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Tableau |
RESUME:
FONCTION LINEAIRE : PRESENTATION
PREREQUIS Fonction. linéaire approche « théorique »
INFORMATIONS :
Ce dossier traite des
généralités sur la fonction linéaire :
Une
fonction linéaire peut s’identifier à partir de quatre modes de
représentation :
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I ) Equation |
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II ) Graphe |
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III
) Tableau de variation (de proportionnalité) |
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IV )
Représentation graphique. |
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I)
L’EQUATION est
de la forme y = ax
( « a »
est un nombre )
exemple : y = 
x
Notation
mathématique de la fonction linéaire :
f : x
ax
exemple : f : x
x
traduction
en langage littérale : « fonction » où « x » a pour image « »
fois « x ».
(ce
souvenir que « x » est un élément de l’ensemble de départ ;que 2/3 est la
relation qui permet de construire l’ensemble d’arrivée))
Ce qu’est « x » :
« »
est un nombre donné, (bien entendu
différent de zéro ; dans ce cas la fonction linéaire n’existerait pas pour
0 multiplié par « x » égal 0 ) ;
«»
est appelé « coefficient directeur » dans la représentation graphique .
« x » est la variable de la fonction.
On
dira que :
La fonction linéaire de coefficient « »
fait correspondre à chaque valeur de la variable « x » le nombre
« x ».
L’équation
représentant de la fonction linéaire est
une équation du premier degré à deux inconnues de la forme y = ax
les
deux inconnues étant « y » et « x » ;pour
« résoudre » il faudra donner une valeur à « x » pour trouver
,par calcul, la valeur de « y » ; ou donner une valeur à
« y » pour trouver par calcul une valeur à « x ».
Exemples de calculs possibles :
soit y = x
a) soit
« x = 9 » :
(on peut calculer « y »)
si on donne à « x » la valeur « 9 » ,
alors y = .9 ; y =
18/3 ; y vaut 6
b) soit
« y = 12 » : (on peut
calculer « x »)
si on donne à y = 12 ,alors 12 = x ; x =
12 : ;
donc x =18
On peut
donner l’équation d’une fonction linéaire à partir :
d’un
graphe
d’un
tableau de proportionnalité
d’une
représentation graphique
II ) Graphe
de la fonction linéaire :
Rappels : un graphe est de la
forme :
G = {( x1 ; f(x1)) ;
(x2 ; f(x2) ) ; ......... }
puisque
« ax »
= f(x) = y ; le graphe c’est aussi :
G = {( x1 ; y1) ; (x2 ;
y2 ) ; ......... }
Le graphe de la fonction linéaire est de la forme :
G = {( x1 ; ax1) ; (x2 ;ax2
) ; ......... }
le
graphe peut être obtenu à partir :
d’une
équation
d’un
tableau de variation appelé tableau de proportionnalité.
D’une représentation graphique .(droite qui passe par l’origine)
III)
TABLEAU de variation appelé tableau de proportionnalité
(regroupant les couples ( x ; ax) )
Le rapport
de « y » sur « x »
est , pour la fonction linéaire, égal au
rapport « ax » sur
« x » ;
Dans la fonction linéaire ce nombre est
constant il est égal à «a»
Ce nombre «a» est appelé « coefficient de
proportionnalité » ;
Le tableau s’appellera « tableau de
proportionnalité ».
Présentation du tableau de proportionnalité :
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relation |
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A |
B |
C |
O
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D |
E |
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ax
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x |
xA |
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0 |
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y |
yA=axA |
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0 |
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On donne à « x » des valeurs ( choisies judicieusement)
généralement [-5 ;+5 ]
(pour cette écriture voir les « intervalles » ;Obj ;INTERVALLEdex)
Les
coordonnées du point A peuvent se noter verticalement :
A xA au lieu de A (xA ,yA)
yA
Le
coefficient directeur « a»
est un nombre relatif .
