MATHEMATIQUES  -     AIDE à la mise à niveau :  Classe  6ème

 

1.        Liste de leçons

 

2.       Liste des activités géométriques

FICHE  NEUTRE : 6ème 

3.       Liste des activités numériques

4.       Liste des activités : gestion de données

5.       Formation ( démarche)

 

 

RESUME :avec exercices et situations problèmes

 

1°)Liste des leçons

 

Index alphabétique.

dossier

note

 

date

 

Configurations, constructions et transformations

 

 

 

 

 

Cercle

 

 

 

 

 

Triangles

 

 

 

 

 

Triangle scalène

 

 

 

 

 

Triangles rectangles

 

 

 

 

 

Triangles isocèles

 

 

 

 

 

Triangle équilatéral

 

 

 

 

 

Symétrie axiale : transformation de figures

 

 

 

 

 

Parallélépipède rectangle

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Repérage , distances et angles

 

 

 

 

 

Abscisses positives sur une droite graduée

 

 

 

 

 

Repérage par les entiers relatifs, sur une droite graduée (abscisse)

 

 

 

 

 

Repérage par les entiers relatifs, dans un plan  (coordonnées)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Grandeurs et mesures

 

 

 

 

 

Périmètre d’un rectangle

 

 

 

 

 

Aire d’un rectangle

 

 

 

 

 

Aire du triangle rectangle

 

 

 

 

 

Longueur du cercle

 

 

 

 

 

Volume d’un parallélépipède rectangle (à partir d’un pavage)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nombres et calculs numérique

 

 

 

 

 

Ecriture décimale : addition

 

 

 

 

 

Ecriture décimale : soustraction

 

 

 

 

 

Ecriture décimale : multiplication

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Division par un entier : quotient et reste dans la division euclidienne.

 

 

 

 

 

Division approchée.

 

 

 

 

 

Troncature et arrondi

 

 

 

 

 

Ecriture fractionnaire du quotient de deux entiers :simplification

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul littéral

 

 

 

 

 

Substitution de valeurs numériques à des lettres dans une formule.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fonctions numériques

 

 

 

 

 

Application d’un taux de pourcentage .

 

X

 

 

 

Changement d’unités de longueurs

 

X

 

 

 

Changement d’unités d’ aires .

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Etude d’exemples relevant ou non de la proportionnalité.

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Représentation et organisation de données .

 

 

 

 

 

Exemples conduisant à lire des graphiques .

 

 

 

 

2°) TRAVAUX GEOMETRIQUES Formation :  6ième

Contenu

Compétences exigibles

Commentaires :

I) reproduction de figures planes simples

Sur papier blanc et sans que la méthode soit imposée :

 

En complément aux instruments classiques de dessin , il est conseillé de savoir utiliser aussi du papier calque , le papier quadrillé ou pointé .

Il s’agit de développer les connaissances acquises à l’école élémentaire en vue de :

-compléter et consolider l’usage des instruments de mesure et de dessin ( règle graduée ou non ; compas ; équerre ) .Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu’il convient d’introduire à l’occasion de la construction et de l’étude des  figures ;

-il faut tirer parti des travaux  pour préciser le vocabulaire , en particulier celui concernant les figures planes .

Les travaux de reproduction et de construction pourront  consister en :

-          La copie conforme d’un modèle concret .Un dessin à partir de données graphiques et numériques,

-          Un dessin à partir d’un énoncé décrivant la figure .

-          Les travaux de construction conduiront à l’utilisation progressive et prudente de lettres pour désigner les points d’une figure . Cette utilisation est nouvelle et son apprentissage se fera  à l’occasion

-           

d’activité de communication telles que figures « téléphonées » ou énoncés rédigés par des élèves.

 

 

 

 

 

 

 

 

d’activités d

 

 

- reporter une longueur

 

- reproduire un angle .

 

- arc de cercle de centre donné .

 

- Tracer par un point donné la perpendiculaire

 

- Tracer par un point donné la parallèle à une droite donnée .

