Pré requis:

Le triangle équilatéral

 

les  polygones  hexagonaux   

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 les polygones

 

 

 

 

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DOSSIER : LES   FRACTALS (notions)

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverteles polyèdres

 

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COURS

 

Cristal de neige . Roger-Viollet

 

Le flocon de Helge von Koch est un des premiers fractals réalisée en 1904

fractal2

 

Pour le construire , on part d’un triangle équilatéral forme de trois segment de longueur 1 et on remplace chacun de  ces trois segments ______    par  une ligne brisée    __/\___    Puis on applique la même transformation à chacun de ces douze segments de longueur 1/3 et ainsi de suite …..

 

On obtient successivement :

Etape 1

fractaléquila

Etape 2

fractal7

Etape 3

fractal5

Etape 4

fractal4

 

Ce procédé est très proche du mécanisme de substitution décrit dans un des chapitres consacré à la combinatoire  , lorsque l’on construit un mot infini en remplaçant la lettre « a » par le mot « b » et la lettre « b » par le mot « b a » . Ici l’alphabet sur lequel agit la substitution peut être constitué d’un certains nombre de figures planes .

L’itération de cette substitution conduit à transformer de proche en proche une figure en une autre . Si l’on admet qu’il est possible d’itérer , ce processus une infinité de fois , on obtient un objet géométrique , appelé « fractal » , qui possède des propriétés inhabituelles .

Ces objets sont auto-similaires , c’est à dire qu’on les regarde à une certaine échelle on retrouve les parties que l’on avait déjà observées à une échelle différente . Les illustrations suivantes donnent une idée de ce phénomène.

 

Système dynamique ;Bassin d’attraction des points A ; B ; C   . J-F Colonna

fractal9

 

Œuvre : Châteaux et soleil Klee ;1928

fracta8

 

 

 

 

Les fractals sont apparus en mathématiques dés le milieu du XIX e  siècle , à propos de certaines questions liées à l’analyse et à la topologie , mais leur étude systématique ne s’est développer que très récemment , grâce à la diffusion de ces concepts  entreprise par Benoît Mandelbrot . Elle a été encouragée par les nombreuses  applications que pouvait avoir une réelle maîtrise de ces objets : problèmes de corrosion ; électrochimie , physique du solide , systèmes dynamiques , biologie , informatique graphique , ETC.