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Les formules

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Les polygones.	Les triangles.	Les prismes.	Info +
Les cercles.	Les quadrilatères.	Les cylindres.
	Les polygones.	Les cônes.
	Disques et secteurs.	Les sphères.
	Aires latérales de solides.	Les pyramides.

Les Périmètres

Définitions:

Un périmètre mesure le contour d'une figure.

L'unité de mesure est le mètre (m).

Les polygones:

Les triangles, les rectangles, les parallélogrammes sont des polygones.

Le périmètre d'un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.

Remarques:

Pour un triangle équilatéral il est plus simple de calculer: P=3.c où c est la longueur d'un côté.

Pour un parallélogramme (ainsi que le cas particulier du rectangle) vous utiliserez la formule: P=(L+l).2 où L est la longueur, l est la largeur. Notez que L+l est appelé demi-périmètre.

Pour un losange (donc pour un carré aussi) la formule est: P=4.c où c est la longueur d'un côté.

Les cercles:

La formule est: P=2.pi.R où pi vaut environ 3,14 et R est la mesure d'un rayon.

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Les Aires

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Définitions:

Une aire mesure une surface.

L'unité de mesure des aires est le mètre carré (m²).

Les triangles:

Quelconques: Dans la formule le côté [BC] est considéré comme la base. La droite perpendiculaire à cette base et passant par le sommet opposé A est la hauteur relative à cette base. Il y a trois côtés dans un triangle et donc trois bases possibles avec leur hauteur relative. D'où trois formules.
Triangle rectangle: Nous pouvons bien sûr utiliser l'une des formules du triangle quelconque, à condition d'avoir les éléments nécessaires (longueurs de côté, de hauteur). Il est souvent plus facile d'utiliser le fait que le triangle rectangle est la moitié d'un rectangle. La formule utilise les longueurs des côtés de l'angle droit..

Remarque:

Les aires des triangles isocèles et équilatéraux se calculent comme pour les triangles quelconques. Certains triangles isocèles sont aussi rectangles...

Les quadrilatères:

LES PARALLELOGRAMMES

Il y a plusieurs façons de calculer l'aire d'un parallélogramme. Tout dépend des dimensions connues. Il est nécessaire de connaître la longueur d'un côté (pris comme base) et la hauteur qui lui est relative. Par exemple: si AB est connu il faut connaître la hauteur qui passe par A (comme [AH]) ou par B, par C ou par D ou encore par n'importe quel point du côté (DC) ou (AB). Toutes ces hauteurs sont égales. La formule générale est: Base*Hauteur
Le calcul de l'aire d'un parallélogramme est déduit de celui de l'aire d'un rectangle. Sur la figure ci-contre: les triangles AHD et BKC sont superposables de même aire. Calculer l'aire de ABCD revient à calculer l'aire du rectangle ABKH: AB*AH.
Cas particuliers: les rectangles.
Cas particulier: le losange. Si nous connaissons la longueur de ses diagonales, nous pouvons découper un losange en quatre triangles rectangles superposables (dans un losange, les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu). Sur la figure ci-contre: l'aire du losange ABCD est égale à quatre fois l'aire de AOB. Soit: 4*(OA*OB)/2 ou 2(OA*OB) ou encore: AC*OB (car 2OA=AC). Bien entendu, rien ne vous empêche d'utiliser la formule générale des parallélogrammes si vous en connaissez les éléments (une base et sa hauteur relative)

LE TRAPEZE.

Quelque soit le type de trapèze (quelconque, isocèle ou rectangle) la formule à utiliser est toujours la même. [AB] et [DC] sont appelées petite base (b) et grande base (B). [AH] est une hauteur (h). La formule est: (B+b)*h/2 La distance entre les deux bases (hauteur du trapèze) n'est pas forcément toujours donnée par la mesure du seul [AH] comme pour toute distance entre deux droites parallèles.

Dans ce cas il est nécessaire de découper la surface en surfaces de base. Sur l'exemple ci-contre deux droites parallèles à deux côtés du quadrilatère (la première à être tracée est celle qui passe par A) permettent de partager le quadrilatère en un rectangle, un triangle rectangle et un triangle quelconque. Une autre façon serait de tracer une droite parallèle à (AD) et passant par B. Pour les calculs il est évidemment nécessaire de connaître certains éléments généralement donnés par le contexte du problème.

Les polygones:

Les polygones sont des figures planes ayant plus de deux côtés (les triangles et les quadrilatères sont des polygones). Nous donnons ici un exemple de polygone à 5 côtés. Pour en calculer l'aire il est nécessaire de partager sa surface en polygones dont nous connaissons une formule (tels que: triangles, quadrilatères).

Pour enduire d'un produit bleu le mur de cette mansarde il est d'abord nécessaire d'en connaître l'aire afin de calculer la quantité de produit à acheter. Nous avons les dimensions en mètres et nous savons que les angles en A et B sont droits.

Nous pouvons décomposer la surface de différentes manières (tracés en gris):

1° En un rectangle ABFE, un triangle rectangle EID et un trapèze rectangle CDIF.

2° En un rectangle EIHA, un trapèze rectangle BCDH et un triangle rectangle EID.

3° En deux rectangles EIHA et IFBH, un triangle rectangle EID et un trapèze rectangle CDIF.

4° En un trapèze rectangle AHDE, un rectangle BFIH et un trapèze rectangle CDIF.

