Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

LIVRE

 

DOCUMENT non -INTERACTIF.

 

 

 

 

 

DOSSIER  n°5 D / 25

 

 

 

 

 

Une FRACTION

et un nombre

 

MULTIPLICATION

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

DOC. Info : Professeur ; Formateur

5 D/ 26

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

TITRE : LES FRACTIONS (Opérations)

MULTIPLICATION d’une fraction par un nombre  et  prendre le   pourcentage d’un nombre .(calcul direct )

 

 

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU :

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA).

OBJECTIFS :

 - Savoir multiplier  une fraction et un nombre .

 

I ) Pré requis 1  : i liste des travaux de primaire 9

 

 

 

II ) Pré requis   2:

A )  Les deux formes de présentation du résultat sont :

 

Fraction irréductible

Arrondir "à tant prés" ;troncature

III)  suite  des  pré requis

 

1.        Savoir définir ,reconnaître ,identifier une fraction :

Une fraction est le rapport  (une division )d’un nombre entier naturel par un autre nombre entier naturel.

2.        Savoir simplifier une fraction : Simplifier une fraction c’est diviser le numérateur et le dénominateur par une même nombre non nul.

3.        Savoir  rendre irréductible une fraction :

Pour rendre une fraction irréductible il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD

4.        Savoir construire une fraction équivalente à une fraction donnée :

Pour obtenir une fraction équivalente à une fraction donnée il suffit de multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée par un nombre non nul.

Pour vérifier : il faut faire le produit en croix)

Remarques : Transformations d’une écriture fractionnaire en fraction

 

Le nombre

Devient la fraction :

 

L’écriture fract.

Devient la fraction :

4

 = 4 / 1

 

1 / 1,2

= 10 / 12

1,5

= 1,5 / 1  = 15 / 10

 

11 / 1,3

= 110 / 13

2,37

= 2,37 / 1 = 237 / 100

 

0,54 / 17

= 54  / 1 700

3,673

= 3,673 / 1 = 3673 / 1 000

 

3,5 / 7,95

= 350 / 795

 

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  

Objectif précédent :

Cd :Cours précédent ( dossier n° 2)

 

Objectif suivant :

Suite  sur les pourcentage….

 

1°)Tableau :

Résumé     

Liste des cours

: liste des objectifs cours calcul numérique sur les « Q »

 

Déjà vu : au cours n°2 / 26

Test

 

COURS  

Travaux  auto - formation.

1°)Activités précédentes.(problèmes)

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle

Evaluation :

2°)INTERDISCIPLINARITE : voir cas par cas ! !

3°) Sur les a%

 

 

CORRIGE contrôle

CORRIGE  évaluation

 

 

 

 

Travaux niveau VI et V

 

 

 

 

 

 

 

Dossier 192 : sens du pourcentage.

 

 

 

 

 

 

 

Dossier 193 : prendre un pourcentage.

 

 

 

 

 

 

 

Dossier 198 :problèmes de pourcentage.

 

 

 

 


 

Leçon

                                            N°5 - D

Définitions préalables

 

Fraction : La fraction est le rapport  (une division ) d’un nombre entier naturel par un autre nombre entier naturel   

 

Exemple de fraction    :                   

 

 

 

 

 

 

Rationnel :Un rationnel est le quotient d’un entier par un entier « non nul ». ( on dit aussi : « différent de zéro » ;  noté :  ¹ 0 )

 

 

Exemples :                                  16 : 2 = 9                         9  est un rationnel

                                                25: 4  = 6,25                    6,25  est un rationnel

                                                11 : 7  =   11/7                11/ 7 est un rationnel

 

Ecriture fractionnaire : On appelle « écriture fractionnaire «  une fraction possédant, au moins un nombre décimal ».( Il y a au moins un nombre décimal au numérateur ou au dénominateur.)

 

 

 


Leçon

Titre

N°5-D

MULTIPLICATION d ’ une FRACTION et d ’ un NOMBRE .

 

. Cd³ INFO +

 

i9

 

i9  

 

Cd³  1 INFO + ;   Cd³ 2 INFO + ; Cd³ 3 INFO +

 

On doit se souvenir  : On ne peut pas multiplier un nombre par une fraction , pour obtenir un résultat on prendra appui sur la règle concernant la multiplication de deux fractions .

