Puissance niveau 2

Puissance carré  :

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puissance d' un nombre

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ENVIRONNEMENT du dossier

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Tableau      

 

   DOSSIER: PUISSANCE  d ' opérations simples

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

 

 

MODULE :  ....................

 

 

 

 

 

LES  PUISSANCES d' opérations simples

 

 

 

                 Les formules suivantes doivent être apprises par coeur ;ceci pour aller plus vite dans le calcul:

 

Pour tout « x » ;( cette expression signifie que l’on peut donner à « x » toutes les valeurs numériques ) :

 

I )Transformation d’une Multiplication d’un même nombre élevé à des puissances différentes:

x n x p = x n+p           

 

Lire : « x »à la puissance « n » fois « x » à la puissance « p » est égal à « x » à la puissance « n » plus « p »

  Application numérique:

   23 27 = 2 3+7 

 

si   2 3 = 21 222 3                              et             2 7 = 242526272829210

 

alors        23 27 =      21 222 3     242526272829210    = 210

 

donc 2 32 7 = 2 10

 

Application algébrique:

x3 x7 =x 3+7 

 

si   x 3 = x1 x2x 3                              et             x 7 = x4x5x6x7x8x9x10

 

alors        x3 x7 =      x1 x2x 3     x4x5x6x7x8x9x10    = x10

donc x 3x 7 = x 10

Application en science physique :

 Les unités se comportent comme les nombres : (voir cours sur les surfaces volumes .......

Pour les longueurs:

            les mètres sont des  mètres « puissance 1 » :  m1

pour les surfaces:

pour les surfaces on multiplie des mètres par des mètres ,nous avons donc des mètres « puissance 2 » ,que l’on  appelle aussi « mètre carré »

des  « mètre par mètre » donne  m  m  = m1  m1 = m 1+1  = m2

pour les volumes:

pour calculer des volumes on multiplie une  surface par une longueur, ce qui donne des mètres « puissance 3 » , que l’on appelle  aussi « mètre cube »

 

des « mètre par mètre par mètre » se traduit par :

             mmm = m1m1m1 = m 1+1+1 = m2+1 =m3

 

Cela est vrai pour les multiples ou sous multiples  de l’unité (  m ; l ; A; kg ;...) choisie

 

 

II ) Transformation d’une Puissance d’un nombre élevé à une autre puissances.

 

             ( X n  )p  =   X  np

 

Lire : « x » à la puissance « n » le tout à la puissance « p » est égal à « x »  à la puissance « n » fois  « p ».

 

( 2 2  )3  =   2  23   =  26

 

a) Application numérique:

 

( 2 2  )3  =   2  23

 

( 2 2  )3  = ( 2  2 ) 3 =( 2122 ) (23  24) (2526)=212223242526 = 26

 

( 2 2  )3  = 26

 

b )Application algébrique:

 

( x 2  )3  =   x  23

 

( x 2  )3  = ( x  x ) 3 =( x1x2 ) (x3  x4) (x5x6)=x1x2x3x4x5x6 = x6

 

( x 2  )3  = x6

 

III) Transformation d’un Produit d’un nombre élevé à une puissance:

 ( X   Y ) n =  X n Y n

 

Lire :

            « x » fois « y » le tout entre parenthèses élevé à la puissance « n » est égal au produit de « x » à la puissance « n » « y » puissance « n ».

 

a) Application numérique:

 

( 2  5 ) 3 =  2 3 5 3

( 2  5 ) 3 =  ( 21  51 ) ( 22  52 ) ( 23  53 ) =( 23  53 )

 

b ) Application algébrique

( x  y ) 3 =  x 3 y 3

( x  y ) 3 =  ( x1  y1 ) ( x2  y2 ) ( x3  y3 ) =( x3  y3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

IV ) Transformation  d’ une  Puissance d’une fraction:

 =  

 

Lire : une fraction  « x » sur « y »  élevée à une puissance « n »  est  égal à une fraction dont le numérateur « x » est élevé à la puissance « n « et le numérateur « y » élevé à la puissance « n ».