 

 

 

Utiliser correctement , dans un situation donnée , le vocabulaire suivant :

Droite ; cercle ; centre ;rayon ; diamètre ; angle ; droites perpendiculaires , ; droites parallèles , demi-droite ; segment ;milieu .

 

Tracer et reproduire sur papier blanc les figures suivantes : triangle scalène  ; triangle isocèle ; triangle équilatéral ; triangle rectangle ; rectangle ; losange carré , cercle .

 

 

 

Reconnaître ces figures dans un environnement plus complexe.

Donner pour chacune leurs caractéristiques.

Les travaux de construction d’une figure , à l’aide d’instruments, s’appuieront sur sa  définition ou certaines de ses propriétés . Dans un environnement  informatique ; les figures doivent être au préalable tracées  sur papier blanc .

2 - Surfaces planes : mesure , comparaison et calcul d’aires et de périmètres.

Déterminer l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple.

Comparer des périmètres.

Comparer des aires .

Evaluer , à partir du rectangle , l’aire du triangle rectangle.

Calculer la longueur d’un cercle .

On peut déterminer des aires à l’aide , soit de reports , de décompositions , de découpages et de recollements , soit de quadrillage et d’encadrement.

Ces travaux permettent de retenir , sous forme d’images mentales , le passage du rectangle au triangle rectangle ou au parallélogramme , et de mettre en place des calculs sur les aires à partir de l’aire du rectangle .

On pourra s’appuyer sur ces travaux qui donnent sens à la notion d’aire pour constituer  et utiliser un formulaire. Cette utilisation pourra être liées aux unités usuelles  et aux changement d’unités .

Parallélépipède rectangle :  description , représentation en perspective , patrons (développement), …

Fabriquer un parallélépipède rectangle de dimensions données.

L’objectif est d’entretenir et approfondir les acquis de l’école élémentaire : représenter , décrire et construire des solides de l’espace.

L’usage d’une perspective cavalière  et la fabrication d’un patron sont complémentaires . Mais ces travaux s’appuient sur l’ étude  de vrais objets éventuellement réalisés en technologie .

Passer de l’objet  à ses représentations et inversement constitue l’essentiel du travail dans l’espace à ce niveau .

Les travaux porteront sur les éléments  plans des objets de l’espace et le vocabulaire correspondant sera utilisé à cette occasion :

Faces , arêtes et sommets .

La manipulation et la construction de parallélépipèdes rectangles conduiront à la réalisation de patrons et à ses représentations en perspective.

L’usage d’outils informatiques ( logiciels de géométrie dans l’espace ;…..) peut permettre de visualiser les différentes représentations d’un objet. 

 

Suite

Déterminer le volume d’un parallélépipède rectangle en se rapportant à un dénombrement d’unités.

Ces travaux permettrons de retenir sous forme d’images mentales , des situations d’orthogonalité  et de parallélisme extraite du parallélépipède rectangle  en tant qu’objet de l’espace.

 

4°) Dans le plan , transformation de figures par symétrie orthogonal e par rapport à une droite ( symétrie axiale)

 

L’effort portera d’abord sur un travail expérimental ( pliage , papier calque) permettant d’obtenir un inventaire abondant de figures simples , à partir desquelles se dégageront de façons progressive les propriétés conservées par la symétrie axiale ; ces propriétés prenant alors naturellement le relais dans les programmes de constructions .

Construction d’images et mise en évidence de conservations.

Tracer le ou les axes de symétries des figures suivantes : triangle isocèle ; triangle équilatéral ; losange ,rectangle , carré.

Construire le symétrique d’un point , d’une droite , d’un segment , d’un cercle , que l’axe de symétrie coupe ou non la figure.

La symétrie axiale n’a ainsi , à aucun moment , à être présentée comme une application du plan dans lui –même . Suivant  les cas on mettra en évidence :

-L’action d’une symétrie axiale donnée sur une figure .

- La présence d’un axe de symétrie dans une figure , c’est à dire d’une symétrie axiale la conservant .

Construction de figures symétriques élémentaires et énoncées de leurs propriétés.

Utiliser la symétrie axiale pour construire un triangle isocèle , un losange , un rectangle et un carré .