 

Modèle mathématique

Il n’y a pas de solution  immédiate . Il faut  transformer la multiplication d’une fraction par un nombre (entier naturel ou relatif) par une multiplication de deux fractions:

 

Par contre : On sait que l’on peut multiplier deux fractions entre elles.

Exemple :      calculer :      ?  (1)

Procédure :

On transforme « 2 »  en  fraction :

On remplace « 2 » par sa fraction  dans (1)  :     devient       

Il ne reste plus qu’ à appliquer la règle de la multiplication de deux fractions L faire le  produit des numérateurs sur le produit des dénominateurs)

 

Ce qui donne      ;    

 

En résumé :      

 

On généralise :     pour calculer      on passera par l’écriture       

Remarque : Il faut mettre le nombre « c » sous forme de fraction de dénominateur égal à    1    ;  tel que :                

On applique ensuite la procédure qui concerne la multiplication en deux fractions.

 

 

 

Exemple :   calcul de       = 

Solution :                                     =        =       =    

Conclusion :                                   =  

 

Remarque :   Le résultat peut avoir la forme décimale arrondie à 0,001 prés : 1,077

 

Cas  particulier 1  :       on voudrait , par exemple ,  calculer  :    3 =      ou          72

On reconnaît le modèle mathématique:            a  =              il n’y a pas de solution  immédiate ; (il faut transformer)

 a   = ?      =      =           ;     aussi :       a   =

 

Exemple numérique  :    on pose  « b = 2 » ; on ne donne pas de valeur a « a » :

a   = ?       =        =       ;       aussi :    a   =   

 

 

 

Reprise des énoncés :  On veut calculer   3 = ?     ( donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale )

     

 1°)on transforme :                          3  =              (on est ramené au calcul de la  multiplication de deux fractions)

 

 2°) on pose la multiplication :          = ;                       3°)  on calcule    =     

 

4°)   simplification du résultat :

 on décompose      =  ; 

on  multiplie « 3 » par l’élément neutre « 1 » :       =    ;  on supprime le facteur commun « 3 »c       =    

conclusion : 

 

 Expression du résultat : 

-   le résultat est donné sous forme d’une fraction irréductible : 3  =      ; 

 

-  le résultat est donné sous forme « décimale » :        remarque :    (       = 0,5 ), sous  forme décimale   3   =   0,5

-  le résultat aurait pu être donné sous sa forme première :  :                          3  =    

 

 La forme du résultat  est fonction de ce qui est  demandé dans l’énoncé  !!!!     

 

Exemple 2  :   calculer   72  ( donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale )

72 =            ;           =   ;         = 

 

Conclusion :              72   =               ou              72  = 18

 

En résumé : On ne peut pas multiplier un nombre par une fraction , pour obtenir un résultat on prendra appui sur la règle concernant la multiplication de deux fractions.

 

Procédure permettant de multiplier une fraction par un nombre.       (  Modèle mathématique: =   )

Il faut faire dans l’ordre :

a)  Placer le nombre sous forme de fraction de dénominateur égal à 1    :       

b) On remplace ce  modèle mathématique:               par le modèle         =   

 

c) On applique la procédure concernant la multiplication de deux fractions:

 =   

d  ) Rendre compte:        = 

 

 

+Faire les exercices suivants 

 

 

 =

 

 

 

 

 

3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i9  

4 . Cas particulier : pourcentage d’un nombre .

:1   i ; Cd³ 2  INFO + ;Cd³ 3  INFO +

Cd³ INFO + ;  ( Voir la partie abordée dans la leçon N°2 sur la fraction)

 

« a » pour « cent » est une donnée statistique   ; elle  se note « a % »   ,

l’outil mathématique qui remplace cette écriture est ne fraction.

 

A savoir :                                              a   %     = 

 

 

y  =    x     ou    y  =    =   = 

 

 

ou    « y » est la valeur d’une augmentation ou diminution

        « a » la valeur du taux       ( « a% » est  le taux de « a » pour « cent »)e

        « x » le nombre sur lequel s’applique le taux.

