Fiche 1 : Propriétés du triangle rectangle.

Hauteur du triangle rectangle.

Ci-contre un triangle rectangle en « A ».

Cela signifie que l’angle «  »  est droit.

L’hypoténuse est alors le côté [ BC ].

Activité n°1 : Tracez les hauteurs de ce triangle.

Que constatez-vous ?.............elles se coupent en un même point...............

Remarque : Quand on parle de « la hauteur » d’un triangle rectangle , on veut dire « la hauteur relative à l’hypoténuse » puique les deux autres hauteurs sont confondues avec les côtés.

Cercle circonscrit et médiane relative à l’hypoténuse.

« ABC » est un triangle rectangle en « A ». ( ci-contre).

Vous savez que tout triangle rectangle peut être considéré comme la moitié d’un rectangle.

Placez le point « D » tel que « BACD » soit un rectangle.

Appelons « O » le point d’intersection de [ AD ]  et   [BC] .

Vous savez ( théorème 4) que : tout rectangle est inscrit dans un cercle dont le centre est le centre du rectangle. Tracez le cercle .

« A » , « B », « C » sont situés sur le cercle de entre « O » dont [BC]  est le diamètre.

D’où le théorème :

Théorème n°6 :

Tout triangle rectangle est inscrit dans un cercle dont l’hypoténuse est un  diamètre.

(Le centre de ce cercle est le milieu de l’hypoténuse.)

Toujours dans la même situation, on peut dire que [OA] est un rayon du cercle.

Pour le triangle « ABC » , [OA]  est la ……médiane …..relative à  l’hypoténuse  [BC].

Or l’hypoténuse  [BC] est ………le diamètre………….. du cercle donc « OA = ….   [BC].  D’où le théorème :

Théorème n°7 :

Dans tout triangle rectangle , la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur  la ……….de la longueur de l’hypoténuse .

Activité n° 2 ..

« ABC » est un triangle quelconque .

Tracez les hauteurs [BE]  et  [CF].

Démontrez que « B » , « F » , « E » , « C » sont sur un même cercle.

.

Activité n° 3..

« ABC »  est un triangle rectangle en « A » . [AM]  est médiane .

« E » est le projeté orthogonal de « M » sur  ( AB).

« F » est le projeté orthogonal de « M » sur  ( AC).

Démontrez que les triangles « AMB » et « AMC » sont isocèles.

Déduisez –en que  « E »  est le milieu de  [AB]    et « F » le milieu de [AC] 

Fiche 2 : Propriétés caractéristiques du triangle rectangle.

On donne un cercle de diamètre [BC] .

« A » est un point quelconque du cercle .

( « A » est différent de « B » et de  « C »).

Démontrez que le triangle est rectangle en « A ».

Tracez le diamètre [AD].

[BC]  et  [DA]  étant des diamètres , alors  « BC …..AD » et   BC]  et  [DA]  ont même  mesure  . ( Le centre du cercle.) .

Les diagonales  de « ABCD » ont même …mesure ……..et se coupent en leur milieu.

Donc , grâce au théorème « 5 » , « ABCD » est un   ………rectangle ……………

Donc le triangle « ABC » est un triangle rectangle en « A » . D’où le théorème :

Théorème n°8 :

Etant donné un cercle et  [BC]  un de ses diamètres , si « A » est un point quelconque du cercle (  )  alors le triangle « ABC » est un triangle rectangle en « A » ( ou    est un angle droit ).

Activité n°1 :

On vous donne un cercle et 3 points « E », « F »et « G » de ce cercle  non diamétralement opposés deux à deux.

1°) Tracez par « F » la perpendiculaire à ( EF) qui recoupe le cercle en « H ».

2°) Démontrez que   est droit.

Activité 2 :

            « ABC » est un triangle dans lequel la médiane [MA]  est telle que    .

Démontrez que le triangle « ABC » est rectangle en « A ».

Démonstration :

Puisque [MA]  est médiane , alors « M » est le milieu de [BC]  .

