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Classe 4ème |
LES
TRIANGLES « homothétiques »
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TEST |
COURS |
Devoir Contrôle |
Devoir évaluation |
Interdisciplinarité |
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Corrigé Contrôle |
Corrigé
évaluation |
Activités :
Soit
un triangle ABC . Une parallèle au côté BC coupe
AB en M et AC en N .
Menons
par N la parallèle à AB qui coupe BC en P .
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Comparons les triangles ABC et AMN .
TRIANGLES SEMBLABLES ET HOMOTHETIQUES
Soit
un triangle ABC . Une parallèle au côté BC coupe
AB en M et AC en N .
Menons
par N la parallèle à AB qui coupe BC en P .
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Comparons les triangles ABC et AMN .
Appliquons le théorème de Thalès au triangle
ABC : MN et parallèle à BC .
( 1) 
mais MN
//PB et NP // MB ; nous avons
donc un parallélogramme BNMP
ainsi BP = MN
( à terminer )
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(la
condition de départ : les triangles sont semblables)
On
appelle « cotés homologues »
de deux triangles , les cotés opposés aux angles
égaux.
(voir
figure ci dessous ; AB et A’’B’’ sont des cotés homologues
Traçons deux triangles semblables ( ABC
et A’’B’’C’’)en prenant la précaution de tracer les cotés opposés aux angles
égaux , parallèles
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B’’ |
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Les cotés homologues sont :
AB et A’’B’’ (coté opposé à l’angle « C » et « C’’ »)
;
BC et B’’C’’ , (coté opposé à l’angle « A » et «A’’ »)
CA et C’’A’’ (coté opposé à l’angle
« B » et « B’’ »);
Ces
cotés sont proportionnels .(faire l’égalité des
rapports)
Les angles
sont égaux deux à deux .
Les
deux triangles sont homothétiques .
TRIANGLES HOMOTHETIQUES
Ont
dit que deux triangles sont « homothétiques »
si les cotés de l’un sont respectivement parallèles aux cotés de l’autre .
Les
angles sont égaux deux à deux ; les côtés homologues sont proportionnels.
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En +++ |
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TRIANGLES HOMOTHETIQUES
ET « RAPPORT D ‘ HOMOTHETIE ».
Soit un triangle ACB ; on
trace une droite( MN ) parallèle à BC ,passant par MN.
Nous obtenons un
« autre » triangle ANM.
Les triangles ACB et ANM sont semblables et homothétiques (d’après ce qui à été déclaré précédemment )
semblables :leurs angles sont égaux et leurs
cotés sont proportionnels ;et homothétiques : les cotés
opposés aux angles sont tracés parallèles .
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B |
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Rapport d ’ homothétie
Nous savons que deux triangles sont homothétiques si leurs
cotés homologues sont proportionnels.
Ainsi AM et AB
sont homologues ; AN et AC sont homologues ; MN et BC sont
homologues ; ces cotés homologues sont proportionnels ; nous pouvons
donc écrire l’égalité :
= k
k est appelé
« rapport d’homothétie ».
Ces rapports ont été établis à partir d’un tracé d’une droite
parallèle à un coté d’un triangle ; nous pouvons écrire :
(théorème)
Toute
parallèle à un coté d’un triangle détermine un deuxième triangle homothétique
du premier.
(autre façon de
traiter le problème sur le triangle « coupé » par « une
parallèle » à un des cotés : voir : les projections et
Thalès )
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E |
Enoncé :
les triangles ADB et
AEC sont semblables
AD = 27 ; DE
= 13
BC = 26 ; AB =
?
AC = x ; AE =
?
BD =
30 ; CE =
y
Questions :
1. Tracer les deux
triangles homothétiques.
2. Identifier les cotés
homologues ( les
nommer deux à deux)
3. Etablir les
rapports d ’
homothétie
4. Calculer
« x » et « y »
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E |
Enoncé :
A partir des triangles semblables et
homothétiques AC et FE sont parallèles.
On
donne :
AB
= 25 ;
AF = ?
BC
= ? ;
CE = ?
BF
= 40 ;
BE =36
AC = « x » ;
FE = 40
Questions et
réponses:
1 ) Tracer
les deux triangles homothétiques. ABC
et FBE
2 ) Identifier les cotés homologues ( les nommer deux à deux) :
Attention :pour nommer un
coté et son homologue il faut choisir le
« triangle de départ ou référent » et conserver ce choix pour nommer
les cotés et leur homologue;
je choisis de
prendre le premier triangle ABC comme
« référent » alors pour les trois cas
je nomme en premier le coté appartenant au triangle
« référent » :
les coté AB et
BF sont homologues
les cotés AC et FE sont homologues
les cotés BC et
BE sont homologues
3 ) Etablir le rapport d ’ homothétie Lsi
l’ordre à été suivi les rapports s’établissent sans risque d’erreur : 
=
=
4 ) Remplacer les lettres par les valeurs
données :
==
Calculer
« x »
CALCUL :
==
Travaux
auto – formatifs :
CONTROLE
1°) Quand dit - on que deux triangles sont égaux ?
2° ) Quand dit - on que
d’eux triangles sont isométriques ?
3° )
Compléter la phrase : deux
triangles sont dits semblables
si :.............................................
4° )
Qu’appelle -t - on « cotés homologues » ?
5° )
Quand dit - on que deux triangles sont homothétiques .
6°
)Compléter la phrase suivante :
Toute parallèle à un
coté d ’ un
triangle détermine .............
7°) Qu’est
qu ‘un rapport d ’ homothétie .(aidez vous d’
un exemple )
1°) Tracer un triangle quelconque (ni
rectangle ; ni isocèle) ; ensuite tracer le triangle égal au
précédent et un triangle isométrique.
2° ) Les angles d’un
triangle mesurent 43° et 54° .Construire un triangle « isométrique ».
3° ) Les angles A et
B d’un triangle ABC mesurent
43° et 54°,on donne BC = 40 mm Construire un triangle A’B’C’ semblable
.avec B’C’ = 55mm
EXERCICES
RESOLUS :
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E |
Enoncé :
les triangles ADB et AEC sont semblables
AD = ; DE
=
BC = ; AB =
AC = ; AE =
BD = ; CE
=
Questions :
1.
Tracer les deux triangles homothétiques.
2.
Identifier les cotés homologues ( les nommer deux à
deux)
3.
Etablir le rapport d’homothétie
4.
Calculer « x »
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E |
Enoncé :
A partir
des triangles semblables et homothétiques LAC
et FE sont parallèles.
On donne :
AB =
; AF =
BC =
; CB =
BF = ; BE
=
AC =
; FE =
Questions :
1.
Tracer les deux triangles homothétiques.
2.
Identifier les cotés homologues ( les nommer deux à
deux)
3.
Etablir le rapport d’homothétie
4.
Calculer « x »
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Calculer « x » |
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