité de temps (débit) ., lorsque la hauteur supposée constante est « z ». Sera telle que : D’ où :
Supposons que le niveau du liquide, dans un intervalle de temps « » , passe du plan « A’B’ »qui se trouve à la hauteur « z + » au plan « AB » qui se trouve à la hauteur « z » . Le volume écoulé compris entre les deux plans est celui d’un petit cylindre , de bas « » et de hauteur « » ; soit le volume = « » Quand au débit moyen , il est intermédiaire entre les débits aux hauteurs « z + » et « z ». La durée « » d’écoulement est le rapport écoulé au débit. En prenant : ; on trouvera un temps trop long……….
On a donc : < <
D’où , en divisant par « » : < <
« » tendant vers « 0 » , le premier rapport tend vers « » soit « » , c’est dons aussi la limite du rapport « » , c'est-à-dire la dérivée du temps « t » , nécessaire pour vider la partie « ABCD » du réservoir. « lim. = = »
Pour avoir « t » , on est dons conduit à prendre la fonction primitive de « » qui ne diffère de « » que par le facteur constant : « » La fonction primitive de « » étant « 2+C » , on a : « t = ( 2+C) » On voit que la constante « C » est nulle, « t » devant s’annuler pour « z = 0 ». Le temps nécessaire pour vider « tout » le réservoir s’obtient en remplaçant dans la formule précédente « z » par « h » ; on a ainsi : « »
Ce temps est double de ce qu’il serait si la vitesse était constante et égale à celle du début. En effet, la vitesse « V » avec laquelle baisse la surface du liquide est la limite du rapport « » quand « » tend vers « 0 ». Donc : « V = = » Au début, on a « z = h »et la vitesse a pour valeur : « V₁ = » Si la vitesse restait constamment égale à « V₁» , la vitesse d’écoulement « t ₁ » serait : « » on a bien « t = 2 t₁ »
Remarque : la théorie des primitives permet d’expliquer certaines formules de géométrie.
Premier exemple :
Sachant que la longueur d’une circonférence de rayon « R » est « » , en déduire la formule donnant la surface d’une cercle. La surface d’un cercle est un fonction de son rayon « x ». (voir ci contre) Lorsque « x » augmente de « » , la surface « y = f ( x ) » s’augmente de l’aire d’une petite couronne , de longueur « » et de largeur « » . On a donc , à peu de chose près , « ». D’où : « » Donc ,à la limite, quand « » tend vers zéro, la dérivée de l’aire est : , Donc : = « »
D’autre part , pour « x = 0 » , l’aire est nulle. Donc « C=0 » et par suite la surface est « y = » D’ où l’aire d’un cercle ( A ) de rayon « R » est « A = »

Deuxième exemple :
La surface d’une sphère de rayon « x » étant « 4 x² » , le volume a pour accroissement : « = 4 x² » produit de la surface « 4 x² » d’une couche sphérique très mince par son épaisseur . : Donc : « = 4 x² » Cette relation qui n’est qu’approchée devient rigoureuse quand « » tend vers zéro. On a donc à limite : « = 4 x² » Donc : Donc : V = Pour « x= 0 » , « V » est nul . Donc « C = 0 »et par suite , le volume d’une sphère de rayon « R » est « V = »
En résumé : Pour évaluer une grandeur à l’aide d’une primitive, on cherche directement la dérivée de cette grandeur par rapport à la variable indépendante . On est ainsi ramené à trouver une fonction dont on connaît la dérivée. Le calcul fait intervenir une constante arbitraire que l’on détermine dans un cas particulier. On peut ainsi, dans des cas simples , calculer des aires de courbe , des volumes , des moments d’inertie.


	TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

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