Info :  Retour vers la liste des cours sur le second degré « équations »

 

 

 

Vers le corrigé des travaux auto formatifs.

 

Résumé cours sur  Les inéquations

INEQUATIONS A UNE INCONNUE DU SECOND  DEGRE

 

Première approche :

Ces inéquations se ramène à l'étude du signe du polynôme ax² + bx + c. Pour mémoire ( voir cours sur les équations et polynômes  du second degré ) :

 

Si le polynôme n'a pas de solutions, alors pour tout réel x, le polynôme est du signe de « a »

 

· Si le polynôme a une ou deux solutions, alors on effectue la factorisation du polynôme et on construit un tableau de signe.

 

Exemple :  faire la résolution de 15x²-17x-4 < 0

 

  1°)  Calcul du discriminant :     L'équation 15x²-17x-4 = 0 admet deux solutions -1/5 et 4/3 donc :

  2°)   Factorisation :     15x²-17x-4 = 15(x+1/5)(x-4/3)

 3° )   L'inéquation se ramène donc à  15(x+1/5)(x-4/3) < 0

                                  Il faut donc étudier le signe du produite (x+1/5)(x-4/3)

   4°) On fait un tableau de signe  :

 

Valeurs de x

            -1/5     4/3     

Signe de x+1/5

     -          0      +                   

Signe de x-4/3

               -              0     +

Signe de (x+1/5)(x-4/3)

       +      0       -    0     +

Signe de 15x²-17x-4

   +        0       -    0     +

 

 

 

 

 

 

  5°) Conclusion :  D'après le tableau de signe l'ensemble solution de cette inéquation est ] -1/5 ; 4/3 [

 

+Exercice n°2

Résoudre les inéquations suivantes :

-2x²+3x+8 > 0                       4x²+8x+15 > 0                      13x² - 2x + 5 > 0

 

i19 

SUITE :   Résolution d’inéquations du second degré à partir d’un tableau des signes.

 

 

 

. I ) Résolution des inégalités du second degré :

 

Une inégalité du second degré à une inconnue peut être ramenée à l’une des formes :

                                                            a x²  + b x + c  > 0    

ou

a x²  + b x + c  < 0    

 

Procédure :

 

Calculer le  discriminant ; raisonner sur le signe de « a »,

-  pour  «  a x² + b x + c < 0 » ; prendre  les valeurs ,qui vérifient l’inégalité , inférieures à zéro.

- pour  «  a x² + b x + c >  0 » ; prendre  les valeurs ,qui vérifient l’inégalité ,supérieures  à zéro.

 

Construire le tableau des signes ( vous aidez avec des valeurs numériques intermédiaires qui ne sont pas « racines ».)

 

 

Exemple 1 :

Résoudre : x² + 2x - 15  > 0 

1°)  Calcul du  ;   x’ = -5 ; x’’ = +3

2°)  Tableau :

x

-10

-5

0

+3

10

Signe  de

x² + 2x - 15

 

 

 

 

 

 

 

+

0

-

0

+

 

 

 

 

 

 

3° conclusion : L’inégalité x² + 2x - 15  > 0   est donc vérifiée pour   x < -5  et x > 3

 

Exemple 2 :

Résoudre : x² + 2x - 15  <  0 

1°)  Calcul du  ;   x’ = -5 ; x’’ = +3

2°)  Tableau :

x

-10

-5

0

+3

10

Signe  de

x² + 2x - 15

 

 

 

 

 

 

 

+

0

-

0

+

 

 

 

 

 

 

3°)  Conclusion : L’inégalité x² + 2x - 15  <  0   est donc vérifiée pour   - 5 <  x  < +3 

 

Exemple 3 :     3x² - 2x + 14 > 0

Calcul du discriminant du trinôme : 3x² - 2x + 14 ;    = (-2 )² - 4 fois 3 fois 14 = 4 - 168 = -164

Pas de racine  (3x² - 2x + 14  sera toujours différent de zéro)

2°)  Tableau : (on prend quelque valeur simple pour calculer)

x

-10

-5

0

+3

10

Signe  de

3x² - 2x + 14 

 

 

 

 

 

+

+

+

+

+

 

 

 

 

3°) l’inégalité  3x² - 2x + 14 >0  est   vérifiée  quelque soit les valeurs de « x » .

 

Attention : l’inégalité 3x² - 2x + 14 < 0   n’est pas possible !!!!!

 

Exemple 4 : résoudre    - x² - 2x - 3 < 0 ;

1°) calcul du     = -12 ;   pas de racine

2°) tableau

x

-10

-5

0

+3

10

Signe  de

-3x² - 2x - 3

 

 

 

 

 

-

-

-

-

-

 

 

 

 

3°) l’inégalité  - x² - 2x - 3 < 0 est   vérifiée  quelque soit les valeurs de « x » .

Attention : l’inégalité - x² - 2x - 3 > 0 ;  n’est pas possible !!!!!

 

Exemple 5 : résoudre    -x² - 12x -36 < 0   

 

1°) calcul de    =  0   ; x1  =   x2  =  - 6

2°) Tableau

x

(-10)

-6

(0)

Signe  de

-x² - 12x - 36

(-16)

 

 

(-36)

-

0

-

 

 

 

 

3°) l’inégalité -x² - 12x -36 < 0     est vérifiée pour toutes les valeurs de « x » sauf pour « -6 »

 

Attention : L’inégalité  -x² - 12x -36 >  0     est impossible.

 

Exemple 6 : résoudre    x² - 12x +36 > 0   

 

1°) calcul de    =  0   ; x1  =   x2  =  - 6

2°) Tableau

x

(-10)

6

(0)

Signe  de

x² - 12x +36

 

(+16)

 

 

(36)

+

0

+

 

 

 

 

3°) °) l’inégalité  x² - 12x +36 > 0     est vérifiée pour toutes les valeurs de « x » sauf pour « 6 »

 

Attention :L’inégalité  x² - 12x +36 <  0     est impossible

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

CONTROLE :

Donner la procédure de  Résolution des inégalités du second degré :

 

 

EVALUATION :

Faire les résolutions suivantes :

Exercice  1   Résoudre : x² + 2x - 15  > 0 

Exercice  2  Résoudre : x² + 2x - 15  <  0 

Exercice  3   Résoudre :     3x² - 2x + 14 > 0

Exercice  4 : résoudre    - x² - 2x - 3 < 0 ;

Exemple 5 : résoudre    -x² - 12x -36 < 0   

Exemple 6 : résoudre    x² - 12x +36 > 0