Construire , sans méthode imposée et sur papier blanc : la médiatrice d’un segment , la bissectrice d’un angle .

Relier les propriétés de la symétrie axiale à celles des figures du programme .

Ces travaux conduiront à :

-          la construction de l’image d’un point , d’une figure simple.

-          La mise en évidence de la conservation des distances , de l’alignement , des angles et des aires ; exemples d’utilisation de ces propriétés ;

 

            La construction d’axes de symétries  ( médiatrices et bissectrices …) ;

La construction  de triangles isocèles , de quadrilatères possédant des axes de symétries ( rectangles , losanges…) ;

-l’énoncé et l’utilisation de quelques propriétés caractéristiques des figures précédentes. On veillera à toujours formuler ces propriétés à l’aide de deux énoncés séparés .

3°) TRAVAUX NUMERIQUES : Formation :  6ième

Cette partie du programme s’appuie principalement sur la résolution de problèmes : Ces problèmes doivent permettre aux élèves , en continuité avec l’école élémentaire , d’associer à une situation concrète un travail numérique et de mieux saisir le sens des opérations et des équations figurant au programme .

Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exacte ou approché sous différentes formes :  le calcul mental , le calcul à la main ( dans le cas de nombres courants et d’opérations techniquement simples ) , l’emploi d’une calculatrice ..

 

 

1-Nombre entiers et décimaux : écriture et opérations

Utiliser l’écriture  décimale et en donner le sens .

Multiplier et diviser un décimal par 10 ; 100 ; 1000 ;  ou par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

Multiplier et diviser un décimal par  0,1 ; 0,01 ; 0,001

On consolidera et on enrichira les acquis de l’école élémentaire relatifs à la numération et au sens des opérations en les mobilisant dans l’étude de situations rencontrées au collège . On tendra ainsi à ce que la maîtrise des techniques opératoires deviennent suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes .

La multiplication et la division par une puissance de dix sont à relier à des problèmes d’échelles ou de changements d’unités .

Techniques opératoires

Addition ; soustraction  et multiplication : savoir effectuer ces opérations sous les trois formes de calcul  ( mental ; à la main ; à la calculatrice ), dans des situations n’exigeant pas de virtuosité technique .

 La multiplication des nombres décimaux est une nouveauté de la classe de sixième tant du point de vue du sens que de la technique .

 

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre entier d’un ou deux chiffres.
Effectuer  , dans les deux cas simples , la division décimale d’un nombre entier ou décimal par un nombre entier .

La division est une opération en cours d’acquisition en début de collège . On la reliera  aux problèmes d’encadrement d’un entier ( ou d’un décimal)  par des multiples d’un entier et on entraînera les  élèves  à donner aussi bien l’approximation entière d’un quotient par excès ou par défaut . L’objectif principal est l’acquisition   du sens de l’opération , au travers d’une pratique et de divers utilisations .

Aucune compétence n’est exigible quant à la technique de la  division à la main de deux décimaux .

 

Procédé de calcul approché : troncature et arrondi ; ordre de grandeur d’un résultat.

Prendre l’arrondi à l’unité ou la troncature.

Proposer des ordres de grandeur de deux nombres et les utiliser pour donner un ordre de grandeur de leur somme   et  , éventuellement , pour  contrôler un calcul sur machine .

A l’école élémentaire l’écriture fractionnaire a été introduite à partir de situations de partage.

Les activités poursuivies en sixièmes s’appuient sur deux idées :

- Le quotient  est un nombre ;

- Le produit de   par b est égal à « a »

Ceci permet de considérer un nombre tel que  comme 4 fois un tiers  , le tiers de quatre ou encore le nombre dont le produit par trois est égal à quatre .

Dans des situations de proportionnalité , le quotient de deux nombres est utilisé comme  un opérateur . On visera aussi à lui faire acquérir  le statut de nombre au travers de multiples  activités :

Repérage  ( placement sur une droite graduée ) , mesure , calcul ( possibilité d’utiliser un quotient  dans un calcul , sans nécessairement la division de « a » par « b »

 

Reconnaître dans des cas simples , que deux écritures fractionnaires  différentes sont celles d’un même nombre .

