Les polyèdres

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Objectif précédent : la pyramide  

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Liste des cours en géométrie dans l’espace.

DOSSIER : LES  PYRAMIDES.

1°)  Les pyramides régulières. ( définition (1) et (2) ; rappels sur les calculs : d’aire et de volume )

2°)  Les modèles de  pyramides régulières et  irrégulières..

3°) le développement d’une pyramide.

TEST

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

COURS

Définition 1 :  Une pyramide est un solide limité qui a pour base un polygone quelconque et pour faces latérales des triangles ayant un sommet commun.

1°)    Les   pyramides régulières :

Une pyramide est régulière lorsque  sa base est un polygone régulier et que sa hauteur « tombe » au centre du polygone .

Les arêtes latérales obliques s’écartent également du pied de la hauteur perpendiculaire ,elles sont égales en longueurs ; les facettes latérales  sont donc des triangles isocèles.

Exemple :la grande Pyramide d’ Egypte est une pyramide régulière à base carrée ; les facettes latérales sont des triangles isocèles presque équilatéraux.

CALCULS :

I )  SURFACE LATERALE :

La surface latérale d’une pyramide régulière est égale  à la moitié du produit  du périmètre de la base par l’apothème de la pyramide .

Ce qui se traduit :             Surf. Latérale =

Ou                             A =

L’apothème « a » est une droite issue du sommet de la pyramide  et sommet du triangle isocèle  et joignant le côté opposé  du triangle (face latérale) en son milieu .

Il y a autant d’apothème que de faces latérales.

Cette apothème est a la fois médiane médiatrice bissectrice et hauteur.

Application :

Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; son apothème égale 2,50 m. Trouver :

1°) le périmètre de base .

2° ) sa surface latérale.

Résolution :

1°) le périmètre de base .= 0,80 m  4 = 3,20 m

2° ) sa surface latérale.=  = 4 m²  

COMPLEMENT de CALCULS :

II ) SURFACE TOTALE :

la surface totale est la somme de la surface latérale et de la surface de base .

Application :

Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; son apothème égale 2,50 m. Trouver : sa surface totale .

Résolution :

 Surface de base :  A = 0,80m0,80m =  0,64 m²

Surface latérale.=  = 4 m²

Surface totale . 4 m² + 0,80m0,80m =4 m² +  0,64 m²  = 4,64 m²

III ) VOLUME

                      Un prisme triangulaire peut – être décomposé en 3 pyramides équivalentes .

                       Le volume d’une pyramide est ainsi égal au tiers du produit de la surface de base par sa hauteur.

Définition 2 :  Une pyramide est un solide limité par un angle polyédral et une section plane s’appuyant sur toutes les arêtes.

Volume de la pyramide à base carrée :

V =              ;       « h » est la hauteur et « A » l’aire de la base ; ou :      V =

« B » étant l’aire de base

Volume de la pyramide à base polygonale :

V =     ;        « h » est la hauteur et « A » l’aire de la base

Application : Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; sa hauteur égale 2,40 m. Trouver son volume  .

Résolution :

Surface de base :  A = 0,80m0,80m =  0,64 m²

Volume :=  =0,512 m³

2°)   Les   modèles de pyramides régulières et irrégulières.

voir cas par cas :  SOS INFO

Régulière ; quadrangulaire

Irrégulière ; triangulaire

Irrégulière, quadrangulaire

Régulière ; pentagonale

Régulière ; hexagonale

Irrégulière ; triangulaire

3°)  Le développement d’une pyramide :

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

1°) Donner la formule permettant de calculer la surface latérale d’une pyramide :

2°) Donner la formule permettant de calculer la surface de base d’une pyramide :

3°) Donner la formule permettant de calculer la surface totale d’une pyramide

4°) Donner la formule permettant de calculer le volume d’une pyramide.

EVALUATION

Exercices :

A ) Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; son apothème égale 2,50 m. Trouver :

1°) le périmètre de base .

2° ) sa surface latérale.

B ) Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; son apothème égale 2,50 m. Trouver : sa surface totale .

C ) Une pyramide à pour base un carré de  0,80 m de côté ; sa hauteur égale 2,40 m. Trouver son volume  .

D)

PROBLEMES :

1°) Un toit en forme de pyramide a pour base un carré de 22,40 m de pourtour . La hauteur des triangles latéraux égale 8,50 m . Que coûtera la couverture de ce toit , à 1250 €.

2° ) Une pyramide a pour base un hexagone de 0,70 m de côté . La hauteur des triangles  latéraux égale 1,80 m . Calculer la surface latérale de la pyramide .

3° )La grande pyramide d’Egypte a 142 m de haut . Sa base est un carré de 233m de côté. Quel est son volume ?

4 ) )Une petite pyramide de bronze est plongée dans un vase plein d’eau. Quel est le poids qu’elle fait sortir , sachant quelle mesure 8 cm de haut et que sa base est un carré de 0,07 m de côté ? 

5°) Une pierre a une forme pyramidale de O,45 m de hauteur et dont la base est un hexagone de 0 ,10 m de côté et O,O86 m d’apothème ;Quel est le poids de cette pyramide , la densité de la pierre étant de 2,5 ?

6°) Une pyramide a 12,5 dm³ de volume et 625 cm² de base . Quelle est sa hauteur ?

7°) Une pyramide a 171,5 cm³ de volume et 0,42 m de hauteur ; sa base est un carré . Quel en est le périmètre ? 

8° )  niveau +++++ : 

             Parmi ces pyramides : identifier les « régulières »  et les « irrégulière » ; donner leur un nom particulier ; établir la formule permettant de calculer le volume de la pyramide .

INTERDISCIPLINARITE