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Corrigé

 

 

 

TITRE :  EXERCICES  sur les inégalités  L’ensemble des nombres Réels

 

 

 

 

 

Exercices types :

 

1.      

Nier l’inégalité suivante :  a  -5

 

2.      

Nier l’inégalité suivante :  b   2

 

3.      

Nier l’inégalité suivante :   c < 0

 

4.      

Nier l’inégalité suivante :  0   d  < 1

 

5.      

Nier l’inégalité suivante :  - 1    f  < - 0,5

 

6.      

Nier l’inégalité suivante :  f < - 2     ou   f > 3

 

 

 

 

7.      

Vérifier que le réel :  [  ( a + b ) -  ]  est égal au plus petit des deux réels « a » et « b »

 

 

8.      

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

9.      

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

10.  

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

11.  

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

 

12.  

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

13.  

Soit « a » un nombre réel.

Sachant que «  a  < -1 », que peut -on dire de « a² » , de « -a » et de «  » ?

 

 

14.  

Soit « a » un nombre réel.

Sachant que «  a  > 5 », que peut -on dire de « a² » , de « -a » et de «  » ?

 

 

15.  

Soit « a » et « b » deux réels . On sait que :  4 < a < 7   et   3 <  b < 4   que peut-on dire de « a – b » ?

 

 

16.  

Soit « a » et « b » deux réels . On sait que :  - 1  < a < 3    et   -2 <  b < 0   que peut-on dire de « a – b » ?

 

 

17.  

Soit « a » et « b » deux réels . On sait que :  -2    a  2    et   - 2   b  2   que peut-on dire de « a – b » ?

 

 

 

Quelles  inégalités     vérifie t-il si le réel « a » vérifie :

 

18.  

  - 3 < a < 3   ?

 

19.  

  - 1  a  1 ?

 

20.  

  - 2 < a < 0 ; ? 

 

21.  

  - 2 < a  < 4 ; ?

 

22.  

  - 2  a < 2 ; ?

 

23.  

  - 2 <  a 3 ; ?

 

24.  

- 5 < a  - 3 ; ? 

 

 

 

Quelles inégalités le réel « a » vérifie-t-il sachant que

 

25.  

      < 2               

 

26.  

        3  

 

27.  

        > 1

 

28.  

     1

 

29.  

   < 2  

 

 

 

 

 

Déterminer l’intersection des intervalles « A » et « B » donnés.

 

30.  

A = [ 0 ; 4  ]   ;   B =  [ 2 ; 6  ]

 

31.  

A = [ 0 ; 5  ]   ;   B =  [ 5 ; 6  ]

 

32.  

A = [ 0 ; 3   [   ;   B =  [ 2 ; 4   [

 

33.  

A = [ - 1  ; 4 [   ;   B =  [ 3  ; 4 [

 

 

 

 

 

La réunion de deux intervalles « A » et « B » donnés est-elle un intervalle ? Si oui , préciser cet intervalle.

 

34.  

A = [ 1 ; 4  ]   ;   B =  [ 2 ; 5  ]

 

35.  

A = [ 1 ; 2  ]   ;   B =  [ 2 ; 3  ]

 

36.  

A = [ -1  ; 0 [  ;   B =  [ 0 ; 2  ]

 

37.  

A = [ -1  ; 1 [  ;   B =  ]  1 ; 3  [

 

 

 

 

38.  

On donne deux réels « a » et « b » . On sait que :  4,5 < a < 4,6       et      5,3   b  5,4

Que peut –on en déduire pour «  a + b » , pour «  a – b »  , pour     ; pour  «  a² + b² »         

                     

 

39.  

Comparer les nombres  et   +  : on déterminera leur ordre et on donnera un majorant  de leur écart .

 

40.  

On donne quatre réels « a » , « b » , « c » et « d » tels que :   a < b    et c < d

Démontrer l’ inégalité : «  a – b < d –c  »

 

 

41.  

On donne quatre réels « a » , « b » , « c » et « d » tels que :   a < b    et c < d

Démontrer l’ inégalité :     «  a – d < b – c  »

 

 

42.  

On donne six  réels « a » , « b » , « c » et   « a’ » , « b ‘ » , « c’ » tels que :

 

Etablir les inégalités : «  a b’     b a’            et       

 

 

 

43.  

Rappel : « définition :  rationnel »

 

On donne quatre nombres pour former des rationnels « a » , « b » , « a’ »  et « b’ »  avec « a’  0 » ou   « b’  0 » et un nombre réel « A » non rationnel . Dans quel cas le nombre   est-il rationnel ?

 

 

 

44.  

Soit « a » et « b » deux rationnels positifs . Montrer que si  est rationnel , il en est de même de   et aussi de

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

1°)   Nommer les ensembles définis par les lettres :  N ; Z ; D ; Q  (accompagner la réponse par un exemple)

2°)  Que désigne  la lettre « R » :

 

3°)  Citez des nombres irrationnels.

 

EVALUATION:

 1°) Classer avec la relation   £   les trois nombres      ; et p

 

En déduire le classement par la même relation  de ; ; et p

(pour résoudre cette question déterminer des valeurs approchées décimales des deux fractions avec un nombre de chiffres décimaux suffisant.)

2°)  Les valeurs approchées par défaut d’un nombre sont successivement : 1 ; 1,1 ; 1,12 ; 1,12123 ; 1,121231234, etc . ;les chiffres décimaux successifs  constituant une suite de plus en plus longue des nombres entiers .Le nombre est-il rationnel ? est-il réel ?

3°)  Pourquoi la valeur de x tel que x2 = 5 , est-elle extérieure à l’ensemble Q . Montrer que dans l’intervalle  [2 ; 3 ]  cette valeur constitue une coupure pour les nombres de l’ensemble Q. En est-il de même pour x2 = 6,25 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE : corrigé :

1°)   Nommer les ensembles définis par les lettres :  N ; Z ; D ; Q  (accompagner la réponse par un exemple)

N désigne l’ensemble des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …..

  Z  désigne l’ensemble des entiers relatifs : ……. ; (- 4) ;( -3) ;( -2) ; (-1) ;( 0) ; (+1) ; (+2) ;( +3) ;…….

D  désigne l’ensemble des nombres décimaux , c’est à dire des nombres ayant un développement décimal limité. 

Exemples :  0,5  Î D ; (-43,371) Î D ;  ( + 23)  Î D ; (-23 ) Î D

  Q désigne l’ensemble des rationnels, c’est à dire des nombres de la forme :

2°)  Que désigne  la lettre « R » :

l’ensemble des nombres réels.

3°)  Citez des nombres irrationnels.

 Pi ; racine carré de 2 ; racine carrée de 3 ; racine carrée de 7 ;…

EVALUATION:

 1°) Classer avec la relation   £   les trois nombres    ; ; et p

 

En déduire le classement par la même relation  de ; ; et p

(pour résoudre cette question déterminer des valeurs approchées décimales des deux fractions avec un nombre de chiffres décimaux suffisant.)

2°)  Les valeurs approchées par défaut d’un nombre sont successivement : 1 ; 1,1 ; 1,12 ; 1,12123 ; 1,121231234, etc . ;les chiffres décimaux successifs  constituant une suite de plus en plus longue des nombres entiers .Le nombre est-il rationnel ? est-il réel ?

3°)  Pourquoi la valeur de x tel que x2 = 5 , est-elle extérieure à l’ensemble Q . Montrer que dans l’intervalle  [2 ; 3 ]  cette valeur constitue une coupure pour les nombres de l’ensemble Q. En est-il de même pour x2 = 6,25 ?

 

 

 

 

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