Pré requis:

Info : liste des connaissances en algèbre préparant au même concours.

 

Fonctions (présentation )

 

Fonction : devoirs sur les pré requis

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

AVANT :

1°)Les dérivées.(sommaire).

 

Les fonctions primitives

 

 

COURS

APRES :

 

Complément d’Info :
1°) Liste des cours : prépa concours

 

A consulter pour compléments :

2°) les études de fonctions.

3°) Suite : Module sur  les primitives et les intégrales

 

TITRE :PREPARATION CONCOURS niveau IV :   APPLICATION DES FONCTIONS  PRIMITIVE à l’élévation des grandeurs.

OK essai pdf  janvier  2012

 

Méthode générale .

 

 

Applications :

 

 

·        Aire d’un segment de courbe.

 

 

·        Volume d’un solide

 

 

·        Moment d’inertie d’une surface.

 

 

·        Exemple de problème

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 


COURS

 

Méthode générale .

La méthode générale consiste à assimiler la grandeur à évaluer à une fonction d’une variable et à chercher directement ( par des considérations géométriques par exemple), la dérivée de cette fonction. On est ainsi ramené à trouver une fonction admettant une dérivée connue.

Le calcul fait intervenir une constante arbitraire, dite  « constante d’intégration » , que l’on détermine dans un cas particulier.

 

 

Ci-dessous : nous voyons des exemples d’application  qui vont vous donner une idée de la marche à suivre dans la plupart des cas.

 

Aire d’un segment de courbe.

Nous savons que les lignes usuelles ( droite ; cercle ; conique ;…) peuvent être représentées par des équations.

Il en est de même pour beaucoup de lignes courbes .

L’équation de la courbe est la relation qui existe entre les coordonnées  « x » et « y » d’un quelconque de ses points.

 

En particulier  ( figure ci contre) si la courbe n’est rencontrée qu’en un seul point « M » par toute parallèle  «  PZ » à l’axe « O y », son équation est du premier degré en « y », puisqu’à toute valeur « OP » de « x » ne correspond qu’une valeur « PM » de « y ». On peut donc mettre cette équation sous la forme :

«  y =  f ( x ) »

Nous nous proposons d’évaluer l’aire de  « ABCD » comprise entre la courbe , l’axe « O x » et les ordonnées « AC » et « BD » correspondant aux abscisses «  = a » ; « = b » , l’arc « CD » étant supposé situé tout entier au dessus de «  x’ x ».

Soit «  F ( x ) » une primitive quelconque de la fonction  « f ( x ) »

On sait que l’aire «   ACMP » limitée à l’ordonnée du point « M » d’abscisse « = x », est une primitive de « f ( x ) » (voir info +). Elle diffère de la primitive « F ( x) »considéré par une constante « C » positive ou négative . Ainsi : l’aire

«  ACMP =  F ( x ) + C ».

Pour déterminer la constante « C », donnons à la variable « x » la valeur particulière « a ». L’ordonnée  se confondant  avec  , l’aire du segment ACMP devient alors nulle , et l’on a :  «  0 =  F ( a ) + C ».

Cette relation donne la valeur  de  la constante « C » ; d’où «  ABCD =  F ( x )  - F ( a ) » 

Si l’on veut maintenant l’aire du segment « ACDB » , il faut faire coïncider    avec  c'est-à-dire faire «  x = b ». On a ainsi : Aire ACBD =  F ( b )  - F ( a ) 

 

Exemple 1   : Aire du segment de la parabole.

L’équation d’une parabole de paramètre « p » rapportée à sa tangente au sommet « O x »et à son axe de symétrie «  O y » , est : «  x² = 2 p y »

Cherchons l’aire « A3 du segment « OPM » limité par la parallèle à «  O y »menée par le point « P » d’abscisse « OP = a ». Nous avons ici :

«  y = f ( x ) =   »

qui a  pour primitive :  «  F ( x ) =  »

L’aire de « A » est la différence des valeurs que prend F(x) quand on y remplace « x » par les abscisses des points « P » et « O » . par suite :

«  A = F ( a )  - F ( 0 ) =    » 

ou bien : « A =  » ; « b=  » étant l’ordonnée de  «  » du point « M ».

