Doc. CA; classe CFA . Objectifs  de ce cours : savoir.

.

Pré requis:

 

Lectures importantes :

 

Les racines carrées d'une somme et d'une différence.

 

 

 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  warmaths

Objectif précédent :

Pythagore : théorème et réciproque.

 

Objectif suivant :

Voir leçon niveau V

 

 

1°) Tableau :

Liste des cours

 

 

 

 

DOSSIER :        Propriété de PYTHAGORE et sa réciproque.

CALCULS TYPES ( les 3 cas ):

 

Test

 Boule verte

COURS  Boule verte

Contrôle Boule verte

Evaluation :

Autres ++++

INTERDISCIPLINARITÉ : voir cas par cas ! !

CORRIGE :

 


COURS

RAPPELS :

1°) Propriété de Pythagore .

 

 

 Dans un triangle rectangle , la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est  égale au carré de la longueur de l'hypoténuse .

 

Si le triangle CBA est rectangle en A  alors …..

tr2

…..alors:

AB²  + AC ²  = BC ²

 

2°) Réciproque  de la propriété de   Pythagore .

 

 

 

Si dans un triangle  , le carré   de la longueur  d'un côté   est égal à la somme  des carrés des autres longueurs des deux autres côtés  , alors le triangle est rectangle .

 

Si AB²  + AC ²  = BC ²

…..alors:

 

 

…..alors: le triangle CBA est rectangle en A  alors …..

tr2

 


 

Calculs : recherche  d'une longueur  d'un côté connaissant les longueurs  des autres côtés .

:Cd :Info plus +++

Types de calculs rencontrés  : ( ce qui suit aborde les  3  types de problème)

 

 

A ) recherche de la longueur de l'hypoténuse  AB :

 

tr2

 

[CB] = ?

[AB]= 3

[CA]= 4

 

Calcul de la longueur  du [CB] :

On pose :

BC²  = AC²  + AB ²

On calcule :

AC²    ; avec AC = 4  et

AB ²   ; avec AB = 3

 AC² =   4 ²  =  16

 AB²  =    =  9

 

On effectue la somme :

BC²  = AC²  + AB ²

BC²  = 16     +    9

BC²  = 25

Calcul de BC :

On sait que   =  x

BC =    ;  ( BC² = 25 )

BC =

BC = 5

 

 

 

Exemple de présentation des calculs sur feuille de devoir :

 

 

Résumé : AC = 4  ; AB = 3 ; calculer  CB .

1°) BC²  = AC²  + AB ²

2°) BC²  = 16  +  9 ;  BC²  = 25

3°) BC =

4°) BC = 5

tr2


B ) recherche de la longueur du côté   CA  :

 

tr2

[CB] = 42

[AB]= 21

[CA]= ?

 

Calcul de la longueur  du [CA] :

On pose :

  BC²  = AC²  + AB ²

On calcule :

CB²    ; avec CB = 42

AB ²   ; avec AB = 21

 CB² =   42 ²  = 1764

 AB²  =  21²  =   441

 

On remplace les lettres par les valeurs connues :

BC²    = AC²  + AB ²

1 764  = AC²  + 441

On transforme l'égalité:

Se souvenir de la transformation

5     =  3 + 2  ;

5 =  ?  + 2 , pour " ? remplacer le point d'interrogation "on sait que la réponse est "3" .

pour trouver cette valeur "3" on doit faire la soustraction  " 5 - 2 "

on opère de la même façon  pour obtenir  AC² = …….

1 764  = AC²  + 441

1 764 - 441  = AC²

on peut " retourner" les deux membres.

Ce qui donne :

AC² = 1 764 - 441

AC² =  1323

 

Calcul de AC :

On sait que   =  x

 Recherche de AC :

 =   

avec la calculatrice on calcule :

= 36,3730669

 

     AC =  36 , 37

En résumé : BC = 42 ;  AB = 21 ;calculer  de  AC.

1°) BC²  = AC²  + AB ²

2°) 1 764  = AC²  + 441

3°) AC² = 1 764 - 441  ;  AC² =  1323

  AC =    ;   AC »  36, 37  ( à 0,01 près)

 

tr2


C ) recherche de la longueur du côté   AB  :

tr2

 

[CB] =  20

[AB] =  ?

[CA]=  16

 

               

)CALCUL de la longueur  du [AB] :

On pose :

BC²  = AC²  + AB ² ;

 20²  =  16²   + AB²

On calcule :

CB²    ; avec CB = 20

AC ²   ; avec AC =  16

 -  CB² =   20 ²  =  400

 -  AC²  =  16²  =   256

 

On remplace les lettres par les valeurs connues :

BC²    = AC²  + AB ²

400   = 256  + AB ²

 

On transforme l'égalité:

Se souvenir de la transformation

6     =  3 + 2  ;

5 =  ?  + 2 , pour " ? remplacer le point d'interrogation "on sait que la réponse est "3" .

pour trouver cette valeur "3" on doit faire la soustraction  " 5 - 2 "

on opère de la même façon  pour obtenir  AB² = 400 - 256 .

400   = 256  + AB ²

400 - 256   = AB²

on peut " retourner" les deux membres.

Ce qui donne :

AB² = 400 - 256       ( 400 - 256 = 144)

AB² =  144

Calcul de AB :

On sait que   =  x

 Recherche de AB:

 =    ;  AB  =

avec la calculatrice on calcule :

   = 12

     AB =  12

Résumé :   BC = 20 ; AC =  16 ; calculer AB.

Calcul de AB

1°)   BC²  = AC²  + AB ² ;  20²  =  16²   + AB²

2°)   AB² = 400 - 256       ;   AB² =  144

3°)   AB  =

4°)  AB = 12

tr2

 


 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

 

CONTROLE:

Enoncé le théorème de Pythagore.

 

EVALUATION:   

Faire les exercices suivants : (voir le cours pour le corrigé)

1°)

On donne : AC = 4  ; AB = 3 ;

Calculer  CB

 

tr2

2°)

On donne : BC = 20 ; AC =  16 ;

Calculer AB.

 

tr2

3°)

On donne : BC = 42 ;  AB = 21 ;

Calculer  de  AC.

 

 

tr2

 

 

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