
Pré requis:
Mathématique : Notion et Notation d’un ensemble
Les statistiques . Calcul de la fréquence
ENVIRONNEMENT du dossier:
Index : warmaths		Objectif précédent :			Objectif suivant :			1°) Info liste des cours disponibles. . 2°) Les statistiques
DOSSIER : PROBABILITES de base. Vocabulaire – définitions . ( cas particulier : situation d’équiprobabilité) LANGAGE dit « ensembliste » et « probabiliste ». Probabilité : Notion de probabilité d’un événement. Echantillon et notion de fluctuation d’échantillonnage.
TEST	COURS		Devoir Contrôle	Devoir évaluation		Interdisciplinarité	Corrigé Contrôle		Corrigé évaluation
Vocabulaire : · « probabilité » : caractère probable , vraisemblable ; · « calculs des probabilités » : science visant à déterminer la vraisemblance d’un événement. Les probabilités sont une des branches des statistiques. Dans « probabilité » il y a le mot « probable » : · « Probable » : qui a une apparence de vérité ; signifie « peut être » ou « possible » ; « cela peut arriver ……… » ; « il y a des chances, ou , une chance que … de se produire.. »

Les probabilités sont souvent utilisées dans la vie courante comme étant l’étude des « chances » de gagner à un jeu et par delà « gain d’argent »..

Type de jeux : le « pile ou face » avec une pièce , le jeu de dés ( avec 1 ou plusieurs) ; Le jeu de tirage de boules ( colorées , ou numérotés ) . Le loto …… ; la loterie …… ; les courses (de chevaux , de chiens ,………) ; les pronostiques…...

Rappel :

en mathématique , pour noter un ensemble on écrit une égalité : à gauche du signe égal on nomme l’ensemble par une lettre majuscule , à droite du signe égal on écrit des accolades entre lesquelles on représente les éléments qui composent cet ensemble . :

Exemple :

Si l’on veut lister les 6 nombres d’un dé ; on nommera par A le dé et l’on écrira les 6 nombres dans des accolades. Soit ou ou ou ……l’ordre des nombres n’est pas obligatoire…. ( voir des exemples : @ les ensembles de nombres ..)

COURS

Vocabulaire : Définitions .

1. « Expérience aléatoire » : Une expérience dont les résultats dépendent du hasard est dit « expérience aléatoire » C’est une expérience dont il est possible d’en connaître l’ issue sans avoir la certitude qu’elle se réalisera. On appelle « issue » la conclusion d’une expérience .. ;Il peut y avoir plusieurs issues ,d’où plusieurs conclusions , ou « éventualités »	Exemple 1 : On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.	Exemple 2 On jette un dé.
2. « événement » l’ensemble des issues (éventualités) d’une expérience compose « l’événement ». (on parle de « faisabilité » , l’issue est une possibilité ) On compétera en disant que l’événement composé de toutes les issues ( notées : N ou « n » ) possibles est appelé « événement certain » Sa probabilité vaut la valeur « 1 »		Dans un dé : N ou « n » = 6
Par exemple : soit l’expérience aléatoire du jeté d’un dé à jouer.		Il y a 6 issues possibles
Il y a 6 issues possibles ; toutes les issues ( les 6 chiffres) possibles ont la même probabilité de sortir . On dit que ces issues sont équiprobables ( même probabilité de sortir) ; on peut dire aussi que la probabilité est équirépartie. Remarque : la situation d’ équiprobabilité est un cas important : ( voir plus loin )		Les 6 issues possibles sont : les chiffres ; ; ;
3. Lorsque l’on cherche à évaluer par calcul les chances de réalisation d’un événement ; on dit que l’on évalue sa probabilité. Cette probabilité est la somme des probabilités des issues qui la composent.
4. « Evénement élémentaire » : Un résultat possible est un événement élémentaire. Les résultats possibles sont des événements élémentaires	Dans un jeu de trente deux cartes : Chaque carte est un élément élémentaire .	; ; ;
Et l’événement élémentaire a pour probabilité	La probabilité de sortir (par exemple) le roi de cœur est
5. « Un événement impossible » est un ensemble ( d’événements élémentaires) vide
6. « L’ univers. » (Noté : ) · L’univers est l’ensemble des résultats possibles ou dit aussi : · L’univers est l’ensemble des éventualités.	L’univers est la liste de toutes les cartes qui composent le jeu de cartes.	L’univers est la liste de tous les chiffres que contient le dé .
Remarque : si l’ univers est une partie de l’univers on dit que l’univers est un événement certain. Explication : les nombres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 sont les nombres numérotant les 6 faces d’un dé Si je jette le dé , j’aurai un des 6 nombres , si je parie sur les 6 nombres , je suis sûr de gagner ; on dit que : l’événement est certain.,

