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Leçon	Titre
N°32	Méthode résolution avec 1 ou 2 équations. Problèmes à 2 inconnues

COURS sur :

Méthode résolution avec 1 ou 2 équations. Problèmes à 2 inconnues

Il y a des problèmes qui peuvent se résoudre indifféremment avec 1 équation ou avec un système de 2 équations.

Exemple de problème : Le périmètre d’un champ rectangulaire mesure 280 mètres. La longueur a 20 mètres de plus que la largeur. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?

I) Résolution par un système de 2 équations à 2 inconnues.

On pose : Soient « x » la longueur et « y » la largeur.

Le périmètre vaut 2 fois la longueur plus 2 fois la largeur. ( 2x + 2y = 280) et la longueur a 20 mètres de plus que la largeur. ( x = y +20 ; ou x - y = 20 )

D’où le système.

1° première méthode. ( addition ou soustraction)

On multiplie le premier membre et le deuxième membre de l’ équation (2) par 2

a) Additionnons : 4x + 0 = 320 D’où x = 80

b) Soustrayons 0 + 4y = 240 D’où y = 60

Remarque : nous voyons ici une méthode « élégante » de la méthode.

2° Deuxième méthode. (par substitution)

Soit le système

De l’équation (2), nous tirons la valeur de « x » : x = 20 +y (3)

Nous la portons dans l’équation (1)

2 (20 + y) + 2y = 280

Développons et réduisons puis effectuons :

40 +2y + 2y = 280

4y = 280 - 40

4y = 240

y = 240 ¸ 4 ; y = 60

On aurait pu procéder par simplification : 4y +40 = 280 ; y + 10 = 70 ; y = 70 - 10 ; y = 60

Portons cette valeur dans l’équation (3) : x = 20 + 60 ; x = 80

II ) Résolution par une équation à 1 inconnue.

On désigne par « x » la largeur.

La longueur est « x+20 »

On sait que le périmètre : 2 (L + l)

Soit 2 (x+20 +x) = 280

On effectue : 2x + 40 + 2x = 280

4x = 280 - 40

4x = 240

x = 240 ¸ 4

x = 60

Remarque : on pouvait procéder par simplification :

2x + 40 + 2x = 280

4x + 40 = 280 x + 10 = 70

x = 70 - 10

x = 60

Calcule de « y » : y = x + 20 ; soit y = 60 +20 ; D’où y = 80

Leçon

Algèbre : Titre

N°32

TRAVAUX d’Auto - FORMATION sur

Méthode résolution avec 1 ou 2 équations. Problèmes à 2 inconnues

TRAVAUX N° 32 d ’ AUTO - FORMATION : CONTROLE

Reprise du contrôle de l’objectif « 31 »

Compléter les phrases suivantes :

I) Avant de choisir une méthode de résolution que doit -on faire en présence du système ?

II) quand utilise- t-on la méthode par substitution ?

III) Donner la règle de procédure permettant de résoudre un système à 2 inconnues par substitution :

TRAVAUX N°32 d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION

Problèmes :

1°) La différence de deux nombres est 24. Triplons le plus grand et quadruplons l’autre. Le premier produit surpasse le second de 44. Calculer ces deux nombres.

2°) Deux coureurs sont en compétition pour une course de vitesse sur une certaine distance. Le grand fait des pas de 0,80 m et le petit n’enjambe que 0,70 m. Sachant qu’au bout de la course le petit fait 100 pas de plus que l’autre, on demande quelle est la distance parcourue.

3°) Un employé reçoit 100 billets de 5 euros et de 10 euros pour règlement de son mois de 725 euros. Combien a - t - il reçu de billets de chaque sorte ?

Problème :

1°) La différence de deux nombres est 24. Triplons le plus grand et quadruplons l’autre. Le premier produit surpasse le second de 44. Calculer ces deux nombres.

3°) Un employé reçoit 100 billets de 5 euros et de 10 euros pour règlement de son mois de 725 euros. Combien a - t - il reçu de billets de chaque sorte ?