Les fractals

Pré requis:

Le triangle équilatéral
les polygones hexagonaux

ENVIRONNEMENT du dossier:

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les polygones

DOSSIER : LES FRACTALS (notions)

TEST

COURS

Devoir Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

les polyèdres

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation

COURS

Cristal de neige . Roger-Viollet

Le flocon de Helge von Koch est un des premiers fractals réalisée en 1904

$fractal2$

Pour le construire , on part d’un triangle équilatéral forme de trois segment de longueur 1 et on remplace chacun de ces trois segments ______ par une ligne brisée __/\___ Puis on applique la même transformation à chacun de ces douze segments de longueur 1/3 et ainsi de suite …..

On obtient successivement :

Etape 1	$fractaléquila$
Etape 2	$fractal7$
Etape 3	$fractal5$
Etape 4	$fractal4$

Ce procédé est très proche du mécanisme de substitution décrit dans un des chapitres consacré à la combinatoire , lorsque l’on construit un mot infini en remplaçant la lettre « a » par le mot « b » et la lettre « b » par le mot « b a » . Ici l’alphabet sur lequel agit la substitution peut être constitué d’un certains nombre de figures planes .

L’itération de cette substitution conduit à transformer de proche en proche une figure en une autre . Si l’on admet qu’il est possible d’itérer , ce processus une infinité de fois , on obtient un objet géométrique , appelé « fractal » , qui possède des propriétés inhabituelles .

Ces objets sont auto-similaires , c’est à dire qu’on les regarde à une certaine échelle on retrouve les parties que l’on avait déjà observées à une échelle différente . Les illustrations suivantes donnent une idée de ce phénomène.

Système dynamique ;Bassin d’attraction des points A ; B ; C . J-F Colonna

$fractal9$

Œuvre : Châteaux et soleil Klee ;1928

$fracta8$

Les fractals sont apparus en mathématiques dés le milieu du XIX ^e siècle , à propos de certaines questions liées à l’analyse et à la topologie , mais leur étude systématique ne s’est développer que très récemment , grâce à la diffusion de ces concepts entreprise par Benoît Mandelbrot . Elle a été encouragée par les nombreuses applications que pouvait avoir une réelle maîtrise de ces objets : problèmes de corrosion ; électrochimie , physique du solide , systèmes dynamiques , biologie , informatique graphique , ETC.