Leçon
N°13	LES Caractéristiques d’une série statistique : RESUME : VOCABULAIRE et LES CALCULS DE BASE en STATISTIQUE

Rappel

« série statistique »

Lorsque la variable étudiée ( les xi ) peut prendre différentes valeurs . Si elles sont nombreuses elles sont réparties en classes.

Nous savons que l’amplitude d’une classe est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la classe.

L’effectif d’une classe (notée : f i ) est le nombre de cas où la valeur de la variable est comprise dans la classe . ( voir le segment semi ouvert tel que la borne « a » est incluse et « b » est exclue)

1 -

Fréquence : On appelle « fréquence d’une classe » (noté fi ) : le rapport entre l’effectif de la classe ( noté : ni ) et l’effectif total. ( noté : N)

Question 1

Qu’appelle –t-on fréquence ?

Info. cours : la fréquence peut être exprimée par 2 valeurs : sous la forme d’un nombre décimal (inférieur à 1) et ou sous la forme d’un « pourcentage »

cas 1 :

Cas 2 =  ;

2 _

Effectifs Cumulés Croissants

L’effectif cumulé croissant de la première classe est égal à son effectif .

Exemple :

Question 2

Traduire : E. C.C.

Classe

effectif

ECC

Question 3

A quoi est égal L’ECC d’une classe ?

Cl 1

7

7

L’ ECC d’une classe est égal à L’ ECC de la classe précédente plus l’effectif de la classe.

Cl 2

17

(17+7) 24

Remarque 1 : L’ ECC de la dernière classe est égal à l’effectif total.

Cl 3

34

(24+34) 58

Remarque 2 : L’ ECC de la classe [a ; b [ (segment semi ouvert) est le nombre de cas où la variable est inférieur à « b » .

Cl 4

12

70

70

(= 70)

3 _

Effectifs Cumulés Décroissants

Exemple :

Question 4

A quoi est égal le ECD de la première classe

Classe

Effectif

E D C

Le E.C.D de la première classe est égale à l’ effectif total .

Cl 1

7

70

Remarque 1 : l’ E.C.D. d’une classe est égal à l’effectif cumulé décroissant de la classe précédente moins l’effectif de la classe.

Cl 2

17

(70 – 17) = 53

L’ E.C.D. de la dernière classe est égal à son effectif.

C l 3

34

(53 – 34) = 19

L’E.C.D. de la classe [ a ; b [ est le nombre de cas où la variable est supérieure à « a ».

C l4

12

(19-12) = 7

4 _

Le mode

Exemples

Question 5

a) Série discontinue

Dans une série discontinue , le mode est la valeur dont l’effectif est le plus élevé.

xi

ni

Dans une série continue , la classe modale est la classe dont l’effectif est le plus élevé.

X1

12

X2

36

X3

47

Mode

X4

23

b) Série continue :

Classe

ni

Cl 1

4

Cl2

17

Cl 3

36

Classe modale

Cl 4

23

LA MOYENNE :

Ce calcul concerne le calcul de la moyenne des valeurs pondérées par les effectifs.

Dans une série continue (constitution de classe ) ,il faut d’abord calculer le centre de chaque classe : « xi »

Classe

Effectif « ni »

Centre de classe « xi »

Calculs des produits: « ni   xi »

Nous désignons par «  ni » l’effectif de chaque classe.

[0 ; 10 [

8

Procédure de calcul (étapes) :

[10 ; 20 [

9

1°) Compléter la colonne des centres de classe : « xi »

[20 ; 30 [

16

2°) Calculer le produit « ni   xi » de chaque classe.

[30 ; 40 [

9

3°) Calculer la somme des calculs des « ni   xi » ; que l’on note en mathématique :

[40 ; 50 [

8

4°) Calculer le quotient « m » :

Total ()

50

que nous voyons écrit aussi :

Calcul de la moyenne :

Médiane par le graphique.

La médiane est la valeur du caractère (de la variable) tel que la moitié de l’effectif ait une valeur inférieure ou égale.

Classe

Effectif « ni »

ECC

On peut la déterminer à partir de la Courbe des Effectifs Cumulés croissants.

[0 ; 10 [

8

8

[10 ; 20 [

9

17

[20 ; 30 [

16

33

[30 ; 40 [

9

42

[40 ; 50 [

8

50

Total ()

50

1°) Détermination des coordonnées des points.(permettant de tracer les segments…)

Point O

Point A

Abscisse

0

Valeur de début Classe de la [0 ; 10 [

10

Valeur de Fin de Classe de la [0 ; 10 [

Ordonnée

0

Effectif de départ

8

Effectif correspondant à la limite supérieure de la classe [0 ; 10 [

Et ainsi de suite : Point B : ( 20 ; 17 ) ; Point C ( 30 ; 33) ; Point D ( 40 ; 42) ; Point E ( 50 ;50)

2°) Représenter les sur le graphique (voir ci dessous)

3°) et joindre ces points. Nous obtenons la courbe des effectifs cumulés croissant.

Cliquez sur l’image pour agrandir…

3°) Tracer les segments (joindre les points.)

4°) Tracer une droite « horizontale » dont le départ est égale à la moitié de l’effectif ( ici : 25.) C’est une droite parallèle à l’axe des abscisses ( dit aussi droite y= 25)

la moitié de l’effectif est aussi appelé : effectif médian. L’effectif médian correspond à 50% de l’effectif total est il de calcul :

L’intersection de cette droite et la courbe des E.C.C donne un point qui permet de lire la valeur telle que la moitié de l’effectif a une valeur inférieure ou égale. C’est la « médiane »

Remarque : le point d’intersection des deux courbes polygone des effectifs cumulés croissante et polygones des effectifs décroissants définit les coordonnées du point médian de la série statistique étudiée.

Info ++

L’Ecart moyen arithmétique .

Procédure (étapes de calculs)

1°) Calculer la moyenne de la série statistique.

Pour chaque valeur de la variable (valeur du caractère) ,on calcule la valeur absolue de l’écart par rapport à la moyenne. que vous voyons écrit aussi :

2°)Calculer les distances :  ;  ;  ;…………

3°) Multiplier chaque distance ;par l’effectif correspondant :

n1 =……… ; n2 =………………. ; n3 =……. ; ……….. ; np

4°) Faire la somme des différents produits obtenus .

5°) Effectuer le quotient (diviser) de la somme obtenue par l’effectif total . ( N ) ; que l’on note aussi )

Exercice type :