« a»
peut s’appeler :
n
Coefficient de proportionnalité (dans le tableau)
n
Coefficient directeur de la droite de
la fonction linéaire.
n
Coefficient directeur de la droit
d’équation y = ax ;
dans la représentation graphique
Dans
un repère cartésien orthogonal ; dans la représentation graphique
de l’équation y = ax ; «a» est appelé « pente de la droite », la
« pente » étant appelée aussi
« tangente » ;
la pente est obtenu par le rapport
de « y » sur « x ».
Voir les relations trigonométriques dans un triangle rectangle
*On peut construire un tableau de
proportionnalité à partir :
d ’
un graphe.
D’une équation
D’une représentation graphique.
IV
)
Représentation graphique de l’équation y = ax :
la
représentation graphique de la fonction linéaire est une droite (noté xax) , où l’ensemble des
points A, B ,C ,D, ........ ont pour coordonnés les couples de nombres
(x ; ax
)
Caractéristiques de cette représentation graphique :
n
c’est une droite (D)
n
Point remarquable : cette droite passe par l’origine
« O » d ’ abscisse (0) et d’ordonnée (0) , noté (0 ;0)
n
elle possède un point
caractéristique ; à d’abscisse
valeur « 1 » correspond la
valeur de « a » ;
noté P :(1 ;
a)
n
« a» s’appelle coefficient directeur de la droite , c’est
un nombre relatif :, il peut être « positif » ,dans la représentation graphique la droite monte
de la gauche vers la droite ,on dira que la fonction est
« croissante », il peut - être « négatif » ,la droite
descend de la gauche vers la droite , on dira que la fonction est
« décroissante »
y
2
|
a >0 ; la droite est
« croissante » |
1
+
0
x
1 2 3
|
dans ce cas ,a<0
,la droite est « décroissante » |
« a »
est aussi appelé « pente » ou « tangente »
de la droite. (voir relations
trigonométriques dans le triangle rectangle )
A
yA
0
·
xA
A’
la pente est égale au rapport de la longueur « xA » sur la longueur « yA »
;
on dit aussi égale au rapport de la longueur du segment AA’ sur la longueur du segment OA’ ;
on dit
aussi au rapport du coté
opposé a l’angle
(AA’ ) sur le coté adjacent
(OA’)
on dit aussi égale à l’abscisse du point A sur l’ordonnée du point A
Application :voir classeur (à scanner )
CONTROLE :
Donner la notation mathématique indiquant que
l’on a une « fonction
linéaire ».
Donner la forme mathématique de « l’égalité » représentant la
fonction linéaire.
A quelle type
d’équation appartient la fonction linéaire ?
Qu’appelle-t-on variable ?
par
quelle lettre la désigne-t-on ?
Soit une écriture mathématique « ax » :
à quelle opération doit -t on penser ?
comment nomme-t-on les lettres « a » et
« x » séparé par le signe « multiplié »?
Soit la notation « ax »
dans l’équation du premier degré à deux inconnues :
que
désigne « a ». ?
Que désigne « x » ?
Donner la forme du couple qui forme
le graphe de la fonction linéaire.
Donner la forme du graphe représentant la
fonction linéaire.
Comment appelle - t-
on le tableau de variation représentant
la fonction linéaire ?
Donner une représentation du tableau de variation représentant la fonction
linéaire (préciser le rôle des principaux points.
« a » de la fonction linéaire possède plusieurs appellations ; combien ;
nommer les ?
Dans quel cas dit -
on que fonction est « croissante » ?
Dans quel cas dit -
on que fonction est « décroissante » ?
Représenter graphiquement la fonction linéaire ( une
croissante et une décroissante ) dans un repère orthonormé.
Préciser les rôles des points particuliers.
Récapitulatif :
Nommer tous les modes de représentation de la
fonction linéaire ,préciser pour chaque cas ce qui en
fait la particularité.
EVALUATION :
Voir l’objectif : FonctLinéMathApplic
Dire si les droites ; sont des représentantes de la fonction
linéaire