Leçon	Titre AUTO FORMATION.  Série 1
N°10	Corrigé :    Evaluation  PROPORTIONNALITE applications : Echelle ; pourcentage ;indice .

 

I.                      Les échelles

 

Problème n°1 :      Mesures sur un plan de maison. Sur le plan d'une maison, l'échelle  est      (ou 0,02). Quelle est

            

la longueur  réelle de la cuisine dont la mesure sur le plan est 9 cm ?

 

 Solution 1 :    

 

On sait que :             On pose
On transforme	1 Dr = 50 Dp
Dp = 9 cm , on remplace	Dr = 50 fois 9 cm
Conclusion	Dr = 450 cm

 

Solution 2 : Avec le tableau :

 

Mesure "réelle" en cm.	50	x   (9 fois 50 = 450 cm)
Mesure plan en cm	1	9

 

 

 

 

Problème n°  2 : Carte routière

Une carte routière est à l'échelle  1 : 50 000  (un cinquante - millième)

Rechercher par quelle mesure   sera représentée sur la carte  une portion de route droite longue de 3,5 km .

 

Solution1 : ( utilisation du tableau)

 

On  convertit  en cm : 3,5 km = 3 500 m =  350 000  cm

 

On peut établir le tableau :

( x)  Mesures réelles en cm	50 000	350 000
(y)  Mesure sur le plan en cm	1	"D p"

 

D’où    50 000 Dp  = 1 fois 350 000   soit   Dp =    ; conclusion Dp = 7 cm

 

Solution 2 :

On sait que :             On pose
On transforme	1 Dr = 50 000 Dp
On sait que Dr =  350 000 cm , on remplace	350 000 = 50 000 Dp  soit Dp =
Conclusion	Dp = 7 cm

 

 

Problème N° 3 : Agrandissement

 

Une plaque de métal  de 12 mm de long sur 6 mm de large  a été  dessinée sur plan, le rectangle tracé  mesure  6 cm de long et 3 cm de large.

1°) Quelle est l'échelle  utilisée ?

2°) s’agit -il d’un agrandissement ou une réduction ?(justifier)

3°) Donner l’équation linéaire ( que représente « x » et « y »)

 

Solution :

On établit le tableau :

 

Mesures réelles en mm	12 mm	6 mm
Mesures "plans"  en mm	60  mm	30 mm

 

 L'échelle est le rapport   soit    ;

 

-   l'échelle utilisée pour  tracer le plan est de "5"

Conclusion ::

- 2°)  La valeur du rapport  de l'échelle est supérieure à 1 ; il s'agit  donc d'un agrandissement.

 3°) l’équation linéaire est  y = 5 x    avec  « x » = Dr  , « y » = Dp

 

 

II.         Les pourcentages

 

 

1°) Traduire en pourcentage : "je dépense 25 € sur 100 €  ;

 

G1	156€	180 m	250 cl	956 kg
G2	15 €	18 m	25 cl	56  kg
A%	9,62 %	10 %	10 %	5,86 %

 

 

 Problème :

Lors d'une période de soldes, un commerçant a affiché, pour chaque article, le prix habituel  et le montant de la réduction  accordée.

1°) Calculer le pourcentage de la remise  pour chaque article.

2°) Quelle conclusion peut -on tirer sur la valeur des remises.

 

Marchandise	prix habituel	réduction
Chemise	40 €	10 €
Pantalon	36 €	9 €
Veste	100 €	25 €
Polo	8 €	2 €

 

Solution :

1°) Pour vérifier qu'il y a proportionnalité, nous allons calculer le coefficient de chaque marchandise ; pour déduire qu'il existe un coefficient de proportionnalité "k".

On établit le tableau :

Prix normal	40	36	100	8
Montant de la réduction	10	9	25	2
calcul de « a »	10/40 = 0,25	9 / 36 = 0,25	25 / 100 = 0,25	2 / 8 = 0,25
« a % »	0,25 fois 100 = 25 %	0,25 fois 100 = 25 %	0,25 fois 100 = 25 %	0,25 fois 100 = 25 %

 

 

Le coefficient est égal au rapport :

 

Chemise  ; Pantalon   ; Veste     ; Polo  

 

 

 

On constate  que les coefficients obtenus  sont de même valeur : 0,25

 

Le coefficient de proportionnalité est donc k = 0,25

 

On écrira : Conclusion :  la remise de tous les articles est  de 25%.