On dégagera  et on utilisera  le fait  qu’un quotient ne change pas  quand on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre. A l’occasion ,de simplifications , on pourra faire intervenir des critères de divisibilité , sans nécessairement les justifier .

Extension aux nombres décimaux .

Transformer une écriture fractionnaire en fraction. ; et effectuer la division de deux nombres entiers.

On étendra le travail fait sur des entiers  à des égalités telles que

=  , par exemple en utilisant la calculatrice  ou en ayant recours à des changements d’unités . Cette extension permettra d’élargir la division à des cas où le diviseur est décimal . Aucune compétence n’est exigible à ce sujet.

 

Contenu

Compétences exigibles

commentaires

3. Nombres décimaux en écritures décimales et fractionnaires

Pour les nombres  décimaux courants , passer d’une écriture  fractionnaire et vice – versa .

Ranger des nombres données en écriture décimale .

Sur une droite graduée :

Lire l’abscisse d’un point  ou en donner un encadrement.

 

Il s’agit de pouvoir utiliser différentes écritures fractionnaires d’un même nombre décimal .

Les écritures fractionnaires  et décimales pourront être utilisées  comme des moyens de contrôle mutuel des opérations  sur des nombres décimaux. C’est dans ce seul cas que seront  rencontrées les opérations  ( + ; - ; )  en écriture  fractionnaire telles que :

 +   =

 

4. Initiation à la résolution d’équations .

Trouver , dans des situations  numériques simples :

Le nombre à ajouter à un nombre  donné pour obtenir un résultat donné .,

Le nombre à retrancher d’un nombre donné pour obtenir un résultat donné ;

Le nombre par lequel multiplier un nombre donné pour obtenir un nombre donné .

On entraînera  l’élève à schématiser un calcul en utilisant  des lettres qui , à chaque usage , seront  remplacées par des valeurs numériques .

 

5. Initiation aux écritures littérales

Appliquer une formule littérale dans une situation familière à l’élève .

On entraînera  l’élève a schématiser un calcul en utilisant des lettres qui , à chaque usage , seront remplacées par des valeurs numériques .

6. Nombres relatifs et repérage.

Graduer régulièrement une droite.

Sur une droite graduée, les valeurs en jeu étant des entiers relatifs : lire l’abscisse  d’un point donné, placer un point d’abscisse donnée .

Dans le plan repéré , les valeurs en jeu étant des entiers relatifs :lire les coordonnées d’un point donné , placer un point  de coordonnées données .

Les travaux proposeront des exemples  variés de situations nécessitant l’introduction de « nouveaux nombres ». Dans certains de ces exemples  faisant intervenir des températures , des durées ,…on pourra être conduit à opérer sur ces nombres , mais les règles  d’addition ne sont pas au programme .

Sur la droite et dans le plan , le cas de points dont les coordonnées ne sont pas des entiers relatifs doit être envisagé en classe , mais ne donne pas lieu à une compétence exigible .

4°)  . ORGANISATION ET GESTION DE DONNEES , FONCTIONS.

Cette rubrique a pour objectif d’initier à la lecture , à l’interprétation et à l’utilisation de diagrammes , tableaux et graphiques et d’en faire l’analyse critique . La réalisation de tels objectifs contribue à l’éducation civique .Les travaux correspondants ne peuvent  se concevoir qu’à partir de situations concrètes et en liaison avec d’autres parties du programme . Chaque fois que possible , ils se feront en liaison avec l’enseignement  des autres disciplines : sciences de la vie  et de la terre , géographie , technologie … Ils seront l’occasion  de consolider et d’approfondir les acquis des élèves sur l’utilisation d’unités de mesure et la pratique de certains changements d’unités. 

 

Contenu

Compétences exigibles

Commentaires

Exemples issus d’activités :

-à base numérique

Application d’un pourcentage à une valeur ; relevés statistiques ; opérateurs et , notamment , usage des opérateurs constants d’une calculatrice .

 

Appliquer un taux  de pourcentage .

