CORRECTION DES EXERCICES DU COURS ( niveau 4) SUR LES INEQUATIONS

 

 

Exercice n°1

 

NB : les opérations nécessaires à la résolution des inéquations ont été ajoutées en Gras

 


5x + 2 > -x - 4

5x+2 + x > -x - 4 + x

6x + 2 + (-2) > -4 + (-2)

6x > -6

6x /6 > -6 /6

x > -1

 

L'intervalle de x  solution de cette inéquation est :

] -1 ; + ∞ [


3x + 8 > 5

3x + 8 + (-8) > 5 + (-8)

3x  > -3

3x / 3 > -3 /3

x > -1

 

L'intervalle de x  solution de cette inéquation est :

] -1 ; + ∞ [


-4x + 2 > 0

-4x + 2  + (-2)  > 0  +(-2)

-4x > -2

-4x / (-4) < -2 /(-4)

x < 0,5

 

L'intervalle de x  solution de cette inéquation est :

] -∞ ; 0,5 [


 

7x - 4 < 18

7x - 4  + 4 < 18  + 4

7x < 22

7x / 7 < 22  / 7

 x < 22 / 7                  L'intervalle de x solution de cette inéquation est : ] -∞ ; 22/7 [

Exercice n°2

 

Pour résoudre ces inéquations du second degré, il faut calculer le discriminant de l'équation du second degré ( ax² + bx + c = 0 ) qui correspond et appliquer les règles suivantes ( voir cours sur les équations et polynôme du second degré ) :

 

Si le polynôme n'a pas de solutions, alors pour tout réel x, le polynôme est du signe de a

 

· Si le polynôme a une ou deux solutions, alors on effectue la factorisation du polynôme et on construit un tableau de signe.

 

Résolution de - 2 x² + 3 x + 8 > 0

 

Le discriminant de l'équation -2x² + 3x + 8 = 0 est : Δ = 3² -4 ´ (-2) ´ 8 = 9 + 64 = 73

 

Il y a donc deux solutions :                                                                                       

 

-2x² + 3x + 8 se factorise donc de la manière suivante : -2(x - x1)(x - x2 )

On a donc : -2x² + 3x + 8  = -2(x - x1)(x - x2 )

 

L'inéquation du départ est donc équivalente à -2(x - x1)(x - x2 ) > 0

 

Pour étudier le signe de cet inéquation on dresse un tableau de signe :

Valeurs de x

            x1            x2     

Signe de x-x1

         -         0      +                

Signe de x-x2

         -              0     +

Signe de (x-x1)(x-x2)

      +      0       -     0     +

Signe de -2x² + 3x + 8

     -        0      +   0     -

 

 

 

 

 

 

L'ensemble solution est donc :

Résolution de 4 x²+ 8 x + 15 > 0

 

Le discriminant de l'équation 4x² + 8x + 15 = 0 est : Δ = 8² -4 ´ 2  ´ 15 = 64 -  120 = -56

 

Il n'y a pas de solution à cette équation donc le polynôme 4x² + 8x + 15 est du signe de 4 soit positif.

 

Quelque soit la valeur de x on a 4x² + 8x + 15 > 0 ; L'ensemble solution est ] - ∞ ; + ∞ [

 

 

Résolution de 13 x² - 2 x + 5 > 0

 

Le discriminant de l'équation 13x² - 2x + 5 = 0 est : Δ =(-2)² -4 ´ 13  ´ 5 = 4 -  260 = -256

 

Il n'y a pas de solution à cette équation donc le polynôme 13x² - 2x + 5  est du signe de 13 soit positif.

 

Quelque soit la valeur de x on a 13x² - 2x + 5> 0 ; L'ensemble solution est ] - ∞ ; + ∞ [.

 

Exercice n°3

 

 est équivalent à

 

L'ensemble des couples ( x ; y )  solution de ce système est donc l'ensemble des points dont les coordonnées sont situées à la fois "au dessus" (droite comprise) de la droite d'équation y = x + 1 et "en dessous" (droite comprise) de la droite d'équation y = -x + 3

 

Il faut tracer les deux droites :

 

y = x + 1 passe par les points ( 0 ; 1 ) et ( 1 ; 2 ) par exemple

y = -x + 3 passe par les points ( 0 ; 3 ) et ( 1 ; 2 ) par exemple

Les solutions de ce système sont délimitées par la zone tuilées sur le graphique.

 


 est équivalent à

 

Exercice n°4

 

L'ensemble des couples ( x ; y )  solution de ce système est donc l'ensemble des points dont les coordonnées sont situées à la fois "au dessus"( droite non comprise) de la droite d'équation y = -1,5x + 3 et "au dessus" (droite non comprise) de la droite d'équation y = 2x

 

Il faut tracer les deux droites :

 

y = -1,5x + 3 passe par les points ( 0 ; 3 ) et ( 2 ; 0 ) par exemple

y = 2x passe par les points ( 0 ; 0 ) et ( 1 ; 2 ) par exemple

 

Les solutions de ce système sont délimitées par la zone tuilées sur le graphique.

Exercice n°5

 

 est équivalent à

 

L'ensemble des couples ( x ; y )  solution de ce système est donc l'ensemble des points dont les coordonnées sont situées à la fois "au dessous"( droite  comprise) de la droite d'équation y = -(2/3)x -2 et "au dessous" (droite non comprise) de la droite d'équation y = x + 3

Il faut tracer les deux droites :

 

y = -(2/3)x -2 passe par les points ( 0 ; -2 ) et ( 3 ; -4 ) par exemple

y = x + 3passe par les points ( 0 ; 3 ) et ( 1 ; 4 ) par exemple