 

Soit les phrases suivantes	interpréter :
Un mélange de peinture  contient 10 % de diluant	Pour  100 litres de peinture , il y aurait 10 litres  de diluant
Un commerçant réalise un bénéfice  de 40 % sur prix de vente.	Si le prix  de vente était de 100 € , le bénéfice serait de 40 €.

 

 

Problème n° 2 :

              On fait une remise de 20% sur un meuble. Calculer la valeur de ce meuble sachant que la valeur de ces 20 % représente 540 €.

Solution 1 :

Si la valeur du meuble était de 100 € la remise serait de 20 €. 

 

Coût du meuble	100	"x"
Remise	20	540

 

D’où la proportion :   ; 

En résolvant cette équation il vient :  x =  = 2700

 

Donc le prix du meuble était de   2700 €

 

Problème n° 3 :

Un article dont le prix de départ  est de  360 € est vendu avec une remise de 54 € sur le prix. Quelle serait la remise  pour 100 € marqué ?

Solution :

On établit un tableau : 

Prix marqué	360	100
Remise	54	"x"

 

Proportion obtenue :   

En résolvant cette équation il vient :

Le pourcentage de remise sur le prix marqué est de 15 %

 

Soit le tableau :

 

 

Expliquer comment on remplit ce tableau,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problème n°1 :  En 2001, le kilogramme de filet de bœuf  est vendu 23,40 €  ; en 2000 il était vendu  20 € ; à l'indice 100 .Trouver l'indice  d'augmentation .

 

L'indice et le prix d'un produit sont des grandeurs proportionnelles.

 

Solution :

	An 2000	An 2001
indice	100	"x"
Prix au kg	20	23,40

 

L'indice est égale au calcul :

Soit        I  =    =  117

 

L'indice du prix en 2001 est de 117 .

 

L'augmentation en pourcentage  du prix du kg de tomate est de : =  17  soit 17%

 

Problème n° 2

 

1°)   En l'an 2001, le kilogramme du filet de viande de bœuf, est à l'indice 117 ; en 2000 il était à l'indice 100 .

 

Dites ce que cela signifie : 

 

Cela ne signifie pas qu'en  l'an 2000 le kilogramme du filet de viande de bœuf  valait 100 €  et qu'en 2001 il vaut 117 €.

 

2°) Le kg du filet de viande de bœuf valait 20 €  à l'indice 100 ; en 2001 l’indice est de 117 . Quel est le prix du kilogramme du filet en 2001. :  

il vaut en 2001   :    117  = 23,4 €

 

Compléter la phrase suivante :  L'indice et le prix d'un produit sont des grandeurs proportionnelles.

 

	An 2000	An 2001
Indice	100	117
Prix au kg	20	23,40

 

3°) calculer l’augmentation en pourcentage :

L'augmentation en pourcentage  du prix du kg de  filet de bœuf  est de : =  17  soit 17%

 

 

 

Leçon	EVALUATION   (CORRIGE cliquer ici .)
N°10	TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION  Résumé  Série 2  sur la PROPORTIONNALITE applications : Echelle ; pourcentage ;  indice .

 

 

ECHELLES :

 

1°) Sur une carte à l'échelle 1: 20 000, une portion de route mesure 6,5 cm. Calculer la longueur réelle de cette portion de route.

6,5 / Dr = 1 / 20 000 Dr = 6,5 fois 20 000 130 000 cm  = 1300m

 

2°) Le plan d'un appartement est à l'échelle  1:25 . la longueur réelle de la chambre 1 est 4,50 m. Calculer la mesure  à mesurer sur  le plan.

Dp = 4;50 m :25 = 0,18 m

 

3°) Le dessin d'une pièce de monnaie est à l'échelle 4:3. S'agit - il d'un agrandissement ou diminution ? Calculer la mesure réelle du diamètre  représenté  par 27 mm sur ce dessin.

4/3 = 27mm / Dr Dr = 20,25 mm

 

4°) Dans chaque colonne  du tableau, on donne l'échelle et une mesure "plan". Calculer les mesures réelles correspondantes.

Echelles	1 : 2	1 : 20	1 : 125	4 : 3	1 : 1000	3 : 1
Dr	30 mm	160mm	7750 mm	92,25mm	7000 cm	72 mm
D p	15 mm	8 mm	62 mm	123 mm	7 cm	24 mm

 

5°) Dans chaque colonne  du tableau, on donne l'échelle et une mesure "réelle". Calculer les mesures "plan" correspondantes.