Effectuer, éventuellement  avec une calculatrice , des calculs faisant intervenir divers grandeurs : longueurs , angles , aires , volumes , durées …

On se servira  de ces exemples pour :

Lire  et établir des relevés statistiques sous forme de tableaux  ou de représentations graphiques , éventuellement  en utilisant  un ordinateur ;

Etudier des situations ( échelles , tarifs ….) relevant  ou non du modèle proportionnel.

-à base géométrique

calcul du périmètre  et de l’aire d’un rectangle , de la longueur d’un cercle.

Effectuer pour les longueurs et les aires  , des changements d’unités de mesure .

Certains travaux conduirons à décrire des situations qui mettent en jeu des fonctions .

Toute  définition de la notion de fonction sera évitée , mais des expressions telles que «  en fonction de » , « est fonction de «  pourront  être utilisées .  

5°) Formation :  6ième

 

Programme :Ce programme tient compte du programme de l’élémentaire publié au B.O. n°5 du 9 mars 1995  et qui est mis en œuvre en troisième année du cycle des approfondissements depuis la rentrée scolaire 1997 .

I° ) Objectifs généraux :

L’enseignement des mathématiques en classe de sixième comporte deux aspects :

-  Il apprend à relier des observations du réel à des représentations : schémas ; tableaux , figures ;

-          Il apprend aussi à relier ces représentations à une activité mathématique et à des concepts .

 

Cette démarche permet de bâtir des mathématiques à partir des problèmes rencontrés dans plusieurs disciplines et , en retour , d’ utiliser les savoirs mathématiques dans des spécialités diverses .

 

Elle accorde une grande place à l’activité de construction , de réalisation de dessins , de résolution de problèmes , d’organisation et de traitement de données , de calculs , etc. . Cela permet aux élèves de mieux prendre en compte le caractère «  d’outil » des mathématiques.

 

Elle concourt à la formation intellectuelle de l’élève , à la formation du citoyen , et doit notamment :

- développer les capacités de raisonnement : observation , analyse , pensée déductive ; ( savoir procédural élémentaire : reconnaître l’opération , la poser ; effectuer le calcul et rendre compte)

-          stimuler l’imagination , l’intuition ;

-          habituer l’élève à s’exprimer clairement , aussi bien à l’écrit qu’à l’oral ;

-          affermir les qualités d’ordre et de soin .

 

Ainsi , dés la sixième , l’enseignement des mathématiques développe les capacités de travail personnel de l’élève et son aptitude à chercher , à communiquer et à justifier ses affirmations .

 

Le programme établit une distinction claire entre :

-          les activités de formation qui doivent être aussi riches et diversifiées que possible ;

-          les compétences exigibles .

 

 

II ) ORGANISATION de l’ enseignement :

 

A)      Il existe des dominantes de contenus et d’activités qui rendent possible une bonne organisation  du temps disponible et permettent de réaliser la cohérence et la progression de l’enseignement . Il importe , en effet , d’éviter l’émiettement et de  faciliter la bonne structuration des savoirs et des méthodes .

B), il convient de faire fonctionner  , à propos, de nouvelles situations et autrement  qu’ en reprise  ayant un caractère  de révision , les notions  et « outil » mathématiques antérieurement étudiés. Il convient également de préciser à chaque étape de l’apprentissage quelles connaissances sont désormais en place . Il convient enfin de mettre en œuvre des exercices de synthèse pour coordonner  des acquisitions divers .

C) Il est essentiel que les connaissances prennent du sens pour l’élève à partir des questions qu’il se pose . Il est tout aussi essentiel qu’il sache les mobiliser pour résoudre des problèmes .Ainsi pour l’acquisition des techniques opératoires sur les nombres décimaux , il ne suffit pas de décrire des placements de virgule et d’adjoindre éventuellement des zéros adéquats. Il est nécessaire d’étudier des situations qui amènent à opérer  sur des nombres décimaux . Par exemple , les mesures de longueur , intégrées à des activités telles que la construction de courbes point par point , peuvent conduire à de telles opérations.

