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Les logarithmes : notions

 

 

 

 

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Objectif précédent   Sphère metallique

Résoudre une équation du second degré. De la forme : ax² + bx + c

Objectifs suivants: Sphère metallique

Les annuités

Tableau        Sphère metallique :

TOUT sur les log.

 

 

 

DOSSIER :  « Résoudre » LES EQUATIONS LOGARITHMIQUES.

 

 

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COURS

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Interdisciplinarité :

Les intérêts composés.

 

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INFORMATIONS

 

Ce cours  traite la résolution de quelques types d’équations . Les  résolutions  imposent aux solutions des restrictions du fait que les nombres négatifs ainsi que le « zéro » n’ont pas de logarithmes .

 

COURS

 

 

Exemple 1 :  résoudre :   log ( x – 5) +  log  ( 2x -3)  =  log 15

 

 

 

Les conditions restrictives sont :

x - 5 > 0   ;   x > 5

 

 

 

 

 

2x + 3  > 0 ;   x  > 

La condition la plus restrictive est donc  x > 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En remontant des logarithmes aux nombres on est conduit à l’équation :

 

 

 

( x – 5 ) ( 2 x + 3 )  =  15

soit :

2 x² + 3 x – 10 x – 15  = 15

            2 x² - 7 x  - 30  = 0

 

 

 

Cette équation du second degré a deux solutions :

  et   

la première solution sera retenue ; la seconde solution sera écartée.

 

 

 

 

 

 

 

Exemple 2  :  résoudre :   log ( 2x – 5) +  log  ( 3 x  + 8 )  =  3 log 2

 

Or  nous pouvons écrire :      3 log 2 = log 2 3

En tenant compte de cette remarque :  l’équation proposée s’écrit :

log ( 2x – 5) +  log  ( 3 x  + 8 )  =  log 2 3

 

 

 

Les conditions restrictives sont :

2 x - 5 > 0   ;   x > 

 

 

 

 

 

3 x +  8  > 0 ;   x  > 

La condition la plus restrictive est donc  x >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En remontant des logarithmes aux nombres on est conduit à l’équation :

 

 

 

( 2x – 5 ) ( 3 x + 8 )  =  2 3

 

soit :

6 x² + 16 x – 15 x – 40  = 8

            6 x² -  x  - 48   = 0

 

 

 

Cette équation du second degré a deux solutions :

  et   

la première solution sera retenue   ; la seconde solution sera écartée.

 

 

 

 

 

Exemple 3  :  résoudre :   log ( 7x – 9)² +  log  ( 3 x  - 4 )²  =  2

 

En tenant compte de cette remarque :  l’équation proposée s’écrit :

2 log ( 7x – 9) +  2 log  ( 3 x  -4  )  =   2

En divisant tous les termes par « 2 » on obtient :

log ( 7x – 9) +   log  ( 3 x  -4  )  =   1

en remplaçant « 1 » par « log 10 » on obtient :

log ( 7x – 9) +   log  ( 3 x  -4  )  =  log  10

 

 

 

 

Les conditions restrictives sont :

7 x – 9  > 0   ;   x > 

 

 

 

 

 

3 x -4   > 0 ;   x  > 

La condition la plus restrictive est donc  x >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En remontant des logarithmes aux nombres on est conduit à l’équation :

 

 

 

( 7x  -  9  ) ( 3 x – 4  )  =  10

 

soit :

21  x² - 28  x – 27  x + 36   = 10

            21  x² -  55 x  + 26     = 0

 

 

 

Cette équation du second degré a deux solutions :

  et   

la première solution sera retenue   « 2 » ; la seconde solution sera écartée.

 

 

 

 

 

 

Exemple 4   :  Résoudre   3 2x  - 5  ( 3x) – 14  = 0

 

Posons  X = 3x  : ( 1) ; par conséquent  3 2x  =  X ²   et l’ équation proposée devient :  X ² - 5 X – 14 = 0

 

Elle admet comme  solutions :   X ‘  =  + 7   ; et    X ‘’ = - 2

 

Dans l’égalité ( 1 ) remplaçons  X  par  +7  , il vient  3x  = 7

 

Prenons le logarithme des deux membres : 

log  3x  = log  7

x  log 3  = log 7

x  = 

x  = 

 

Nous ne remplacerons « X »  par « – 2 » dans l’égalité  ( 1) car nous serions amenés à prendre le logarithme d’un nombre négatif ce qui est impossible.

 

 

 

 

 

En remontant des logarithmes aux nombres on est conduit à l’équation :

 

 

 

 

 

 

 

Cette équation du second degré a deux solutions :

  et   

la première solution sera retenue   « 2 » ; la seconde solution sera écartée.

 

 

 

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EVALUATION:

             1 :  Résoudre :   log ( x – 5) +  log  ( 2x -3)  =  log 15

             2  :  Résoudre :   log ( 2x – 5) +  log  ( 3 x  + 8 )  =  3 log 2

             3  :  Résoudre :   log ( 7x – 9)² +  log  ( 3 x  - 4 )²  =  2

            4   :  Résoudre   3 2x  - 5  ( 3x) – 14  = 0

 

 

( corrigé dans le cours)