TRIANGLES HOMOTHETIQUES

 

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Classe 4ème

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LES TRIANGLES « homothétiques »

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COURS

 

Activités :

Soit un triangle ABC . Une parallèle au côté BC coupe AB  en M et AC en N .

Menons par N la parallèle  à AB qui coupe  BC en P .

trai3tal

tria2tal

tria4tal

Comparons les triangles  ABC et AMN .

 

 

 

TRIANGLES  SEMBLABLES ET  HOMOTHETIQUES

 

Soit un triangle ABC . Une parallèle au côté BC coupe AB  en M et AC en N .

Menons par N la parallèle  à AB qui coupe  BC en P .

trai3tal

tria2tal

tria4tal

 

        

 

Comparons les triangles  ABC et AMN .

 

Appliquons le théorème de Thalès  au triangle ABC : MN et parallèle à BC .

 

( 1)     

 

mais  MN //PB  et NP // MB ; nous avons donc  un parallélogramme  BNMP  ainsi  BP = MN

( à terminer )


 

 

COTE HOMOLOGUE : (définition)

 

 

(la condition de départ : les triangles sont semblables)

 

On appelle « cotés homologues » de deux triangles , les cotés opposés aux angles égaux.

(voir figure ci dessous ; AB et A’’B’’ sont des cotés homologues

 

Traçons deux triangles semblables ( ABC et A’’B’’C’’)en prenant la précaution de tracer les cotés opposés aux angles égaux ,  parallèles                                

 

B’’

 
 

 

 

 


Les cotés homologues sont :

 

 AB et A’’B’’ (coté opposé à l’angle « C » et « C’’ ») ;

BC et B’’C’’ , (coté opposé à l’angle « A » et «A’’ »)

CA et C’’A’’ (coté opposé à l’angle « B » et « B’’ »);

 

 

 

Ces cotés sont proportionnels .(faire l’égalité des rapports)

Les angles sont égaux deux à deux .

Les deux triangles sont homothétiques .

TRIANGLES HOMOTHETIQUES

Ont dit que deux triangles sont « homothétiques » si les cotés de l’un sont respectivement parallèles aux cotés de l’autre .

Les angles sont égaux deux à deux ; les côtés homologues sont proportionnels.

En +++

« RAPPORT D ‘ HOMOTHETIE »

 

 

TRIANGLES HOMOTHETIQUES  ET « RAPPORT D ‘ HOMOTHETIE ».

 

    Soit un triangle ACB ; on trace une droite( MN ) parallèle à BC  ,passant par MN.

 Nous obtenons un « autre » triangle   ANM.

    Les triangles ACB et ANM sont semblables et homothétiques  (d’après ce qui à été déclaré précédemment )

semblables :leurs angles sont égaux et leurs cotés sont proportionnels ;et homothétiques : les cotés opposés aux angles sont tracés parallèles .

 

 

B

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Rapport  d ’ homothétie

 

Nous savons que deux triangles sont homothétiques si leurs cotés homologues sont proportionnels.

      Ainsi AM et AB sont homologues ; AN et AC sont homologues ; MN et BC sont homologues ; ces cotés homologues sont proportionnels ; nous pouvons donc  écrire l’égalité :

     

 

= k

 

k   est appelé « rapport d’homothétie ».

 

Ces rapports ont été établis à partir d’un tracé d’une droite parallèle à un coté d’un triangle ; nous pouvons  écrire :

 

(théorème)

   Toute parallèle à un coté d’un triangle détermine un deuxième triangle homothétique du premier.

 

 

   (autre façon de traiter le problème sur le triangle « coupé » par « une parallèle » à un des cotés : voir : les projections et Thalès )

 

 

EXERCICES RESOLUS :

E

 
 

 


Enoncé :

  les triangles ADB et AEC sont semblables

 

AD =   27   ;  DE  = 13

BC =   26    ; AB  =   ?

AC =     x      ; AE  =   ?

BD  =  30    ; CE   =   y

 

 

 

  Questions : 

1.  Tracer les deux triangles homothétiques.

2.  Identifier les cotés homologues  ( les nommer deux à deux)

3.  Etablir les rapports  d ’ homothétie

4.  Calculer « x » et « y »

 


 

 

E

 
 


Enoncé :

  A partir des triangles semblables et homothétiques  AC et FE sont parallèles.

On donne :

AB =  25        ;   AF  = ?

BC =   ?          ;  CE  = ?

BF =   40            ;  BE  =36

AC  = « x »       ;  FE  = 40

 

 

 

Questions et réponses: 

1 )  Tracer les deux triangles homothétiques.  ABC  et  FBE

 2 )  Identifier les cotés homologues  ( les nommer deux à deux) :

                 Attention :pour nommer un coté et son homologue  il faut choisir le « triangle de départ ou référent » et conserver ce choix pour nommer les cotés et leur homologue;

        je choisis de prendre le premier  triangle ABC comme « référent » alors pour les trois cas  je nomme en premier le coté appartenant au triangle « référent » :

    les coté  AB et BF sont homologues

   les cotés AC et FE  sont homologues

   les cotés BC et BE  sont homologues

3 ) Etablir le rapport d ’ homothétie Lsi l’ordre à été suivi les rapports s’établissent sans risque d’erreur :  ==

 

 

4 ) Remplacer les lettres par les valeurs données :

                                          ==

 

Calculer « x »

 

 

CALCUL : ==

 

 

 

 

 


 

 

 

Travaux auto – formatifs :

CONTROLE

 

1°)  Quand dit - on que deux triangles sont égaux ?

2° ) Quand dit - on que d’eux triangles sont isométriques ?

3° ) Compléter la phrase :  deux triangles sont dits semblables si :.............................................

4° ) Qu’appelle -t  - on  « cotés homologues » ?

5° ) Quand dit - on que deux triangles sont homothétiques .

6° )Compléter la phrase suivante :

Toute parallèle à un coté  d ’ un triangle détermine .............

7°) Qu’est  qu ‘un rapport d ’ homothétie .(aidez vous d’ un exemple )

EVALUATION :

 

1°) Tracer un triangle quelconque (ni rectangle ; ni isocèle) ; ensuite tracer le triangle égal au précédent et  un triangle isométrique.

2° ) Les angles d’un triangle mesurent 43° et 54° .Construire un triangle « isométrique ».

3° ) Les angles A et B  d’un triangle ABC  mesurent  43° et 54°,on donne BC = 40 mm Construire un triangle A’B’C’ semblable .avec B’C’ = 55mm

 

 

 

EXERCICES RESOLUS :

E

 
 

 


Enoncé :

  les triangles ADB et AEC sont semblables

 

AD =      ;  DE  =

BC =       ; AB  =

AC =       ; AE  =

BD  =      ; CE   =

 

 

 

 

 

  Questions : 

1.  Tracer les deux triangles homothétiques.

2. Identifier les cotés homologues  ( les nommer deux à deux)

3. Etablir le rapport d’homothétie

4. Calculer « x »

 

 

 

E

 
 


Enoncé :

  A partir des triangles semblables et homothétiques LAC et FE sont parallèles.

On donne :

AB =           ;   AF  =

BC =            ;  CB  =

BF =            ;  BE  =

AC  =           ;  FE  =

 

 

 

Questions : 

1.  Tracer les deux triangles homothétiques.

2. Identifier les cotés homologues  ( les nommer deux à deux)

3. Etablir le rapport d’homothétie

4. Calculer « x »

 

 

Calculer « x »

S33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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