 

D) L’activité de chaque élève doit être privilégiée , sans délaisser l’objectif d’acquisitions communes . Dès lors seront choisies des situations créant un problème dont la solution  fera  intervenir  des « outils » , c’est à dire des techniques   ou des notions déjà acquises  , afin d’aboutir à la découverte  ou à l’assimilation  de notions nouvelles . Lorsque celle-ci auront été bien maîtrisées , elles fourniront à leur tour de nouveaux « outils » , qui permettront  un cheminement  vers une connaissance meilleure ou différente .

 

Les activités choisies doivent :

-          permettre un démarrage possible  pour tous les élèves  , donc  ne donner que des consignes très simples et n’exiger que les connaissances solidement acquisses par tous .

 

-          créer rapidement une situation assez riche pour provoquer des conjectures

 

-          rendre possible  la mise en jeu des outils prévus ;

 

-          fournir aux élèves , aussi  souvent que possible , des occasions de contrôle de leur résultats, tout en favorisant  un nouvel enrichissement , on y parvient , par exemple , en prévoyant divers cheminements qui permettent  de fructueuses  comparaisons .

 

Elles nécessitent une synthèse  , brève , qui porte non seulement  sur les quelques notions , résultats et outils de base que les élèves doivent connaître , mais aussi sur les méthodes de résolution de problèmes qui les mettent en jeu .   

Le travail effectué permet aussi à l’élève  d’acquérir et de parfaire l’usage d’instruments de mesure et de dessin , de développer  le calcul mental et l’utilisation rationnelle des calculatrices de poche , de s’initier très progressivement au raisonnement déductif .

Il est également important de souligner  le sens , l’intérêt , la portée des connaissances mathématiques en les  enseignant en interaction avec les autres disciplines et avec la vie quotidienne ( pourcentages ; échelles ; représentations graphiques , etc..) et   en utilisant les moyens modernes  de communication ( informatique , banque de données , audiovisuel , etc.)

 

E) Il convient d’être attentif au langage  et aux  significations  divers  d’un même mot . Le vocabulaire et les notations ne doivent pas être fixés d’emblée , mais introduits au cours du traitement d’une question , en fonction de leur utilité.

 

 

L’objectif  est d’entraîner les élèves  à mieux lire et mieux comprendre  un texte mathématique , et aussi à produire des textes dont la qualité est destinée à être l’objet d’une amélioration progressive .

Un moyen efficace pour faire admettre la nécessité d’un langage précis , en évitant que cette exigence  soit ressentie   comme arbitraire par les élèves , est le passage du « faire » au « faire -faire » . C’est , lorsque l’élève écrit des instructions pour l’exécution par autrui ( par exemple ,décrire pour la faire reproduire une figure un peu complexe ) ou lorsqu’il utilise un ordinateur pour un traitement voulu , que l’obligation de précision doit lui apparaître comme une évidente nécessité .

F – Les travaux mathématiques sont l’occasion de familiariser les élèves avec l’emploi d’un nombre milité de notations courantes :

-          dans le domaine numérique : les symboles d’égalité et d’inégalités (  < ; > );les symboles d’opérations et le symbole de pourcentage ;

-          dans le domaine géométrique : le symbole d’appartenance Î , la longueur AB d’un segment d’extrémité A et b , l’angle  , le segment [AB]  , la droite ( A B) , et éventuellement  la demi-droite  [ AB ) .

G. Le travail personnel des élèves en classe , en étude ou à la maison , est essentiel à leur formation. IL y a des fonctions diversifiées :

 -la résolution d’exercices d’entraînement , combinée avec l’étude du cours permet aux élèves d’affermir leurs connaissances de base et de les mettre en œuvre sur des exemples simples ;

-          les travaux individuels de rédaction sont nécessaires au développement des capacités d’expression écrite et de la maîtrise de la langue ;

-          les devoirs de contrôle et d’évaluation formatrice  , courts  et nombreux , permettent de vérifier les acquis des élèves, et s’assurer  de la progression normale ; et d’intervenir rapidement et au bon moment pour aider les élèves qui rencontre des difficultés.