 

Echelles	1 : 2	1 : 20	1 : 125	4 : 3	1 : 1000	3 : 1
réelles	15 mm	8 mm	62 mm	123 mm	7 cm	24 mm
Plan	7,5mm	0,4 mm	0,495mm	164mm	0,007	72mm

 

 

B) POURCENTAGE :

1°) calcul mental : un commerçant accorde à ses clients une réduction de 15 % sur le prix d'achat. donner dans chaque cas le montant de la réduction : Pour  100 € l'achat la réduction sera de : 15 € Pour  200 € l'achat la réduction sera de : 30 € Pour  50 € l'achat la réduction sera de : 7,5 €

 

 

2°) Calculer 24 % de 560 €

134,40 €

 

3°) calculer 3,5 % de 500€

17,50€

 

4°) Le prix d'un médicament est de 7,8 €. La sécurité sociale rembourse 75 % du prix de ce médicament. Calculer le montant du remboursement.

5,85 €

 

5°) sur une facture, les frais de transport représentent 8 % du prix de la marchandise. Ces frais s'élève à 16 € , calculer le prix de la marchandise.

16 = 8% x x =  1600/8 x = 200€

 

6°) lors d'un examen, 312 candidats ont été admis sur 520 inscrits. Calculer le pourcentage d'admis sur le nombre d'inscrits.

312 =  (a / 100) x 520 31200 / 520 = 60  a=60  donc a%= 60%

 

7°) un ouvrier gagnait 1256 € par mois, son salaire va être augmenté de 4 % . Quel est le montant de l'augmentation ? et son nouveau salaire.

Augmentation = 50,24 € Nouveau salaire : 1306,24 €

 

Cliquer ici pour : Exercices  et problèmes supplémentaires

 

 

C) INDICE .  (  SOS info.)   + corrigé « évaluation »

 

SUJET :

 

8°)  Un objet coûtait 2500€ en janvier 1995 ; son prix est passé  à  2550 € en 1996 , puis  à 2680 € en 1997 ; 2720 €  en 1998 et 2750 € en 1998.

 

En prenant pour base 100 en 1995 , calculer l'indice du prix de cet objet , arrondi à l'unité , pour les 4 années suivantes .

 

9°)  Le propriétaire  d'un appartement utilise le tableau ci - dessous pour calculer le loyer de l'appartement qu'il met en location . Le loyer de cet appartement était en 1994 de 2850 € .

Calculer le montant  du loyer pour les 3 années  suivantes .

 

Année	Indice 4ème trimestre
1994	1019
1995	1013
1996	1046
1997	1068

 

 

Pour les problèmes  suivants  , on donne la formule suivante  : 

 

10°) Le prix du litre d'essence était à l'époque  t_o de 1,75 €  ; il est de 2,35 € à l'époque  t_n  .Quelle est l'évolution du prix  de l'essence ( en indice) ?

 

 

11°) A une date donnée ( t₁), un objet était vendu 3020 €.

Un objet de même type vaut 2490 €. 8 ans plus tard (t₂) .Donner l'indice d'évolution du prix ( diminution ou augmentation)

 

CORRIGE  Evaluation : Leçon @: Les indices simples :

Appelés: " indice  simple  " , ou "indice analytique" , ou  « indice élémentaire » , « indice particulier » :     I_j/o  =  100

 

 

1°) Le prix du litre d'essence était à l'époque  t_o de 1,75 €  ; il est de 2,35 € à l'époque  t_n  .Quelle est l'évolution du prix  de l'essence ( en indice) ?

 

Solution : calcul de l’indice :  =  ( 134,28…..)   soit  I = 134

 

2°) A une date donnée ( t₁), un objet était vendu 3020 €.

Un objet de même type vaut 2490 €. 8 ans plus tard (t₂) .

 

Donner l'indice d'évolution du prix ( diminution ou augmentation)

 

Solution : calcul de l’indice :  =  ( 82,450…..)  , soit  I = 82

Puisque   I < 100 ,  Il s’agit d’une diminution

 

 

3°) une entreprise a payé à l'époque  t_o  une matière première "x"  , 30 € le kg; trois ans plus tard   ( en t ₃ ) elle la paye 36 € le kg.  Quel est l'indice d'évolution ? Quel  est le taux  de cette évolution ?

 

 

Solution     I  =  100 ( 36 / 30 ) ; I = 

 

Le taux de cette  évolution est de : 

 

4°)   Le loyer d'un appartement  était de 281, 4 €  en 1992 pour un indice de 1005.