(Voir : l’activité 1 .)

Activités 1 :
Dans un sachet on y met 3 haricots ( ensemble : H ) : un rouge ( R) ; un blanc ( B ) et un noir ( N) On plonge la main dans le sachet , on tire un haricot (au hasard)…et l’on note sa couleur.		Faire l’expérience avec plusieurs personnes , et noter les résultats..

Inventaire des Situations prédictives : (Noté : ) ; L’ensemble des résultats possibles

Evénement élémentaire :	Notation :
· Tirer un haricot rouge
· Tirer un haricot blanc
· Tirer un haricot noir
Mais on peut aussi :
· Tirer un haricot qui n’est pas rouge :
· Tirer un haricot qui n’est pas noir :
· Tirer un haricot qui n’est pas blanc :
Et :
· Tirer un haricot orange :
· Tirer un haricot qui n’est pas vert :

Bilan de cette activité :

L’ensemble des résultats ( éventualités) dit « univers » est
On dénombre huit événements	; ; ; ; ; ; ;
Les événements qui comportent un seul élément ( singleton) sont aussi appelés « événements élémentaires »	Se sont : ; ;

Situation d’équiprobabilité :

Rappel « n » ou « N » représente la somme des événements possibles ( probable).

La situation est dite « d’ équiprobabilité » lorsque chaque événement élémentaire a pour probabilité : ou

C’est le cas où l’on a un choix au hasard (tirer une carte ) ou lorsque l’on doit lancer un dé ( bien équilibré , sinon possibilité de fraude)

Dans un dé : pour sortir un chiffre ; N = 6

Si on désigne par la lettre « P » la probabilité , et par la lettre « A » un événement quelconque ; dans une situation d’équiprobabilité on aura :

Langage élémentaire « ensembliste » et « probabiliste » :

Commentaire : comme pour les définitions qu’il faut s’approprier , le langage probabiliste est à connaître …..

	Cas d’un jet d’un dé :
« L’ univers. » (Noté : )
L’événement qui est une partie de l’univers est noté A ; A Un événement peut posséder 1 seul ou plusieurs éléments élémentaires.	L’événement : on demande la probabilité d’obtenir un chiffre pair : On notera l’ événement :
L’événement impossible est appelé : « ensemble vide » ; utilisera la lettre « phi » : On dit aussi que : est une partie de , c’est un événement , appelé « événement impossible »	Ainsi : obtenir le chiffre « 7 » sur un dé à 6 faces numéroté de 1 à 6 est impossible. On notera :
L’événement contraire de A est noté ( A barre) : ; contient tous les événements élémentaires qui ne sont pas dans A .	Ainsi si l’ événement : (chiffres pairs) ; alors on notera l’événement contraire étant :