 

a)Applications numériques:

 

 ==   

 

 

 

 

b) Application algébrique:

 

 ==

 

 

 

V ) Transformation d’une fraction dont la numérateur et le dénominateur sont de même valeur mais de puissance.

 (Voir les conditions pour « x »)

                =  x n-p

 

a)  Application numérique:

 

Rappel

  *x -1 =      ; x -1 s’appelle l’inverse de « x »    ;donc x -p =   

 

=

Procédure de transformation: = ?

 

  a) on transforme la fraction en multiplication  :  32    =

  b) On transforme l’écriture :     en   3 -3

     c)On récrit la transformation sous forme d’égalité: = 3(+2)  3 (-3)

       d)On applique la transformation   :x n x p = x n+p  avec n = (+2) et p = (-3) ce qui donne :

3(+2)  3 (-3)  =  3(+2) +(-3)

         e) On applique les régles de l’addition de deux nombres relatifs (+2) +(-3)  = (-1),pour ce qui concerne les exposants.

pour ca

          d) on rend compte: = 3(+2)  3 (-3)  =  3(-1)

 

Conclusion: =  3(+2) -(+3) =3(+2) +(-3) =3(-1)

 

 

*si     résultat de la transformation :  32

 

b) Application algébrique:

*x -1 =      ; x -1 s’appelle l’inverse de « x »    ;donc x -p =    et inversement x p =

Voir les deux cas où

Premier cas:                                « n » est > à « p »:

=  x5    =x 5 x -2=  x 3

 

 

APPLICATION  AUX PUISSANCES DE DIX :

                =  10 3-2           (=10)

 

                =  102-3                ( =  10-1)

 

Applications :   (Déjà traité : voir Objectif :   QI 1b  )

A )

 

B)

 

 

 

 

 

             

IMPORTANT POUR EXPRIMER DES GRANDEURS EN SCIENCES/PHISIQUE.

 

       Cette application est utilisée en science pour rendre compte  des unités  ;d’un calcul:

 

exemple :   l 1 / m 3       :lire  des litres par mètre cube s’écrit aussi : l   m -3    

 autre exemple: si l’on divise un volume  par une distance  (exprimés par exemple en mètre)

   nous faisons   m3 / m1  ce qui donne des m3-1 soit des  m2, le nombre  obtenu par calcul représente le résultat  d’une  surface.

 

Voir leçon en sciences sur les calculs de longueur, surface, volumes ;et autres ........                    

     

 

Deuxième cas          « n » est < « p »:

 

=  x2    =x 2 x -5=  x-3

 


 

CONTROLE:

Transformer les expressions suivantes:

 

 x n x p =

 

X n Y n=

=

( X n  )p  = 

 

 X  np =

x n+p =

 

( X   Y ) n =

 

 =

 

=

 

X -p =

 

 

X n-p=

 

=


 

    

EVALUATION :Pour chaque cas  remplacer

              x = 3 ; y =5   ; n =3 ;  p=2       .et faire les transformation des expressions suivantes:

=

 

 x n x p =

 

X n Y n=

=

( X n  )p  = 

 

 X  np =

 

x n+p =

 

( X   Y ) n =

 

 =

 

=

 

X -p =

 

 

X n-p=

 

=

 

   

I ) CALCULER

10 3 =

(+1)10 =

(-1)7 =

(-3)3

10-5=

(-1)12=

(+2)-2=

()-1=

()3=

()2=

()-2=

()0=

 

II) Ecrire plus simplement:

(5a)2 (2a2)3=

a5 :a7 =

3a45a-2=

a-3:a-5

14 a 2 b3 : 49 a3 b2 =

=

 

=

(2ab)3 (3b)2=

III) Ecrire sous forme décimale :

 

 

375 10-5=

21102=

3.410-3=            

0.04104=

2100010-2=

=

=

 

 

 

IV) Calculer  A à partir de l’expression suivante:

 

     A  =  2x3 +3x2 -x +7

pour a) x  = +1

pour b)  x = 0

pour c)  x = +0,1

pour d)  x = -1

pour e) x= 3

pour f) x= -2,8

 

Voir les tableaux  « Contrôle Continu »

 

 

VOIR FICHE UTILISATION DE LA CALCULATRICE

 

 

 

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