Définition :

Si on élève un nombre fixe positif  « a » à une puissance variable « x » , la fonction correspondante « a ^x » est appelée « la fonction exponentielle ».

Il importe de définir « a ^x », c'est-à-dire la signification de cette notation suivant les différentes valeurs de « x ».

1°) « x » étant entier et positif , « a ^x » représente le produit de « x » facteurs égaux à « a ».

2°) « x » étant fractionnaire et positif, de la forme  , « p » et « q » étant entiers , « a^x »=  représente   , comme on l’a vu dans les « exposants fractionnaires »

3°) « x » étant incommensurable et positif , «  » , on a vu en arithmétique que «  » est la limite commune de deux suites de nombres commensurables.

4°) « x » étant négatif ; mettons l’hypothèse en évidence en posant  «  x = - x’ » , « x’ » étant essentiellement positif.

on a vu que    , or on vient de définir « a ^{x ’} » dans tous les cas , donc on pourra calculer  .

5°) Remarque « a⁰ =  1 » par convention justifiée .

On appelle donc , une fonction exponentielle , une fonction de la  forme :  y  = a ^x

Dans laquelle « a » est un nombre positif  fixe et « x » une variable pouvant prendre des valeurs ( négative , nulle ou positive ) ;  de   -    à    +   ..

C’est la première fois que nous rencontrons ainsi la variable « x » en exposant.

Etude de   y  = a ^x   : 2 cas

C’est l’étude des logarithmes qui conduit à la considération de cette fonction que nous examinons ; nous supposons que « x » peut prendre des valeurs positives  ou négatives  très voisines les unes des autres mais toujours commensurables.

Calculs :     soit l’équation   y = 3 ^x   ; on donne les valeurs de « x » ;

1°)  Remplir le tableau ; calculer  les valeurs de « y »

« x »

-1

0

1

2

3

4

5

9

« y »

3 ^-1 = 

3 ⁰ =  1

3¹= 3

3²= 9

3³= 27

3⁴= 81

3⁵= 243

3⁹=19 683

2°) consigne :  Faire la représentation graphique dans un repère orthonormé…

Variations de la fonction exponentielle.

1°)  Cas   « a » > 1    ;   ( Remarque « a⁰ =  1 » par convention justifiée .)

La fonction y  = a ^x  est continue est croissante , en effet la variable « x »  ayant une valeur  x₁  donnons lui un accroissement positif « h », et examinons l’accroissement ( ) de « y » :       =  a ^(x₁ ^{+ h})  -  a ^x₁        qui peut s’écrire :  =   a ^x₁  ( a^h  - 1)    

a ^x₁   étant fixe  et  ( a^h  - 1)   étant aussi petit que l’on veut , il est en outre positif, les deux facteurs sont positifs .

Quand « x » varie de    -    à    +   , la fonction « y » varie d’une façon continue  de 0 à +  , en particulier  pour « x=0 » , « y » est égale à « 1 ».

Forme générale :

1°)  Cas   « a » <  1   ;               ( a > 0) ;  Remarque « a⁰ =  1 » par convention justifiée .

La fonction y  = a ^x  est continue est croissante , en effet posons  , « a’ » étant supérieur à « 1 » , on aura :  y  = a ^x  = 

D’après ce qui a été vu précédemment   a ‘^x varie de 0 à +  ; par suite   ou « y » varie de +  à 0 quand « x » varie de  -    à  +   

Nous allons d’abord, pour plus de simplification , faire varier « x » de  « 0 »  à  « +  ».

Remarque « a⁰ =  1 » par convention justifiée ., lorsque « x » augmente , comme « a<1 », d’après les théorèmes précédemment démontrés , « a ^x »   va en décroissant, que « x » croisse par valeurs entières ou fractionnaires ou incommensurables , et lorsque « x » croît indéfiniment sans limite,  « a ^x »   se rapproche de plus en plus de 0 qui est sa limite.

Donc , « a<1 » , « a ^x »   décroît  constamment de  « 1 » à « 0 » , quand « x » croît constamment de « 0 »  à  « +  ».

Faisons varier maintenant « x » de   -    à  0 , « x » étant négatif , mettons l’hypothèse en évidence en posant «  x = -x » , « x’ » étant positif.

Quand  « x » varie de  -    à  0 , x’ varie de  +   à  0 et , d’après ce qui précède , a ^{x ’} ( a < 1)varie de  « 0 » à « +1 » .

Donc   ou  « a ^x » varie de    ou   à  ou « 1 » quand « x » varie de -   à  0  , en décroissant constamment.

On peut résumer ce qui pré cède  dans les tableaux suivants.

a > 1

a < 1

« x »

«  a ^x »

«  a ^x »

-

-

croît

croît

croît

décroît

0

1

0

1

croît

croît

croît

décroît

+

+

+

0

Aussi :

Forme générale :

Remarque :  Il est évident que si «  a = 1 » ;la fonction est constante et elle ne présente pas d’intérêt.

Les considérations précédentes permettent de tracer les courbes figurées ci-dessous :

L’une d’elles en trait plein correspond au cas de « a>1 »  , l’autre en traits pointillés  au cas «  a < 1 »  .

Quand on connaît la valeur numérique de « a » on peut avoir des points de repère.

Exemple 1 :

a = 10

Pour x = 1 , 10 ^x = 10 ;  Pour x = 2 , 10 ² = 100 ;   Pour x = 3 , 10 ³  = 1 000 ;…..

Exemple 2 :

a = 2

Pour x = 1 , 2 ¹ = 2   ;  Pour x = 2 , 2 ² = 4 ;   Pour x = 3 , 2 ³  = 8 ; ………….. 

La courbe s’élève moins rapidement . On se rend compte que « a » étant plus grand que 1 , plus la valeur numérique de « a » augmente , plus la courbe s’élève rapidement.

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

Voir le résumé ci-dessus

EVALUATION :

Exercices :    Résoudre .

Domaine de définition : (Df)

Df    =  ]  -     ;   +   [ ;  

Lim.    e^x             =  - 

    x     - 

Lim.    e^x  =  +  

         x     +  

On appelle donc , une fonction exponentielle , une fonction de la  forme :  y  = a ^x

Dans laquelle « a » est un nombre positif fixe et « x » une variable pouvant prendre des valeurs de   -    à    +   ..

C’est la première fois que nous rencontrons ainsi la variable « x » en exposant.

C’est l’étude des logarithmes qui conduit à la considération de cette fonction que nous examinons ; nous supposons que « x » peut prendre des valeurs positives  ou négatives  très voisines les unes des autres mais toujours commensurables

1°)  Cas   « a » > 1 

La fonction y  = a ^x  est continue est croissante , en effet la variable ayant une valeur  x₁  donnons lui un accroissement positif « h », et examinons l’accroissement ( ) de « y » :       =  a ^(x₁ ^{+ h})  -  a ^x₁        qui peut s’écrire :  =   a ^x₁  ( a^h  - 1)      

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

Voir le résumé ci-dessus

EVALUATION :

Exercices :    Résoudre .