 

Question :  On cherche le montant du loyer en 1997 , l'indice étant de 1068.

 

On complète le tableau de proportionnalité :

	Année  1992	Année 1997
Indice	1005	1068
Prix	2 81,4 €	"x"

 

On sort  la proportion :    ; on  transforme   "x" =

 

"x" =  299,04 €

 

 

5°)

En 1998 , le prix d'un poste de télévision était  3200 € . Le prix en 2001 est de  3328 €   . En prenant pour base 100 l'année 1998 , chercher l'indice du prix en 2001.

 

On complète le tableau de proportionnalité :

	Année  1998	Année 2001
Indice	100	"x"
Prix	3200 €	3328 €

 

On sort  la proportion :    ; on  transforme   "x" =

 

"x" =  104  ; l'indice est de 104

 

 

A)  ECHELLES :

 

1°) Sur une carte à l'échelle 1: 20 000, une portion de route mesure 6,5 cm. Calculer la longueur réelle de cette portion de route.

 

2°) Le plan d'un appartement est à l'échelle  1:25 . la longueur réelle de la chambre 1 est 4,50 m. Calculer la mesure  à mesurer sur  le plan.

 

3°) Le dessin d'une pièce de monnaie est à l'échelle 4:3; S'agit - il d'un agrandissement ou diminution ? Calculer la mesure réelle du diamètre  représenté  par 27 mm sur ce dessin .

 

4°) Dans chaque colonne  du tableau , on donne l'échelle et une mesure "plan" . Calculer les mesures réelles correspondantes.

 

Echelles	1 : 2	1 : 20	1 : 125	4 : 3	1 : 1000	3 : 1
Plan	15 mm	8 mm	62 mm	123 mm	7 cm	24 mm
réelles

 

5°) Dans chaque colonne  du tableau , on donne l'échelle et une mesure "réelle" . Calculer les mesures "plan" correspondantes.

 

Echelles	1 : 2	1 : 20	1 : 125	4 : 3	1 : 1000	3 : 1
réelles	15 mm	8 mm	62 mm	123 mm	7 cm	24 mm
Plan

 

B ) POURCENTAGES

 

1°) calcul mental : un commerçant accorde à ses clients une réduction de 15 % sur le prix d'achat . donner dans chaque cas le montant de la réduction : Pour  100 € l'achat la réduction sera de : Pour  200 € l'achat la réduction sera de : Pour  50 € l'achat la réduction sera de :

 

2°) Calculer 24 % de 560 €

 

3°) calculer 3,5 % de 500€

 

4°) Le prix d'un médicament est de 7,8 € . La sécurité sociale rembourse 75 % du prix de ce médicament . Calculer le montant du remboursement.

 

5°) sur une facture, les frais de transport représentent 8 % du prix de la marchandise. Ces frais s'élève à 16 € , calculer le prix de la marchandise.

 

6°) lors d'un examen, 280 candidats ont été admis sur 520 inscrits. Calculer le pourcentage d'admis sur le nombre d' inscrits.

 

7°) un ouvrier gagnait 1256 € par mois, son salaire va être augmenté de 4 %. Quel est le montant de l'augmentation ? et son nouveau salaire.

 

Cliquer ici pour : Exercices  et problèmes supplémentaires

 

 

C) INDICES

 

8°)  Un objet coûtait 2500€ en janvier 1995 ; son prix est passé  à  2550 € en 1996, puis  à 2680 € en 1997 ; 2720 €  en 1998 et 2750 € en 1998.

 

En prenant pour base 100 en 1995, calculer l'indice du prix de cet objet, arrondi à l'unité, pour les 4 années suivantes.

 

9°)  Le propriétaire  d'un appartement utilise le tableau ci - dessous pour calculer le loyer de l'appartement qu'il met en location . Le loyer de cet appartement était en 1994 de 285 €.

Calculer le montant  du loyer pour les 3 années  suivantes.

 

Année	Indice 4ème trimestre
1994	1019
1995	1013
1996	1046
1997	1068

 

Pour les problèmes  suivants , on donne la formule suivante  : 

 

10°) Le prix du litre d'essence était à l'époque  t_o de 1,75 €  ; il est de 2,35 € à l'époque  t_n  .Quelle est l'évolution du prix  de l'essence ( en indice) ?

 

 

11°) A une date donnée ( t₁), un objet était vendu 3020 €.

Un objet de même type vaut 2490 €. 8 ans plus tard (t₂) .

Donner l'indice d'évolution du prix ( diminution ou augmentation).