       L’aire « OMP » est donc le tiers du rectangle « OPMQ » et qu’on  en  conclut que l’aire du segment parabolique « MOM’Q » égale les deux tiers de l’aire du rectangle « MPP’M’ »

 

Exemple 2   : Aire d’une sinusoïde .

Soit la courbe  sinusoïdale (ci contre)   représenté par l’ équation : «  y = sin x »

 Cette aire est une fonction de « x » dont nous ne connaissons pas la forme . Mais il nous est possible du moins de calculer sa dérivée, qui est la limite du rapport :  

(voir cours niveau 3)

 Pour une courbe quelconque ayant une équation : «  y =  f ( x ) » ;

on a trouvé : «  lim =   . = y »

 . désignant , naturellement , la dérivée de l’aire « A » par rapport à « x » .

 

Nous aurons donc ici : «  .= sin. x »

L’aire de « A » est donc la primitive de « sin x » ; donc : «  A = - cos x + C »

La constante se détermine en remarquant que , l’aire de « A » s’annulant pour « x = 0 » , on doit avoir : « 0 = -1 + C »   d’où  « C = 1 » 

 

Par suite , l’aire « OMP » est donné par la formule :  «  A = 1 – cos x »

En particulier , l’aire « OMB » s’obtient en faisant «  x =  » ; elle est égale à « 2 ».

 

VOLUME d’un solide .

Soit , par exemple, à calculer le volume d’un segment  sphérique dont l’une des bases est un grand cercle . ( voir ci contre) Le volume « V » du segment dépend de sa hauteur que nous désignerons provisoirement « x » ; cherchons sa dérivée .

 

Donnons a « x » l’accroissement  «  x » . Le volume « V » s’augmente du volume «  V » du petit segment sphérique : «  C D C’ D’ ».

« V » est évidemment compris entre les volumes des deux cylindres  de même hauteur «  x » ayant pour bases les cercles « CD » et C’D’ »

En désignant par « S » et « S’ » les aires de ces cercles , on a :

 

«  S’ .    x  <        <   S  .   x »

D’où :

                                      «  S’  <        < S »  

 

Or , quand «  x » tend vers « 0 », le cercle «  C’ D’ » tend à se confondre avec le cercle « CD », et « S’ » tend vers « S ».

«  lim.   =  = S »

 

«  » désignant la dérivée du volume « V » par rapport « x ».

L’aire « S » est fonction de « x » facile à évaluer. On a , en effet, « R » étant le rayon de la sphère. :  

«  S =  =  »

d’où

« =    »

Le volume « V » est une fonction primitive de «  »n, c'est-à-dire d’un polygone.   Par suite :   «  V =  à une constante près , « C ».

 

Cette constante est nulle , puisque l’on doit avoir :  «  V = 0 »    pour «  x = 0 »

 

De la formule précédente , on déduit facilement le volume d’un segment sphérique à bases parallèles quelconque, un tel segment étant  la  différence ( ou la somme)  de deux segments limités à un grand cercle. On a ainsi :

(voir figure ci contre)

« Vol. ( C1 D1 C 2 D2 ) =   -   »

 

                    = 

Appelons « r » et « r2 » les rayons des cercles de base du segment, « h » sa hauteur et remarquons  que :

« x2 –x1  = h » ;  R² -  x12 =  r12   ;   R² -  x22 = r22 »

L’identité : « ( x2 – x1  =  x12 + x22 – 2 x1 x2 »

Donne : «  h² = 2 R²  - (r12  + r22 ) – 2 x1 x2 »

 

D’où                            x1 x2  = R²-

 

 

On peut  transformer l’expression du volume :

 

V =  h

V =  h

Ou finalement : 

 

On retrouve ainsi la formule de géométrie élémentaire.