 

Exemple de calcul  : on veut calculer  8 % de 120

Procédure :

 

1°) On transforme :   8%   en fraction  =   ( =  0,08 )

 

2°) on  remplace l’expression « 8 % de 120 »  par l’opération ´ 120

 

 

 3°)  On transforme  : ´ 120   par   ;

 

4°)  On calcule :       =    =  =  9,6

 

4° Conclusion : 8% de 120  =  9,6

 

 

 

 

 

 

Leçon

Titre

N°5-D

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur

LES FRACTIONS ( OPERATIONS )

 

TRAVAUX  N°5    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

Pour obtenir le questionnaire il faut posséder le version interactive.

 

TRAVAUX  N°5    d ’ AUTO - FORMATION :  EVALUATION 1

 

Définitions préalables :

 

1°)  avec 3 et 4 écrire une fraction ?

 

2°)  souligner les  rationnels .

 

16 + 2 =  18   ;  16 : 2 =   8 ; 16 -2 = 14 ;    25: 4  =   6,25    ;   25 ´ 4 = 100   ; 25 - 4 = 21 ; 11 + 7  =  18     ;    7 - 11 = - 4 ; 11 : 7  =   11/7

 

3°) entourer  l ’ «  écriture fractionnaire » 

 

  16 / 2 ;   20,2  / 2 ;   10 / 0,5 ;   6,3 / 7,8 ;  .456/ 3625   ; 17 / 5  ;   

 

 MULTIPLICATION  d’ UNE FRACTION et d’UN NOMBRE .

 

 

1°)  Calculer   : =  ? donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,01  prés .

 

2 °) calculer   3 =    ; donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,01  prés .   

 

3°) calculer   72 ;  donner le résultat sous  forme d’une fraction simplifiée ; puis sous la forme décimale à 0,01  prés . 

 

. Cas particulier : pourcentage d’un nombre .

Cd³ INFO +

 

1°) Calculer  8 % de 120

 

PROBLEMES :FRACTIONS  ( Série1), FRACTION D'UNE GRANDEUR

Les problèmes sont à faire :(dans un premier temps faire le calcul et donner le résultat) ; dans un deuxième temps, lors d’un devoir , vous devrez rédiger ;

 

1)     Une salle de cinéma qui compte 320 places est remplie aux ¾. Combien y a-t-il de places occupées ? Combien reste-t-il de places libres ?

2)     La France a une superficie de 549 000 km² dont ¼ est recouvert de forêts. Quelle est la superficie de la forêt française ?

3)     Une famille répartit ses revenus en prévoyant notamment : 2/20 pour les impôts, 5/20 pour l'alimentation et 3/20 pour le loyer. Les revenus mensuels de la famille étant de 15 50 €, calculer en euros, le montant des dépenses prévues pour les impôts, l'alimentation et le loyer.

4)     Les 4/10 des 330 000 habitants de la Martinique ont moins de 20 ans. Trouver la question et y répondre.

5)     Une personne qui a gagné 107 80  € au Loto offre 1/7 de son gain à l'association "Médecins du Monde" et 3/7 à une association pour la recherche contre le cancer. Quelle somme a-t-elle offerte à chacune de ces associations ? Combien a-t-elle gardé ?

6)     Sur un terrain constructible de  1 395 m², 1/9 est réservé à la maison et 2/5 au jardin potager. Le reste de la surface sera ensemencé en pelouse. Quelle sera la superficie occupée par cette pelouse ?

7)     Le vélo de cross d'Alain vaut 720 €. Celui de Stéphane coûte les 9/6 de celui d'Alain. Quel est le prix du vélo de Stéphane ?

8)     Maman a 33 ans. L'âge de Papa est égal aux 7/6 de celui de Maman. Quel est l'âge de Papa ?

9)     Des maçons doivent construire un mur de 25 m de long. La première journée, ils en édifient les 2/5, puis ¼ le lendemain. Quelle longueur de mur leur restera-t-il à construire le troisième jour ?