5° En deux trapèzes rectangles AHDE et BCDH.

Avec les données du problème nous pouvons utiliser n'importe quelle manière, la plus simple étant préférable! Les dimensions manquantes sont calculées par soustraction. Par exemple pour calculer l'aire du triangle rectangle EID: EI=3,1m et ID=HD-HI soit ID=4,3-1,7=2,6m. Et aire EID=(IE*ID):2. Nous trouvons 4,03m².

En utilisant la cinquième manière nous trouvons:

Aire AHDE=(AE+HD)*AH/2 soit 9,3 m²

Aire BCDH=(CB+DH)*HB/2 soit 9,125 m²

Aire du mur à enduire=9,3+9,125=18,425 m²

Un conseil: si vous n'êtes pas à l'aise avec ces calculs d'aires, entraînez vous en effectuant les calculs avec les autres manières. Vous devez trouver exactement la même aire bien sûr.

Disques et secteurs:

L'aire d'un disque est donnée par la formule pi*R² où pi est souvent pris égal à 3,14 (pour plus de précision voir la touche correspondante de votre calculatrice) et R est la mesure du rayon du disque.

Un secteur de disque est déterminé par un angle au centre (le sommet de l'angle est au centre du disque). Un demi-disque, un quart de disque sont des cas particuliers de secteurs de disque. Leur aire est respectivement pi*R² /2 et pi*R² /4. Voici un exemple de calcul de l'aire d'un secteur de disque dont l'angle au centre mesure 110° et le rayon 3cm:

L'aire du secteur est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre. Pour le disque complet l'aire est pi*R^2 et correspond à un angle au centre de 360°. Si s est l'aire du secteur correspondant à l'angle au centre de mesure 110° alors les produits en croix permettent d'écrire: pi*R^2*110=360*s et s= (pi*R^2*110)/360 Si le rayon R mesure 3cm alors s=8,64cm^2 environ (à 1/100 de cm^2 près ou 1mm^2 près)

Si au lieu de 110° nous avons un angle de mesure quelconque a alors la formule de l'aire du secteur circulaire d'angle au centre a et de rayon R est:(pi*R²*a)/360.

Aires latérales et volumes de solides:

Définition:

L'aire latérale d'un solide est la somme des aires des faces qui ne sont pas les bases.

L'aire totale des faces d'un solide est la somme de l'aire latérale et des aires des bases. Si il n'y a pas de base (cas de la sphère) l'aire latérale est l'aire totale.

L'unité de mesure d'un volume est le mètre cube (m³)

Les prismes droits:

 Définitions: Un prisme droit est un solide qui possède deux bases parallèles (contenues dans deux plans parallèles sur la figure ci-dessous) et dont les faces latérales sont des rectangles.

Le prisme est droit lorsque ses arêtes latérales (en vert sur le dessin) sont perpendiculaires aux deux bases.

La hauteur d'un prisme est la distance entre les deux plans de base. Pour un prisme droit la hauteur est égale à la longueur d'une arête latérale.

Exemples:

Fig 1: le parallélépipède rectangle (ou pavé droit) Fig 2: le cube

Fig 3: prisme droit à base triangulaire. Fig 4: prisme droit à base quelconque.

Calcul de l'aire latérale:

Il suffit d'ajouter toutes les aires des faces latérales. Ces aires se calculent à l'aide de la formule de l'aire du rectangle.

Pour le cube il s'agit d'aires de carrés.

Pour le pavé droit, les faces latérales sont de même aire deux à deux.

Calcul du volume

Quelque soit le prisme son volume se calcule avec la formule: V=B.h où « B » est l'aire de la base (qui est calculée à l'aire des formules sur les polygones comme le triangle, le rectangle,..), « h » est la hauteur du prisme.

Pour le cube, la formule devient: V=c³ où c est la longueur d'une arête.

Pour le pavé droit, la formule s'écrit: V=L.l.h où L est la longueur, l est la largeur et h est la hauteur du pavé droit.

Le cylindre droit:

Les bases sont des disques de même rayon R. La face latérale se "déroule" en formant un rectangle dont la largeur est la hauteur h du cylindre et la longueur le périmètre de l'un des disques 2.pi.R. L'aire de cette face latérale est donc: A=2pi .R.h d'après la formule utilisée pour l'aire d'un rectangle. Le volume se calcule avec la formule: V=pi.R^2.h Remarque: pi.R^2 est l'aire de la base, donc la formule du volume d'un cylindre peut s'écrire comme la formule du volume d'un prisme: V=B.h

D'autres solides:

Les pyramides: les faces latérales sont des triangles. L'aire latérale se calcule en ajoutant les aires de ces triangles. Le volume d'une pyramide est calculé avec: V= .B.h où B est l'aire de la base (triangle, rectangle,..) et h la hauteur de la pyramide.	Les sphères: l'aire de la sphère est donnée par la formule: 4*pi*R^2 où R est le rayon de la sphère. Pour le volume d'une boule, utilisez: V= .pi. R^3	Les cônes: l'aire latérale d'un cône est donnée par la formule: pi*R*h ou R est le rayon du disque de base et h la longueur d'une génératrice. La formule, pour le volume d'un cône est la même que la formule pour le volume d'une pyramide, bien que le calcul de l'aire de la base soit totalement différent: V= .B.h où B est l'aire de la base (toujours un disque) et h la hauteur du cône.