 

Moment d’inertie d’une surface.

On défini le moment d’inertie d’une surface « S » par rapport à un axe « y’y »dans le cours de « Mécanique ».

On décompose la surface en bandes très étroites par des parallèles à « y’y », multiplions l’aire « S1 »…de chaque bande par le carré de  sa distance :  x; x2 ; x;….à l’axe « y’y ».

 

La limite de la somme «   S1 x12  +  S2 x22 +…..quand la largeur de bandes tend vers zéro, est le moment d’inertie de la surface par rapport à l’axe « y’y »

Exercice 1

: Chercher le moment d’inertie d’un rectangle par rapport à l’un des côtés « AB »  ( voir ci contre)

Considérons la parallèle à « y ‘y »à la distance « AM = x »

Le moment d’inertie « I » du rectangle « ABNM » est fonction de « x ».

Cherchons la dérivée de cette fonction et , pour cela, donnons à x » un très petit accroissement  «  x ».

Le moment d’inertie « I » s’augmente d’une quantité «  I » égale au produit « S x² » relatif à la bande rectangulaire «  M N N’M’ ». Or, l’aire cette bande est :  «  b .  x ».et sa distance à l’axe est « x » . On a donc : «  b .  x . x² ».

 

Donc : 

Et , comme ce rapport est indépendant de  «  x . »., sa limite est aussi  « b. x² ».quand «  x . » tend vers « 0 ».,

«  lim.  »

 

 

La dérivée du moment d’inertie étant « b x² » on a , en remontant à la fonction primitive :

D’ailleurs , la constante « C » est nulle , car pour « x = 0 » , on a «  I = 0 »

Pour avoir le moment d’inertie du rectangle « ABCD3, on doit remplacer « x » par « a » dans l’expression de « I » , ce qui donne : «  »

Exercice 2

Chercher le moment d’inertie de la surface d’un cercle de rayon R  par rapport à son centre .

 

Le moment d’inertie « I » d’un cercle concentrique de rayon « x » est une fonction de « x ».

 

Cherchons la dérivée de cette fonction et pour cela , donnons à « x » un petit accroissement  «  x ».

 

Le moment d’inertie « I » s’augmente d’une quantité «  I ».sensiblement égale au produit de « x² » par la surface d’une couronne circulaire de longueur « 2  » et de largeur  «  x ».

On a donc :

 

«  I = x² fois 2   fois    =   »

 

donc :

La limité de ce rapport, c'est-à-dire la dérivée de « I » par rapport à « x » est donc :

 

donc :

 

 

 

Donc (la primitive ) est  

D’ailleurs , pour «  x =0 » , le moment d’inertie est nul  donc :  .

Et le moment d’inertie du cercle entier , c'est-à-dire lorsque « x= R »  est  

 

Problèmes.

Calculer le temps nécessaire pour vider un réservoir cylindrique de rayon « R » et de hauteur « h » , en supposant la vitesse d’écoulement proportionnelle à la racine carrée de la hauteur du liquide au dessus de l’orifice ( orifice percé à la partie inférieure )     .

On désignera par « a » le volume du liquide  écoulé dans l’unité de temps, lorsque la hauteur du liquide est l’unité.

C’est le débit de l’unité de hauteur.

Si l’on désigne par « s » la section de l’orifice , par « k » le coefficient de contraction, on a , en général, pour le débit de la hauteur « z ».

On désignera par « q » le volume de liquide écoulé pendant l’unité de temps., lorsque la hauteur supposée constante est « z ».

 

Ainsi :  «  q =    ; si  «  z = 1 »  alors «  a =   »

Solution :

D’après l’énoncé , le volume « q » de liquide écoulé pendant l’unité de temps (débit) ., lorsque la hauteur supposée constante est « z ».