10) Romain prépare un cocktail pour ses camarades. Dans un saladier d'une capacité de 3,5 l, il doit verser 3/10 de jus d'ananas, 1/5 de jus d'orange, 1/14 de sirop de grenadine et compléter avec de l'eau gazeuse. Quelle quantité (en litres) de chaque ingrédient doit-il utiliser ?

11) Pour arroser son jardin, papa récupère l'eau de pluie dans une citerne, d'une capacité de  2 700 l. Celle-ci est actuellement remplie au 4/5. Sachant qu'il utilise environ 90 l d'eau par jour, en aura-t-il suffisamment pour une durée de trois semaines sans pluie ?

12) Un jardinier dispose d'une citerne d'une capacité de 2 500 l. Il en tire d'abord 1/5, puis les 3/5 de ce qu'il reste. Quelle quantité d'eau, en litres, a-t-il utilisée chaque fois ? Quelle quantité d'eau reste-t-il dans la citerne ?

13) Monsieur Léman achète un canapé valant 23 75 €. Il paie 1/8 de cette somme à la commande, 3/8 à la livraison et le reste en 4 mensualités égales. Combien verse-t-il à la commande ? A la livraison ? Combien versera-t-il à chaque mensualité ?

14) Un train peut transporter 420 voyageurs, mais il n'est plein qu'au 5/7. Un quart des passagers voyage en première classe. Combien de personnes voyagent en seconde classe ?

15) Pour un match de football international, les 7/8 des 50 000 places du Parc des Princes sont occupées. 4/5 des spectateurs ont payé leur place, les autres bénéficient d'invitations. Quel est le nombre de spectateurs assistant gratuitement au match ?

16) Le grand frère de Mathieu achète une moto valant 8 880 €. Il verse d'abord 1/3 de cette somme à la commande, puis, à la livraison, les ¾ de ce qu'il devait encore. Ses parents paient le reste. A combien s'élève la participation de ses parents ?

17) L'Europe compte environ 800 millions d'habitants, soit à peu près le 1/6 des hommes vivant sur la Terre, mais elle n'occupe que le 1/16 des continents qui couvrent 136 millions de km². Quelle est, environ, la population de la Terre ? Quelle est la superficie de l'Europe ?

GRANDEUR D'APRÈS UNE FRACTION

1)     Un concurrent à moto du rallye Paris -Dakar tombe et abandonne aux 6/7 de la compétition après 18 jours de course. Quelle est, en jours, la durée totale de l'épreuve ?

2)     Patrick revend son skate-board ; avec les 2/3 de ce qu'il a ainsi gagné, il s'achète un disque valant 6,5 €. Combien avait -il revendu son skate-board ?

3)     On achète une voiture d'occasion coûtant les 5/8 du prix du même modèle, à l'état neuf. Si l'on a payé cette voiture 13 200 €, combien valait-elle neuve ?

4)     Dans un appartement, la salle de bains occupe les 2/35 de la superficie habitable, soit 6,5 m². Calculer la superficie habitable de cet appartement.

5)     Une bouteille est remplie aux 2/3. Il faudrait y ajouter encore 25 cl pour la remplir complètement. Quelle est la capacité de cette bouteille ?

6)     A la Bourse, un homme d'affaires perd les 4/7, soit 280 00 €, de son capital. Quel était le capital initial ? Calculer le montant de la perte si elle avait correspondu aux 3/5 du capital.

7)     Ingrid partage avec ses 3 frères et sœurs les 5/7 de son gain au Loto et , avec le reste, achète une plante verte pour sa mère. Chacun des enfants reçoit 35 €. Combien Ingrid avait-elle gagné ? Quel est le prix de la plante verte ?

3. Il faudrait y ajouter encore 25 cl pour la remplir complètement. Quelle est la capacité de cette bouteille ?

6)     A la Bourse, un homme d'affaires perd les 4/7, soit 280 000 F, de son capital. Quel était le capital initial ? Calculer le montant de la perte si elle avait correspondu aux 3/5 du capital.

7) Ingrid partage avec ses 3 frères et sœurs les 5/7 de son gain au Loto et , avec le reste, achète une plante verte pour sa mère. Chacun des enfants reçoit 35 F. Combien Ingrid avait-elle gagné ? Quel est le prix de la plante verte ?