Cas où , il peut y avoir 2 événements possibles : A et B Rappel : Un événement peut posséder 1 seul ou plusieurs éléments élémentaires.
Pour noter qu’il y a réunion entre deux événements , on sépare les deux lettres majuscules par un signe (u) : ; ( lire : ou ) La réunion de l’événements A avec l’événement B sera noté A B : et sera appelé : « événement A ou B. »	Notation : A B que l’on traduit : événement « A ou B »
· La réunion de ces deux événement est un événement qui contient tous les événements élémentaires de A ou de B .
Pour noter l’intersection de deux événements , on sépare les deux lettres majuscules par le signe : . ( lire : et)
· L’intersection de l’ événement A avec l’événement B , est notée : , est l’événement qui contient tous les événements élémentaires commun à A et à B et sera appelé : « événement A et B. »	Notation : , que l’on traduit : événement « A et B »
Lorsque les éléments sont incompatibles on note :

Activités 2 :
On jette un dé équilibré dont les facs sont numérotées de 1 à 6 ; on ne s’intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure.
Questions.	Réponses :
1°) Quel est l’ensemble des éventualités (univers)
	Commentaire : il y a autant d’événement que de parties de
2°) Combien y a – t- il d’événements ?
Il y a autant d’événements que de partie de ; sachant que est un ensemble ayant 6 éléments ,	Le nombre d’éléments est de 2 ⁶ = 64

Probabilités conditionnelles . Indépendance.

Définition 1

Soit 2 événement appelé A et B :

La probabilité que l’événement A se réalise sachant que l’événement B est réalisé est notée : P_B ( A) ou P ( A I B) et est définie par :

Remarque : par transformation on a alors la formule : P ( A B) = P ( B) X P_B ( A)

Définition 2

On dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque P_B ( A) = P ( A) ou P_A (B) = P (B)

Remarque : on obtient la formule : P ( A B) = P ( A) x P (B)

COMBINAISONS.

TRAVAUX AUTO – FORMATIFS

CONTROLE:

Série 1 : Questions sur le Vocabulaire : Définitions .

Qu’est ce qu’une « Expérience aléatoire » ?

Qu’appelle – ton « issue » ? On appelle « issue » la conclusion d’une expérience .. ;Il peut y avoir plusieurs issues ,d’où plusieurs conclusion…

Que compose l’ « événement » ?

l’ensemble des issues d’une expérience compose « l’événement ».

Par quelle lettre désigne-t-on l’événement ? l’événement composé de toutes les issues ( notées : N ou « n » ) possibles est appelé « événement certain »

Quelle est la valeur numérique de toutes les issues d’un événement ? Sa probabilité vaut la valeur « 1 »

Quand dit –on qu’iI y a situation d’ équiprobabilité

Lorsqu’il y a 6 issues possibles ; et que toutes les issues ont la même probabilité de sortir on dit que ces issues sont équiprobables ( même probabilité de sortir) ; on peut dire aussi que la probabilité est équirépartie. on peut dire aussi que la probabilité est équirépartie.

Compléter la phrase suivante : Lorsque l’on cherche à évaluer par calcul les chances de réalisation d’un événement ; on dit que l’on évalue ……………………………..sa probabilité.

Cette probabilité est la somme des probabilités des issues qui la composent.

Qu’est ce qu’un « Evénement élémentaire » ? :

un événement élémentaire est un résultat possible .

Compléter la phrase suivante

Les résultats possibles sont des événements élémentaires

Que dit-on d’un « Un événement impossible » : un événement impossible est dit « ensemble ( d’événements élémentaires) vide ».

Compléter la phrase : L’ univers est un événement certain.

Qu’appelle-t-on « univers. » : on appelle « ’univers » l’ensemble des résultats possibles .

par quelle lettre grecque le note t-on ? l’univers est Noté par la lettre : )

EVAL UATION:

Série 1 :

On jette un dé dit équilibré , possédant 6 faces .

Dans un dé quelle est la valeur de N ou « n » = 6

Combien y a – t- il d’issues possibles ? Il y a 6 issues possibles

Quelles est le nom donné aux 6 issues possibles sont : les chiffres

Nommer les 6 issues possibles : ; ; ;

Ecrire l’égalité mathématique de cette situation d’équiprobabilité :

Représenter symboliquement l’univers est la liste de tous les chiffres que contient le dé : .