Sera telle que :

 

D’ où :

Supposons que le niveau du liquide, dans un intervalle de temps « »  , passe du plan « A’B’ »qui se trouve à la hauteur «  z +  » au plan « AB » qui se trouve à la hauteur « z » .

 

Le volume écoulé  compris entre les deux plans est celui d’un petit cylindre , de bas «  » et de hauteur «   » ; soit  le volume  =  «   »

 

Quand au débit moyen , il est intermédiaire entre les débits aux hauteurs «  z +  » et  « z ».

La durée  « » d’écoulement est le rapport écoulé au   débit.

En prenant :   ; on trouvera un temps trop long……….

On a donc :  <    < 

D’où , en divisant par  «   » :       <    < 

«   » tendant vers « 0 » , le premier rapport tend vers  «  »  soit «  » , c’est dons aussi la limite du rapport « » , c'est-à-dire la dérivée du temps  « t » , nécessaire pour vider la partie «  ABCD » du réservoir.

 

«  lim. = =  »

Pour avoir « t » , on est dons conduit à prendre la fonction primitive de «  » qui ne diffère de «  » que par le facteur constant : «  »

La fonction primitive de «  » étant « 2+C » , on a : « t =  ( 2+C) »

 

On voit que la constante « C » est nulle, « t » devant s’annuler pour « z = 0 ».

Le temps nécessaire pour vider « tout » le réservoir s’obtient en remplaçant dans la formule précédente « z » par « h » ; on a ainsi :

«  »

Ce temps  est double de ce qu’il serait si la vitesse était constante et égale à celle du début.

En effet, la vitesse « V » avec laquelle baisse la surface du liquide est la limite du rapport « » quand «  » tend vers « 0 ».

Donc :  «  V = =  »

Au début, on a « z  = h »et la  vitesse a pour valeur : « V1 =  »

 

Si la vitesse restait constamment égale à « V» , la vitesse d’écoulement « t 1 » serait : «  »  on a bien «  t = 2 t1 »

 

Remarque : la théorie des primitives permet d’expliquer certaines formules de géométrie.

 

Premier exemple :

 

Sachant que la longueur d’une circonférence de rayon « R » est «  » , en déduire la formule donnant la surface d’une cercle. 

 

La surface d’un cercle est un fonction de son rayon « x ».  (voir ci contre)

 

Lorsque « x » augmente de «  » , la surface « y = f ( x ) » s’augmente de l’aire d’une petite couronne , de longueur   «  » et de largeur «  » . On a  donc , à peu de chose près , «  ».  D’où :   

«  »

Donc ,à la limite, quand «  » tend vers zéro, la dérivée de l’aire est : ,

 

Donc :    =   «  »

D’autre part , pour « x = 0 » , l’aire est nulle. Donc « C=0 » et par suite la surface est « y =  » D’ où l’aire d’un cercle  ( A )  de rayon « R » est « A =  »

 

Deuxième exemple :

La surface d’une sphère de rayon « x » étant « 4 x² » , le volume  a pour accroissement :  «  =  4      » produit de la surface « 4 x² »  d’une couche sphérique très mince par son épaisseur  . :

Donc :   « = 4 x² »

Cette relation qui n’est qu’approchée devient rigoureuse quand «  » tend vers zéro. On a donc à  limite :  « = 4 x² »

 

Donc : 

   Donc : V =

 

Pour « x= 0 » , « V » est nul . Donc « C = 0 »et par suite , le volume d’une sphère de rayon « R »  est   « V =  »

              

 

En résumé : Pour évaluer une grandeur à l’aide d’une primitive, on cherche directement la dérivée de cette grandeur par rapport à la variable indépendante . On est ainsi ramené à trouver une fonction dont on connaît la dérivée.

Le calcul fait intervenir une constante arbitraire que l’on détermine dans un cas particulier.

 

On peut ainsi, dans des cas simples , calculer des aires de courbe , des volumes , des moments d’inertie.

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTRÔLE

 

 

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EVALUATION :

 

 

 

 

 

 

 

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