Donc « MB = MC » et comme par hypothèse   .  alors   «  MA = MB = MC »    donc le point « A » est situé sur le cercle de diamètre [BC]  donc , grâce au théorème « 8 », « ABC » est un triangle rectangle en « A » .

D’où le théorème n°9.

                      Si dans un triangle la longueur de la médiane  est la moitié de la longueur du côté correspondant alors le triangle est rectangle et le côté considéré est …….

Remarque : Ce théorème est le théorème réciproque du théorème 8.

De même le théorème « 8 » est le théorème réciproque du théorème  ….. et les propriétés qui y figurent sont des propriétés caractéristiques du triangle rectangle.

Activité n°2 :

« KLM » est un triangle isocèle de base [LM] 

Placez le point « N » symétrique de « L » par rapport à « K ».

Démontrez que (LM) est perpendiculaire à ( MN ).

Fiche 3 : Construction .

Activité 1 :

Construisez un triangle  « ABC » rectangle en « A » dont l’hypotènuse est le segment [BC]  ci-contre et dont le côté [ BA]  = 35 mm.

Indication :

D’après le théorème « 6 » , le triangle cherché est inscrit dans le cercle de diamètre [BC]  .

Le point « A » est sur ce cercle.

Il est aussi sur le cercle de centre « B » et de rayon 32 mm.

Combien de triangle trouvez – vous ?

Activité 2 :

Voici une droite « d » et un point « A » de cette droite.

On vous demande de construire la perpendiculaire en « A » à « d ».

Indication :

Tracez un cercle de centre « O » quelconque   ( ) passant par « A » et recoupant « d » en « B ».

Tracez le diamètre [BC] 

D’après le théorème  « 8 »  le triangle  « ABC » est alors rectangle en « A ».

La droite cherchée  est la droite  ………….

Tracez – la.

Fiche 4 : Exercices.

Exercice 1 :

On donne un triangle « ABC »et son cercle circonscrit de centre « O ».

[AH]   est la hauteur , [AD]  est un diamètre.

La droite ( AH) recoupe le cercle en « E3.

Démontrez que ( ED ) est parallèle à ( BC ).

Exercice 2 :

Deux droites « d » et « d’ » se coupent en « O ».

« M » est un point non situé sur ces droites.

« H » est le projeté orthogonal de « M » sur « d ».

« K » est le projeté orthogonal de « M » sur « d’ ».

« E » est le milieu de  [OM]  et « F » le milieu de  [HK] 

Démontrez que ( EF ) est perpendiculaire à ( HK )

Exercice 3 :

On considère  un angle  .

 est la bissectrice de    .

Par un point « M » de   , on trace la parallèle au support   .

Elle coupe   en  « A » .

« B » est le symétrique de « O » par rapport à « M ».

1°) Démontrez que « OMA » est isocèle.

2°) Démontrez que le triangle « OAB » est rectangle en « A ».

Fiche 5 : Relation entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle.

Voici des triangles rectangles  numérotés  , ( R 1 ). ( R 2 ). ( R 3 ). ( R4 )..

Mesurez (en mm) leurs côtés  «  » , «  » , «  » et complétez le tableau ci-dessous.

Dans chacun des cas , «  » est la longueur de l’hypoténuse.

Faites de même pour un triangle rectangle que vous dessinerez  et à qui nous donnerez le numéro « R5 ».

Rectangle ( R 1 ).

Rectangle ( R 2).

Rectangle ( R 3).

Rectangle ( R 4).

1

2

Triangle

«  »

«  »

« »

«  »

«  »

 »

«  »

( R 1 ).

( R 2 ).

( R 3 ).

( R 4 ).

( R 5 ).

·       Comparez les colonnes « 1 » et « 2 »  . Que pouvez-vous en dire ?

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·       Ces constatations vous suggèrent la propriété suivante.

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse……………………………………………………………………..

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Commencé le  11 / 11 / 2014 fini le 12/11/14